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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 等比数列

等比数列是每次都在前一项上乘同一个数得到的一列数。 这个乘数就是公比 r：r 大于1时像滚雪球一样越滚越大，在0和1之间时越来越小，为负数时正负号交替出现。 第n项等于首项乘上 (n − 1) 次公比；当公比的绝对值小于1时，即使无限地加下去，和也会趋近于一个确定的值。 在第一幅图中，柱子随首项和公比变大或变小；在第二幅图中，部分和要么聚向极限值，要么伸出图外。

等比数列：按同一比例连乘的数列

2
2
5
💡 相邻两项的比总是相同
①用后一项除以前一项，得到的总是公比 r
②r > 1 时，每走一步就变为 r 倍
③0 < r < 1 时，每走一步都变小，趋近于0
④r < 0 时，正负号交替（这幅图的公比不小于0.3，负的公比可以在第二幅图中选择）

通项与求和

等比数列的通项
an = a₁ · rn-1
第n项 = 首项 × 公比ⁿ⁻¹
等比数列的前n项和
Sn = a₁(rn - 1)r - 1 (r ≠ 1)
r = 1 时各项都相等，所以 Sₙ = na₁
📐 求和公式是怎样得到的
①Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹
②两边乘 r，得 rSₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ
③两式相减，中间的项全部抵消，只剩 Sₙ − rSₙ = a₁ − a₁rⁿ
④r ≠ 1 时两边除以 1 − r，得 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)

无穷等比级数：无限相加的和

0.5
无穷等比级数
S = a₁1 - r (|r| < 1)
只有 |r| < 1 时收敛，|r| ≥ 1 时发散。图中的首项为1

等比中项

等比中项
b² = ac (a, b, c 成等比数列)
中间一项的平方等于两边两项的积
📐 等比中项的用法
①三个非零数 a, b, c 按顺序成等比数列 ⟺ b² = ac
②因为 b = ±√(ac)，b 的符号要由题目条件确定
③从等比数列中等间隔取出的项，仍然组成等比数列

总结

等比数列核心公式
an = a₁rn-1, Sn = a₁(rn - 1)r - 1
通项与求和并列
🎯 考试要点
①通项 aₙ = a₁rⁿ⁻¹
②前n项和 Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)（r ≠ 1），r = 1 时 Sₙ = na₁
③无穷等比级数在 |r| < 1 时 S = a₁/(1 − r)
④等比中项 b² = ac
⑤公比的符号决定正负号是否交替，绝对值决定各项变大还是变小

例题与真题

例题 1
求首项为 3、公比为 2 的等比数列的第5项。
1
把 n = 5 代入通项 aₙ = a₁rⁿ⁻¹。
a5 = 3 × 25-1 = 3 × 24
2
2⁴ = 16，所以用3乘16。
= 3 × 16 = 48
▸ a₅ = 48
到第5项为止，公比要乘4次。按顺序写出3, 6, 12, 24, 48，也得到同样的值。
例题 2
求首项为 2、公比为 3 的等比数列前4项的和。
1
把 a₁ = 2，r = 3，n = 4 代入求和公式 Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)。
S4 = 2(34 - 1)3 - 1
2
3⁴ = 81，分子是 2 × 80，再除以分母2。
= 2(81 - 1)2 = 80
▸ S₄ = 80
直接把2, 6, 18, 54相加也是80。项数越多，用公式就比逐项相加快得越多。
2022 评价院模考数学类题改编
首项为 4、公比为 1/2 的无穷等比级数的和是？
①8
②4
③2
④6
⑤不收敛
▸ ① 8
1
|r| = 1/2 < 1，所以和收敛，可以用 S = a₁/(1 − r)。
S = a₁1 - r = 41 - 1/2
2
1 − 1/2 = 1/2，用4除以1/2得8。
= 41/2 = 8
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