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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 常用对数

常用对数是以10为底的对数。正数 N 的常用对数可以分成整数部分“首数”和大于等于0、小于1的小数部分“尾数”。 N 每变为原来的10倍，log N 就恰好增加1，所以首数对应 N 的位数，尾数对应数字的排列顺序。 因此，像 2³⁰ 这样很难直接乘出来的数，只要知道 log 2 就能判断它有几位。 在图中移动 x，纵轴上的柱子会分成白色部分（首数）和金色部分（尾数）。

以10为底的对数

200
👀 从图像中读出什么
①常用对数省略底数10，写作 log x
②横轴上的1、10、100、1000等距排列，对应的对数值是0、1、2、3
③x 每变为原来的10倍，对数值就恰好增加1
④所以当 2 ≤ x < 1000 时，对数值能干净地分成整数的首数和介于0与1之间的尾数

首数与尾数

拆成首数与尾数
log N = (首数) + (尾数), 0 ≤ 尾数 < 1
首数是整数，尾数是大于等于0、小于1的小数部分
位数与首数
整数 N 为 d 位 ⇔ 首数 = d − 1 ⇔ 10d-1 ≤ N < 10d
大于等于1的数 N 有 d 位时，首数为 d − 1

尾数相同，数字排列就相同

🔢 相差10的整数次幂的数
①log 200 = log 2 + 2，log 0.02 = log 2 − 2：乘或除以10的整数次幂，只改变首数
②所以2、20、200、2000的尾数都是0.3010
③首数决定小数点的位置，尾数决定数字按什么顺序排列

用例题检验

例题 1
已知 log 2 = 0.3010，求 log 200。
1
把200写成 2 × 10²。
log 200 = log 2 + log 102
2
积的对数等于对数的和，而 log 10² = 2。
= 0.3010 + 2 = 2.3010
▸ 2.3010（首数 2，尾数 0.3010）
乘以 10² 后，尾数0.3010不变，只有首数从0变成2。
例题 2
230 是几位整数?(log 2 = 0.3010)
1
对 2³⁰ 取常用对数，指数30移到前面。
log 230 = 30 log 2 = 30 × 0.3010 = 9.03
2
对数值9.03的首数是9，所以 10⁹ ≤ 2³⁰ < 10¹⁰。
首数 9 ⇒ 10 位
▸ 10 位
实际上 2³⁰ = 1073741824，正好10位。首数是9，意思是这个数大于等于 10⁹ 且小于 10¹⁰。

总结

要点
log N = 首数 + 尾数, d 位 ⇔ 首数 = d − 1
首数管位数，尾数管数字的排列
2021 韩国高考数学类题改编
320 是几位整数?(log 3 = 0.4771)
①9 位
②10 位
③11 位
④12 位
⑤13 位
▸ ② 10 位
1
求 3²⁰ 的常用对数，读出首数。
log 320 = 20 × 0.4771 = 9.542
2
首数是9，所以 10⁹ ≤ 3²⁰ < 10¹⁰，即10位。
首数 9 ⇒ 10 位
🎯 考试要点
①log N = 首数 + 尾数（0 ≤ 尾数 < 1）
②大于等于1的 N 有 d 位 ⇔ 首数 = d − 1
③幂的位数 = 其对数值的首数 + 1
④尾数相同的两个数，数字排列相同，相差10的整数次幂倍
⑤0 < N < 1 时首数为负，首数为 −k 表示小数点后第 k 位上第一次出现非零数字
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