高中二年级 (16-17岁)

高中数学等差数列

等差数列是每次都在前一项上加同一个数得到的一列数。 2, 5, 8, 11每次增加3，公差就是3；第n项等于首项加上(n − 1)个公差，所以第几项都能直接算出来。求和的方法来自配对：首项和末项、第二项和倒数第二项……每一对的和都相同。改变首项和公差，第一幅图里台阶的高度和第二幅图里长方形的大小会一起变化。

等差数列：每级一样高的台阶

首项 a₁2

公差 d3

项数 n5

💡 相邻两项的差总是相同

①用后一项减前一项，得到的总是公差 d

②所以把柱子顶端连起来，会落在同一条直线上

③d > 0 时递增，d < 0 时递减，d = 0 时各项都相等

通项：公差加了几次

等差数列的通项

a_n = a₁ + (n-1)d

第n项 = 首项 + (n − 1) × 公差

📐 怎样读通项公式

①从 a₁ 出发，加 (n − 1) 次 d

②点 (n, aₙ) 都在斜率为 d 的直线 y = dx + (a₁ − d) 上

③所以等差数列可以看作只在正整数处取值的一次函数

求和：倒过来叠成长方形

等差数列的前n项和

S_n = n(a₁ + a_n)2

（首项 + 末项） × 项数 ÷ 2

用公差表示的和

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

不知道末项 aₙ 时，只用首项和公差也能计算

💡 高斯的配对

①在 1 + 2 + … + 100 中，把1和100、2和99配成一对，每对的和都是101

②一共50对，所以和是 101 × 50 = 5050

③把数列倒过来再写一遍，逐列相加，n列都等于 a₁ + aₙ，原来的和就是总数的一半

等差中项

b = a + c2

a, b, c 按顺序成等差数列时，b 是 a 与 c 的平均数

📐 等差中项的用法

①a, b, c 按顺序成等差数列 ⟺ 2b = a + c

②中间一项是两边两项的平均数

③从等差数列中等间隔取出的项，仍然组成等差数列

④知道前n项和 Sₙ 时，n ≥ 2 可以用 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 求回通项

总结

等差数列核心公式

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

通项与求和并列

🎯 考试要点

①通项 aₙ = a₁ + (n − 1)d

②前n项和 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n{2a₁ + (n − 1)d}/2

③等差中项 2b = a + c

④d ≠ 0 时，Sₙ 是不含常数项的关于 n 的二次式

⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2)，a₁ = S₁

例题与真题

例题 1

求首项为3、公差为2的等差数列的第10项。

把 n = 10 代入通项 aₙ = a₁ + (n − 1)d。

a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 2

从第1项到第10项要加9次2，一共增加18。

= 3 + 18 = 21

▸ a₁₀ = 21

到第10项为止，公差加的次数是9次而不是10次，因为首项本来就站在队伍的最前面。

例题 2

首项为2、公差为3的等差数列，求从首项到第10项的和。

求和公式里要用到末项，所以先求第10项。

a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29

用首项与末项之和31乘项数10，再除以2。

S₁₀ = 10(2 + 29)2 = 155

▸ S₁₀ = 155

像2和29、5和26、8和23这样从前后各取一项配对，每一对的和都是31。十项正好五对，所以和是 31 × 5 = 155。

2023 韩国高考数学类题改编

在某个等差数列中，a₃ = 7，a₇ = 19，首项 a₁ 和公差 d 分别是多少？

①a₁ = 1, d = 3

②a₁ = 3, d = 2

③a₁ = 1, d = 4

④a₁ = 2, d = 3

⑤a₁ = 7, d = 3

▸ ① a₁ = 1, d = 3

第3项是首项加2次公差，第7项是首项加6次公差。

a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19

两项相隔4步，相差 19 − 7 = 12，所以 d = 3，于是 a₁ = 7 − 2 × 3 = 1。

4d = 12 ⟹ d = 3, a₁ = 1

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最后更新 2026-10-17

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