数学Ⅰ›数列

数列求和

Sum of Series

Σ 记号的含义

项数 n5

💡 Σ 即「全部相加」

①Σ(k=1 to n) a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

②下：起、上：终、右：规则

③各柱高度之和即 Σ 的值

自然数的和 — 三角数

n5

自然数之和

n(n+1)2

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

三大核心公式

Σk

n(n+1)2

1 + 2 + ... + n

Σk²

n(n+1)(2n+1)6

1² + 2² + ... + n²

Σk³

\left[n(n+1)2\right]² = (Σk)²

1³ + 2³ + ... + n³ = (1+2+...+n)²

🔗 惊人的关系

①Σk³ = (Σk)² — 立方和等于和的平方!

②这三式可解大多数求和问题

③复杂式总能拆为 k, k², k³

Σ 的性质

线性性

Σ(ca_k + b_k) = c·Σa_k + Σb_k

常数提出，和可拆分

由和反求通项

a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2)

从和反推通项

⚠️ 反求 a_n 的注意

①n ≥ 2：a_n = S_n − S_{n-1}

②n = 1：a₁ = S₁（单独验证!)

③确认两者一致

总结

数列求和三公式

Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²

自然数、平方、立方之和

🎯 考试要点

①Σk = n(n+1)/2 — 基础

②Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

③Σk³ = [n(n+1)/2]² = (Σk)²

④Σ 线性：常数外提、和可拆

⑤a_n = S_n − S_{n-1} (n ≥ 2)，a₁ = S₁ 单独检查