数列求和

Sum of Series

求和记号 Σ 就是把许多项依次相加这件事写成最简短的形式。从 1 加到 n 时，像自然数之和、平方之和这类经常出现的和，不必逐项计算，用一条简短的公式就能一次求出。只要明白这些公式从何而来，再复杂的数列求和也能拆成 k、k²、k³ 的和来解。本页可以拖动滑块看柱状图上的部分和层层累加，并用三角形点阵看清求和公式为什么成立。

Σ 记号的含义

项数 n5

💡 Σ 即「全部相加」

①Σ(k=1 to n) a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

②下：起、上：终、右：规则

③各柱高度之和即 Σ 的值

自然数的和 — 三角数

自然数之和

n(n+1)2

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

三大核心公式

Σk

n(n+1)2

1 + 2 + ... + n

Σk²

n(n+1)(2n+1)6

1² + 2² + ... + n²

Σk³

[n(n+1)2]² = (Σk)²

1³ + 2³ + ... + n³ = (1+2+...+n)²

🔗 惊人的关系

①Σk³ = (Σk)² — 立方和等于和的平方!

②这三式可解大多数求和问题

③复杂式总能拆为 k, k², k³

Σ 的性质

线性性

Σ(ca_k + b_k) = c·Σa_k + Σb_k

常数提出，和可拆分

由和反求通项

a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2)

从和反推通项

⚠️ 反求 a_n 的注意

①n ≥ 2：a_n = S_n − S_{n-1}

②n = 1：a₁ = S₁（单独验证!)

③确认两者一致

总结

数列求和三公式

Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²

自然数、平方、立方之和

🎯 考试要点

①Σk = n(n+1)/2 — 基础

②Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

③Σk³ = [n(n+1)/2]² = (Σk)²

④Σ 线性：常数外提、和可拆

⑤a_n = S_n − S_{n-1} (n ≥ 2)，a₁ = S₁ 单独检查

例题与真题

例题 1

求 1 + 2 + 3 + ... + 10 的值。

把 n = 10 代入自然数求和公式 Σk = n(n+1)/2。

Σk = 10 × 112

计算。

= 1102 = 55

▸ 55

1 到 n 的自然数之和为 n(n+1)/2。

例题 2

求 1² + 2² + 3² + 4² 的值。

把 n = 4 代入平方求和公式 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6。

Σk² = 4 × 5 × 96

计算。

= 1806 = 30

▸ 30

平方和为 n(n+1)(2n+1)/6。

2023 修能数学类题改编

把 Σ(k=1 to n) (2k + 1) 表示为 n 的式子？

①n(n+2)

②n(n+1)

③n²

④2n+1

⑤n²+1

▸ ① n(n+2)

用线性性拆开：Σ(2k+1) = 2Σk + Σ1。

Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n

化简。

= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)