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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 数列求和

求和符号 Σ 是“把按同一规则得到的项依次全部相加”这个约定的简写。 从1到 n 的自然数之和、平方和、立方和这些常见的和，不必一项项相加，用一个公式就能直接求出。 知道这些公式从何而来，看似复杂的和也能拆成 k、k²、k³ 的和与常数的和来求。 第一幅图里，各柱子高度的总和就是 Σ 的值；第二幅图里，两个点阵阶梯拼成一个长方形，由此可以看出自然数之和为什么是 n(n + 1)/2。

求和符号 Σ 的含义

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💡 Σ 表示“全部加起来”
①Σ 下方的 k = 1 是起始序号，上方的 n 是终止序号，右边的式子是每一项的规则
②所以从 k = 1 到 n 对 aₖ 求和，就是 a₁ + a₂ + … + aₙ
③图中涂色柱子的高度加起来就是上方的 Σ 值，并且总与右侧一行的公式值相同
④前 n 个奇数 1, 3, 5, … 之和等于 n²

自然数之和：两个点阵阶梯

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自然数之和
n(n+1)2
1 + 2 + 3 + … + n 是由 n × (n + 1) 个点组成的长方形的一半

三个基本公式

Σk
n(n+1)2
1 + 2 + … + n
Σk²
n(n+1)(2n+1)6
1² + 2² + … + n²
Σk³
[n(n+1)2]² = (Σk)²
1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)²
🔗 三个公式之间的关系
①立方和等于自然数之和的平方，例如 1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6²
②用这三个公式加上常数之和 n，多项式形式的项求和大多都能解决
③复杂的式子先展开，拆成 k³、k²、k 和常数项

Σ 的性质

线性性
Σ(cak + bk) = c·Σak + Σbk
常数倍可以提到 Σ 外面，和可以分开计算
由前n项和求通项
an = Sn - Sn-1 (n ≥ 2)
已知前n项和 Sₙ 时，n ≥ 2 用这个式子求通项
⚠️ 求通项时的注意事项
①n ≥ 2 时 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
②n = 1 时另外用 a₁ = S₁ 求
③检查两个结果能否用一个式子统一，不能时首项单独写出

总结

数列求和的三个基本公式
Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²
自然数、平方数、立方数的和
🎯 考试要点
①Σk = n(n + 1)/2
②Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6
③Σk³ = {n(n + 1)/2}²
④常数倍提到外面，和分开计算
⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≥ 2），a₁ = S₁ 另外检验

例题与真题

例题 1
求 1 + 2 + 3 + ... + 10 的值。
1
把 n = 10 代入自然数求和公式 n(n + 1)/2。
Σk = 10 × 112
2
用 10 × 11 = 110 除以2。
= 1102 = 55
▸ 55
像1和10、2和9这样首尾配对，得到5对和为11的数，所以和是55。公式 n(n + 1)/2 正是把这种配对写成了式子。
例题 2
求 1² + 2² + 3² + 4² 的值。
1
把 n = 4 代入平方和公式 n(n + 1)(2n + 1)/6。
Σk² = 4 × 5 × 96
2
用 4 × 5 × 9 = 180 除以6。
= 1806 = 30
▸ 30
直接计算 1 + 4 + 9 + 16 也得30。项数越多，用公式就越快。
2023 韩国高考数学类题改编
把从 k = 1 到 n 的 (2k + 1) 之和表示成关于 n 的式子是？
①n(n+2)
②n(n+1)
③n²
④2n+1
⑤n²+1
▸ ① n(n+2)
1
用 Σ 的性质拆开，得 Σ(2k + 1) = 2Σk + Σ1，而 Σ1 是把1加 n 次，等于 n。
Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n
2
整理 n(n + 1) + n，得 n² + 2n = n(n + 2)。
= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)
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