seegongsik
高中二年级 (16-17岁)

常用对数

Common Logarithm

以 10 为底的对数
200
👀 用眼睛看
①常用对数是以 10 为底的对数 log x = log_{10} x
②正数的常用对数分为整数部分(首数)与 0 到 1 之间的小数部分(尾数)
③x 每变为 10 倍，对数值增加 1
首数与尾数
首数 + 尾数分解
log N = (首数) + (尾数), 0 ≤ 尾数 < 1
首数为整数，尾数在 0 到 1 之间 — 分别承载位数与数字排列
位数与首数
整数 N 为 d 位 ⇔ 首数 = d − 1 ⇔ 10d-1 ≤ N < 10d
若首数为 d−1，则 N 是 d 位整数
尾数相同则数字排列相同
🔢 只差 10 的幂
①尾数相同的两数数字排列相同，仅相差 10 的幂
②例:log 2 与 log 200 尾数相同
③首数定小数点位置(位数)，尾数定数字本身
直接求一求
例题 1
已知 log 2 = 0.3010，求 log 200。
1
分解 200 = 2 × 100 = 2 × 10²。
log 200 = log 2 + log 102
2
加上 log 10² = 2。
= 0.3010 + 2 = 2.3010
▸ 2.3010 (首数 2, 尾数 0.3010)
10 的幂只改变首数，尾数(0.3010)不变。
例题 2
230 是几位整数?(log 2 = 0.3010)
1
取常用对数。
log 230 = 30 log 2 = 30 × 0.3010 = 9.03
2
首数为 9，故位数为 9 + 1。
首数 9 ⇒ 10 位
▸ 10 位
幂的位数由对数首数 + 1 直接得出。
总结
核心结论
log N = 首数 + 尾数, d 位 ⇔ 首数 = d − 1
首数定位数，尾数定数字排列 — 分开处理是关键
2021 修能数学类题改编
320 是几位整数?(log 3 = 0.4771)
①9 位
②10 位
③11 位
④12 位
⑤13 位
▸ ② 10 位
1
取常用对数求首数。
log 320 = 20 × 0.4771 = 9.542
2
首数为 9，故位数 = 9 + 1。
首数 9 ⇒ 10 位
🎯 考试要点
①log N = 首数 + 尾数 (0 ≤ 尾数 < 1)
②d 位整数 ⇔ 首数 = d − 1
③幂的位数 = 对数首数 + 1
④尾数相同则数字排列相同
⑤若 0<N<1 则首数为负(第一个非零小数位)
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