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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 指数函数

指数函数 y = aˣ 的特点是：x 每增加1，函数值就变为原来的 a 倍。 所以它能描述那种起初缓慢、到某一刻突然急剧增长的变化，比如存款按复利增长，或细胞一分为二地不断繁殖。 底数大于1时，图像越往右越陡；底数在0和1之间时，图像逐渐趋近于0。不论哪种情况，图像都经过点 (0, 1)，并以 x 轴为渐近线。 在第一幅图中改变底数，曲线的陡峭程度随之改变；在第二幅图中平移图像，渐近线和点 (0, 1) 会一起移动。

随底数变化的形状

2
💡 所有指数函数都经过 (0, 1)
①因为 a⁰ = 1，不论底数是多少，图像都经过点 (0, 1)
②在 x > 0 一侧，底数越大上升越陡；在 x < 0 一侧，底数越大越快贴近0
③x 越小，y 越无限接近0，所以 x 轴是渐近线
④这幅图的底数不小于1.2，只画出递增的情形

指数函数性质

指数函数定义
y = ax (a > 0, a ≠ 1)
底数 a 是不等于1的正数
📐 a > 1 与 0 < a < 1
①a > 1 时，x 越大 y 越大，是增函数
②0 < a < 1 时，x 越大 y 越小，是减函数
③y = (1/a)ˣ 的图像是把 y = aˣ 的图像沿 y 轴翻折得到的
④两种情况的值域都是全体正数，渐近线都是 x 轴（y = 0）

指数函数的平移

0
0
平移
y = ax-p + q
沿 x 轴方向平移 p、沿 y 轴方向平移 q 后，渐近线变为 y = q。图中的底数是2

指数方程与指数不等式

指数方程
af(x) = ag(x) ⟹ f(x) = g(x)
先化成同底，再比较指数
⚠️ 解不等式时先看底数是否大于1
①a > 1 时，aᵐ > aⁿ ⟺ m > n，不等号方向不变
②0 < a < 1 时，aᵐ > aⁿ ⟺ m < n，不等号方向改变
③因为在减函数中，指数越大，值反而越小

总结

指数函数核心
y = ax：定义域 = ℝ、值域 = (0, ∞)、渐近线：y = 0
底数大于1时递增，在0和1之间时递减
🎯 考试要点
①图像总经过 (0, 1)（a⁰ = 1）
②a > 1 时递增，0 < a < 1 时递减
③y = aˣ⁻ᵖ + q 的渐近线是 y = q
④指数方程：化成同底后比较指数
⑤指数不等式：底数小于1时不等号反向

例题与真题

例题 1
解指数方程 2x+1 = 8。
1
把8写成以2为底的幂 2³。
2x+1 = 23
2
y = 2ˣ 是增函数，所以值相等时指数也相等。
x + 1 = 3 ⟹ x = 2
▸ x = 2
底数相同且不为1时，不同的指数不可能得到相同的值。所以把两边化成同底，方程就变成比较指数的一次方程。
例题 2
把 y = 2x 的图象沿 x 轴正方向平移 3，求新解析式与渐近线。
1
沿 x 轴方向平移3个单位，就是用 x − 3 代替 x。
y = 2x-3
2
只是左右平移，所以渐近线 y = 0 不变。
渐近线: y = 0
▸ y = 2x-3，渐近线 y = 0
渐近线是一条水平直线，左右平移后还是同一条线。能改变渐近线的只有上下平移的 q。
2022 评价院模考数学类题改编
当 0 < a < 1 时，解指数不等式 a2x < ax+3。
①x > 3
②x < 3
③x > -3
④x < -3
⑤x > 1
▸ ① x > 3
1
当 0 < a < 1 时，y = aˣ 是减函数，值的大小关系与指数的大小关系相反。
a2x < ax+3 ⟺ 2x > x + 3
2
整理 2x > x + 3，得 x > 3。
2x - x > 3 ⟹ x > 3
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