数学Ⅰ›指数函数与对数函数

指数函数

Exponential Function

指数函数图象 — 底引起的变化

底 a2

💡 所有指数函数都过 (0, 1)

①a^0 = 1 故底无论为何 y 截距恒为 1

②底越大右侧上升越陡

③x → -∞ 时 y → 0（x 轴为渐近线）

指数函数性质

指数函数定义

y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

底 a 为正实数且不等于 1

📐 a > 1 vs 0 < a < 1

①a > 1：x 增大 y 急增（增函数）

②0 < a < 1：x 增大 y → 0（减函数）

③渐近线均为 x 轴（y = 0）

④值域：y > 0（恒正）

指数函数的平移

x 轴平移0

y 轴平移0

平移

y = a^x-p + q

x 方向 +p、y 方向 +q → 渐近线：y = q

指数方程与不等式

指数方程

a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x)

同底则比较指数

⚠️ 指数不等式中底的大小是关键

①a > 1：a^m > a^n ⟺ m > n（不等号保持）

②0 < a < 1：a^m > a^n ⟺ m < n（不等号反向!）

③务必判断底是否大于 1

总结

指数函数核心

y = a^x：定义域 = ℝ、值域 = (0, ∞)、渐近线：y = 0

底大于 1 时增，小于 1 时减

🎯 考试要点

①过 (0, 1)：a^0 = 1

②a > 1 增、0 < a < 1 减

③渐近线与平移：y = a^{x-p} + q → y = q

④指数方程：统一底 → 比较指数

⑤指数不等式：底小于 1 时反向不等号