数学归纳法

Mathematical Induction

数学归纳法就像推倒一整排多米诺骨牌，把无穷多个命题一次全部放倒。先证明第一块骨牌会倒（n = 1 时成立），再证明只要有一块倒下，紧接着的下一块也会倒（n = k 成立则 n = k + 1 也成立）。只要确认这两点，命题对所有自然数成立就被一次性地保证了。本页可以跟着骨牌依次倒下的过程，亲自确认归纳法的两个步骤。

多米诺效应 — 归纳法直观

已倒骨牌数3

💡 多米诺与归纳法

①推倒第一块（n=1 已验证）

②倒下一块下一块也倒（k → k+1）

③具备这两条件即全部倒下

④这就是数学归纳法的核心

证明结构 — 3 步

📐 各步作用

①基础：n=1 时直接验证 P(1)

②假设：假定 n=k 时 P(k) 成立

③归纳：用假设证明 P(k+1)

④3 步全做完即对全体自然数成立

例：证明 1+2+...+n = n(n+1)/2

第1步：n=1

左边 = 1, 右边 = 1×22 = 1 ✓

n=1 时直接验证两边相等

第2步：假设 n=k

1+2+...+k = k(k+1)2 （假设）

假定 n=k 时成立

第3步：证明 n=k+1

1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2

利用假设证明 k+1 时也成立

✅ 证明完成!

①n=1 验证 ✓

②n=k 假设 → n=k+1 证明 ✓

③因此对所有自然数 n，1+2+...+n = n(n+1)/2

归纳法应用

⚠️ 常见错误

①缺少基础步骤（n=1）证明不成立

②在假设步骤要写「需证明的命题」

③k+1 步骤必须使用假设

④不使用假设就不是归纳法

📐 何时使用归纳法

①自然数 n 的等式/不等式证明

②数列求和公式证明

③整除性（3^n − 1 是 2 的倍数）

④几何性质（n 边形内角和）

总结

数学归纳法

P(1) ∧ [P(k) → P(k+1)] ⟹ ∀n∈ℕ, P(n)

基础 + 归纳步骤 → 对所有自然数成立

🎯 考试要点

①三步结构：基础（n=1）→ 假设（n=k）→ 证明（n=k+1）

②基础步绝不可省略

③归纳步必须利用假设

④不等式归纳：在 k+1 时变形左边代入假设

⑤有时从 n=2 起步

例题与真题

例题 1

用数学归纳法证明对所有自然数 n 有 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 时，最先要验证的步骤是？

归纳法有两步：(i) n=1 成立，(ii) 假设 n=k 成立则 n=k+1 也成立。

(i) 验证 n = 1, (ii) P(k) ⟹ P(k+1)

先在基础步骤 n=1 验证左边与右边相等。

n=1: 左边 = 1, 右边 = 1×22 = 1

▸ 基础步骤 — 先验证 n = 1 时成立。

若不验证起点(n=1)，整个证明就会崩塌。

例题 2

归纳法中假设 n=k 成立后，要用该假设证明什么？

假设 n=k 时成立(归纳假设)。

假设: P(k) 成立

以此为跳板，证明 n=k+1 时也成立。

要证: P(k+1) 成立

▸ 证明 n = k+1 时也成立。

必须真正用到归纳假设 P(k) 来推出 P(k+1)。

2023 修能数学类题改编

与所有多米诺都倒下相对应的数学归纳法两步，正确的是？

①n=1 成立，且 P(k) ⟹ P(k+1)

②仅 n=1 成立

③仅 P(k) ⟹ P(k+1)

④直接代入所有 n

⑤n=2 成立，且 P(k) ⟹ P(k−1)

▸ ① n=1 成立，且 P(k) ⟹ P(k+1)

第一张多米诺倒下 = 基础步骤 n=1 成立。

(i) n = 1 成立

第 k 张倒下则第 (k+1) 张也倒 = 归纳步骤 P(k) ⟹ P(k+1)。

(ii) P(k) ⟹ P(k+1)