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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 三角方程与不等式

三角方程式 sin x = k，就是找起伏的曲线 y = sin x 与高度为 k 的水平直线相交的位置。 交点的横坐标就是解；在 0 ≤ x < 2π 中上下移动直线，解的个数会从两个变成一个，再变成没有。 解方程时先确定参考角，再选出符号相符的象限；解不等式时先求出作为边界的解，再读出曲线在直线上方的区间。 在图中移动水平直线 y = k，每个交点旁会写出解的值，顶部显示解的个数。

交点就是解

0.5
👀 从图像读出解
①sin x = k 的解是 y = sin x 与 y = k 交点的横坐标
②−1 < k < 1 时有两个解；k = ±1 时直线与波峰或波谷相切，只有一个解；|k| > 1 时无解
③k 为0、±1/2、±1 时，解可以整齐地写成 π 的分数，其他情况图中只标出近似值
④不等式 sin x > k 的解是曲线在水平直线上方的区间

参考角与象限

解三角方程的方法
sin x = k ⇒ 确定参考角，在符号相符的象限中找出解
在 0 ≤ x < 2π 中，sin x = k 当 −1 < k < 1 时有两个解，k = ±1 时有一个解
tan 方程
tan x = k ⇒ 每个周期 π 中各有一个解
tan 的周期是 π，所以在 0 ≤ x < 2π 中总有两个解

不等式的解是区间

📐 看曲线在上方还是下方
①sin x > k 的解是曲线在直线 y = k 上方时 x 的区间
②先解 sin x = k，得到区间的边界
③在边界之间取一点代入，判断曲线在上方还是下方

用例题检验

例题 1
在 0 ≤ x < 2π 上求方程 sin x = 1/2 的所有解。
1
sin(π/6) = 1/2，所以参考角是 π/6。
2
在 sin 为正的第一、第二象限中找出解。
x = π/6, 5π/6
▸ x = π/6, 5π/6
第二象限的解是 π − π/6 = 5π/6。先确定参考角，只选符号相符的象限，解起来最快。
例题 2
在 0 ≤ x < 2π 上解不等式 cos x < 1/2。
1
作为边界的 cos x = 1/2 的解是 x = π/3，5π/3。
2
在两个边界之间，cos x 小于1/2。
π/3 < x < 5π/3
▸ π/3 < x < 5π/3
代入两边界之间的点 x = π，得 cos π = −1 < 1/2，所以两个边界之间就是答案。解不等式时先求边界，再用中间的一点检验。

总结

解题策略
方程：参考角 + 象限 / 不等式：先求边界，再定区间
先在图像或单位圆上画出解的位置，最为稳妥
2022 评价院模考数学类题改编
在 0 ≤ x < 2π 上，方程 2 sin x = √3 的所有解之和为？
①π/2
②2π/3
③π
④4π/3
⑤3π/2
▸ ③ π
1
两边除以2，得 sin x = √3/2，参考角是 π/3。
2
第一、第二象限的解是 x = π/3，2π/3，所以它们的和如下。
π/3 + 2π/3 = π
🎯 考试要点
①用图像或单位圆的交点来找解
②在 0 ≤ x < 2π 中，sin、cos 方程通常有两个解，tan 的周期是 π
③不等式先求边界上的解，再判断中间的区间
④先确认 x 的取值范围
⑤要能立刻想到特殊角的值 1/2、√2/2、√3/2
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