等比数列

Geometric Sequence

等比数列是在前一项上不断乘同一个数而形成的一串数。公比 r 大于 1 时像滚雪球般迅速变大，介于 0 与 1 之间时逐渐变小，为负时符号交替出现。任意一项都等于首项 × 公比^(n − 1)，很多项的和也能写成一个公式，而且当 |r| 小于 1 时，即使无限相加也会收敛到一个值。在本页可以改变首项和公比，观察数列的增减以及无穷和收敛或发散的过程。

等比数列 — 按相同比例相乘

首项 a₁2

公比 r2

项数 n5

💡 等比数列 = 按相同比例相乘

①相邻两项之比恒定（= 公比 r）

②r > 1 时指数增长

③0 < r < 1 时指数衰减

④r < 0 时符号交替

通项与求和

等比通项

a_n = a₁ · r^n-1

第 n 项 = 首项 × 公比⁽n-1)

等比求和

S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1 (r ≠ 1)

r = 1 时 S_n = na₁

📐 等比求和推导

①S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁r^{n-1}

②rS_n = a₁r + a₁r² + ... + a₁r^n

③相减：S_n − rS_n = a₁ − a₁r^n

④故 S_n(1−r) = a₁(1−r^n)

等比级数 — 无穷和的收敛

公比 r0.5

无穷等比级数

S = a₁1 - r (|r| < 1)

仅 |r| < 1 时收敛，|r| ≥ 1 时发散

等比中项

b² = ac (a, b, c 成等比数列)

中项的平方 = 两端之积

📐 等比中项的应用

①三数 a, b, c 成等比 ⟺ b² = ac

②b = ±√(ac) → 注意符号

③等间距抽取仍为等比

总结

等比数列核心公式

a_n = a₁r^n-1, S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1

一并整理通项与求和

🎯 考试要点

①通项：a_n = a₁ · r^{n-1}

②求和：S_n = a₁(r^n − 1)/(r − 1) (r ≠ 1)

③无穷等比：|r| < 1 时 S = a₁/(1−r)

④等比中项：b² = ac

⑤r 的正负与大小决定行为

例题与真题

例题 1

求首项为 3、公比为 2 的等比数列的第5项。

代入通项公式 a_n = a₁ · r^n-1。

a₅ = 3 × 2^5-1 = 3 × 2⁴

计算。

= 3 × 16 = 48

▸ 第5项 = 48

等比数列的通项是首项乘 (n−1) 次公比。

例题 2

求首项为 2、公比为 3 的等比数列前4项的和。

代入求和公式 S_n = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)。

S₄ = 2(3⁴ - 1)3 - 1

计算。

= 2(81 - 1)2 = 80

▸ 和 = 80

等比数列的和为 a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)（r ≠ 1）。

2022 评价院模考数学类题改编

首项为 4、公比为 1/2 的无穷等比级数的和是？

①8

②4

③2

④6

⑤不收敛

▸ ① 8

|r| = 1/2 < 1 收敛，用 S = a₁/(1 − r)。

S = a₁1 - r = 41 - 1/2

计算。

= 41/2 = 8