数学Ⅰ›数列

等差数列

Arithmetic Sequence

等差数列 — 等距阶梯
2
3
5
💡 等差数列 = 等间距递增的数列
①相邻两项之差恒定（= 公差 d）
②如同等高的阶梯
③d > 0 递增，d < 0 递减，d = 0 为常数
通项公式
等差通项
an = a₁ + (n-1)d
第 n 项 = 首项 + (n-1) × 公差
📐 通项的含义
①从 a₁ 出发加 d (n-1) 次
②对应直线 y = dx + (a₁ - d) 上的自然数点
③与斜率为 d 的一次函数同形
等差数列求和 — 梯形面积
等差求和
Sn = n(a₁ + an)2
(首项 + 末项) × 项数 / 2
由公差表示
Sn = n2(2a₁ + (n-1)d)
不用 an，仅用首项与公差
💡 高斯的发现
①1 + 2 + ... + 100 = ?
②首尾配对：(1+100) + (2+99) + ... = 101 × 50 = 5050
③即 n(a₁ + a_n)/2 的原理
等差中项
等差中项
b = a + c2
a, b, c 成等差数列 → b 是 a 与 c 的算术平均
📐 等差中项的应用
①三数 a, b, c 成等差 ⟺ 2b = a + c
②中项 = 两端的平均
③等差数列中等间隔抽取的项仍为等差
总结
等差数列核心公式
an = a₁ + (n-1)d, Sn = n(a₁ + an)2
一并整理通项与求和
🎯 考试要点
①通项：a_n = a₁ + (n-1)d
②求和：S_n = n(a₁ + a_n)/2
③等差中项：2b = a + c
④S_n 是 n 的二次式（d ≠ 0）或一次式（d = 0）
⑤a_n = S_n - S_{n-1}（n ≥ 2）