三角方程与不等式

Trigonometric Equations

三角方程 sin x = k 就是寻找波形曲线 y = sin x 与高度为 k 的水平线相交的位置。交点的 x 坐标就是解，上下移动水平线，一个周期内的解会在两个、一个或没有之间变化。方程用基准角和对应象限求解，不等式则看曲线在直线上方还是下方，写成区间。在本页可以拖动水平线 y = k，观察交点数量如何改变。

交点即解

水平线 y = k0.5

👀 用眼睛看

①方程 sin x = k 的解是 y=sin x 与 y=k 交点的 x 坐标

②升降 k 时一个周期内解的个数在 0·1·2 间变化

③不等式是曲线在直线上方(或下方)的区间

基准角与象限

三角方程解法

sin x = k ⇒ 求基准角并按象限收集解

在 [0,2π) 上 sin·cos 通常 2 个，边界值(±1, 0)处 1 个

tan 方程

tan x = k ⇒ 每周期 π 一个解

tan 周期为 π，故 [0,2π) 内有 2 个解

不等式化为区间

📐 读上下

①sin x > k 是曲线在直线 y=k 上方的 x 区间

②先解 sin x = k(边界)

③在边界之间确认上下以定区间

直接解一解

例题 1

在 0 ≤ x < 2π 上求方程 sin x = 1/2 的所有解。

基准角为 π/6 (sin(π/6)=1/2)。

在 sin 为正的第 1·2 象限收集解。

x = π/6, 5π/6

▸ x = π/6, 5π/6

先定基准角，再只选符号相符的象限即可快速求解。

例题 2

在 0 ≤ x < 2π 上解不等式 cos x < 1/2。

边界 cos x = 1/2 的解为 x = π/3, 5π/3。

在两者之间 cos 小于 1/2。

π/3 < x < 5π/3

▸ π/3 < x < 5π/3

不等式先求边界(等式解)，再确认中间区间的符号。

总结

核心策略

方程: 基准角+象限 / 不等式: 先边界后区间

先用图像与单位圆画出解的位置最为稳妥

2022 评价院模考数学类题改编

在 0 ≤ x < 2π 上，方程 2 sin x = √3 的所有解之和为?

①π/2

②2π/3

③π

④4π/3

⑤3π/2

▸ ③ π

sin x = √3/2，基准角为 π/3。

第 1·2 象限的解为 x = π/3, 2π/3，故和为

π/3 + 2π/3 = π

🎯 考试要点

①解用图像·单位圆交点可视化

②sin·cos 一周期通常 2 解，tan 周期 π

③不等式先求边界解 → 判定中间区间

④务必确认 [0,2π) 等定义域

⑤熟记 √3/2, 1/2, √2/2 等特殊角值