数学归纳法像推倒一排多米诺骨牌一样，一次证明对每个自然数 n 各有一个的无穷多个命题。
先证明第一块骨牌会倒，也就是 n = 1 时命题成立；再证明任何一块倒下，紧接着的下一块也会倒，也就是 n = k 时成立就能推出 n = k + 1 时成立。
这两点都具备了，就会沿着1, 2, 3, …无穷无尽地传下去，命题对所有自然数都成立。
在第一幅图中增加倒下的骨牌数，靠在下一块上的骨牌就随之增多；第二幅图按顺序排出了证明的三个步骤。
用多米诺骨牌理解归纳法
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倒下的骨牌（金色）靠在下一块上依次倒下；左边的红色箭头推倒第一块
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💡 让骨牌全部倒下的两个条件
①推倒第一块：验证 n = 1 时命题成立
②任何一块倒下，下一块也会倒下：n = k 时成立则 n = k + 1 时也成立
③两个条件缺一个，就不能说整排都会倒下
④有的题目从 n = 2 等不是1的数开始，这时就从那个数开始验证
证明的结构：三个步骤
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数学归纳法证明的流程
📐 每一步做什么
①第一步（奠基）：代入 n = 1，说明命题成立
②第二步（假设）：假设 n = k 时成立
③第三步（证明）：利用这个假设证明 n = k + 1 时也成立
④完成三个步骤，就证明了对所有自然数 n 都成立
例题：证明 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
第一步：n = 1
左边 = 1, 右边 = 1×22 = 1
直接验证 n = 1 时两边相等
第二步：假设 n = k
1+2+...+k = k(k+1)2 （假设）
假设 n = k 时等式成立
第三步：证明 n = k + 1
1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2
在假设的等式两边加上 k + 1 并整理，就得到 n = k + 1 时的等式
✅ 证明完毕
①n = 1 时成立
②若 n = k 时成立，则 n = k + 1 时也成立
③所以对所有自然数 n，1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
使用归纳法时
⚠️ 常见错误
①漏掉第一步，只靠第二个条件什么也证明不了
②第二步假设的是 n = k 时的式子，不能把要证明的 n = k + 1 时的式子当作假设
③如果第三步一次也没用到假设，就不算用归纳法证明
📐 归纳法的用武之地
①关于自然数 n 的等式与不等式
②数列的求和公式
③关于整除的命题（例：3ⁿ − 1 是2的倍数）
④图形的性质（例：n 边形的内角和是 (n − 2) × 180°）
总结
数学归纳法
P(1) ∧ [P(k) → P(k+1)] ⟹ ∀n∈ℕ, P(n)
奠基步骤和归纳步骤都成立，命题就对所有自然数成立
🎯 考试要点
①三个步骤：奠基（n = 1）→ 假设（n = k）→ 证明（n = k + 1）
②不能省略奠基步骤
③归纳步骤中一定要用到假设
④证明不等式时，把 n = k + 1 时的左边变形成能代入假设的形式
⑤有的题目从 n = 2 等不是1的数开始
例题与真题
例题 1
用数学归纳法证明对所有自然数 n 有 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 时，最先要验证的步骤是？
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数学归纳法由两部分组成：（i） n = 1 时成立；（ii） 若 n = k 时成立，则 n = k + 1 时也成立。