常用对数

Common Logarithm

常用对数是以 10 为底的对数，对任意正数取常用对数，都会分成整数部分的首数和 0 到 1 之间的小数部分的尾数。首数表示这个数有几位，尾数表示数字的排列，所以像 2 的 30 次方这样的巨大数，不必真的算出来就能立刻知道位数。每当 x 变为原来的 10 倍，对数值就增加 1。本页可拖动滑块移动 x，直观看到对数值如何分成首数与尾数。

以 10 为底的对数

真数 x200

👀 用眼睛看

①常用对数是以 10 为底的对数 log x = log_{10} x

②正数的常用对数分为整数部分(首数)与 0 到 1 之间的小数部分(尾数)

③x 每变为 10 倍，对数值增加 1

首数与尾数

首数 + 尾数分解

log N = (首数) + (尾数), 0 ≤ 尾数 < 1

首数为整数，尾数在 0 到 1 之间 — 分别承载位数与数字排列

位数与首数

整数 N 为 d 位 ⇔ 首数 = d − 1 ⇔ 10^d-1 ≤ N < 10^d

若首数为 d−1，则 N 是 d 位整数

尾数相同则数字排列相同

🔢 只差 10 的幂

①尾数相同的两数数字排列相同，仅相差 10 的幂

②例:log 2 与 log 200 尾数相同

③首数定小数点位置(位数)，尾数定数字本身

直接求一求

例题 1

已知 log 2 = 0.3010，求 log 200。

分解 200 = 2 × 100 = 2 × 10²。

log 200 = log 2 + log 10²

加上 log 10² = 2。

= 0.3010 + 2 = 2.3010

▸ 2.3010 (首数 2, 尾数 0.3010)

10 的幂只改变首数，尾数(0.3010)不变。

例题 2

2³⁰ 是几位整数?(log 2 = 0.3010)

取常用对数。

log 2³⁰ = 30 log 2 = 30 × 0.3010 = 9.03

首数为 9，故位数为 9 + 1。

首数 9 ⇒ 10 位

▸ 10 位

幂的位数由对数首数 + 1 直接得出。

总结

核心结论

log N = 首数 + 尾数, d 位 ⇔ 首数 = d − 1

首数定位数，尾数定数字排列 — 分开处理是关键

2021 修能数学类题改编

3²⁰ 是几位整数?(log 3 = 0.4771)

①9 位

②10 位

③11 位

④12 位

⑤13 位

▸ ② 10 位

取常用对数求首数。

log 3²⁰ = 20 × 0.4771 = 9.542

首数为 9，故位数 = 9 + 1。

首数 9 ⇒ 10 位

🎯 考试要点

①log N = 首数 + 尾数 (0 ≤ 尾数 < 1)

②d 位整数 ⇔ 首数 = d − 1

③幂的位数 = 对数首数 + 1

④尾数相同则数字排列相同

⑤若 0<N<1 则首数为负(第一个非零小数位)