等差数列

Arithmetic Sequence

等差数列是在前一项上不断加同一个数而形成的一串数。只要看出规律，比如 2, 5, 8, 11 每次增加公差 3，那么任意一项都等于首项 + (n − 1) × 公差。再借助高斯把首项与末项配对相加的思路，很多项的和也能化成一个简洁的公式。在本页可以改变首项和公差，看看数列及其和如何变化。

等差数列 — 等距阶梯

首项 a₁2

公差 d3

项数 n5

💡 等差数列 = 等间距递增的数列

①相邻两项之差恒定（= 公差 d）

②如同等高的阶梯

③d > 0 递增，d < 0 递减，d = 0 为常数

通项公式

等差通项

a_n = a₁ + (n-1)d

第 n 项 = 首项 + (n-1) × 公差

📐 通项的含义

①从 a₁ 出发加 d (n-1) 次

②对应直线 y = dx + (a₁ - d) 上的自然数点

③与斜率为 d 的一次函数同形

等差数列求和 — 梯形面积

等差求和

S_n = n(a₁ + a_n)2

(首项 + 末项) × 项数 / 2

由公差表示

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

不用 a_n，仅用首项与公差

💡 高斯的发现

①1 + 2 + ... + 100 = ?

②首尾配对：(1+100) + (2+99) + ... = 101 × 50 = 5050

③即 n(a₁ + a_n)/2 的原理

等差中项

b = a + c2

a, b, c 成等差数列 → b 是 a 与 c 的算术平均

📐 等差中项的应用

①三数 a, b, c 成等差 ⟺ 2b = a + c

②中项 = 两端的平均

③等差数列中等间隔抽取的项仍为等差

总结

等差数列核心公式

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

一并整理通项与求和

🎯 考试要点

①通项：a_n = a₁ + (n-1)d

②求和：S_n = n(a₁ + a_n)/2

③等差中项：2b = a + c

④S_n 是 n 的二次式（d ≠ 0）或一次式（d = 0）

⑤a_n = S_n - S_{n-1}（n ≥ 2）

例题与真题

例题 1

求首项为 3、公差为 2 的等差数列的第10项。

代入通项公式 a_n = a₁ + (n−1)d。

a₁₀ = 3 + (10-1) × 2

计算。

= 3 + 18 = 21

▸ 第10项 = 21

通项是在首项上加 (n−1) 次公差。

例题 2

求首项为 2、公差为 3 的等差数列前10项的和。

先求第10项：a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29。

a₁₀ = 2 + (10-1) × 3 = 29

代入求和公式 S_n = n(a₁ + a_n)/2。

S₁₀ = 10(2 + 29)2 = 155

▸ 和 = 155

等差数列的和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2。

2023 修能数学类题改编

等差数列 {a_n} 中 a₃ = 7, a₇ = 19，求首项 a₁ 与公差 d。

①a₁ = 1, d = 3

②a₁ = 3, d = 2

③a₁ = 1, d = 4

④a₁ = 2, d = 3

⑤a₁ = 7, d = 3

▸ ① a₁ = 1, d = 3

列两式 a₃ = a₁ + 2d = 7, a₇ = a₁ + 6d = 19。

a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19

相减得 4d = 12，所以 d = 3, a₁ = 1。

4d = 12 ⟹ d = 3, a₁ = 1