指数函数

Exponential Function

指数函数 y = a^x 每当 x 增加 1，值就乘以 a 倍。所以像利息滚存的钱、不断一分为二的细胞那样，起初看似缓慢，随后猛然暴涨。底大于 1 时曲线向右飙升，小于 1 时趋近 0，但图象始终经过 (0, 1)，并以 x 轴为渐近线。这一页你可以调节底数看曲线陡缓，再左右上下平移图象，观察渐近线如何随之移动。

指数函数图象 — 底引起的变化

底 a2

💡 所有指数函数都过 (0, 1)

①a^0 = 1 故底无论为何 y 截距恒为 1

②底越大右侧上升越陡

③x → -∞ 时 y → 0（x 轴为渐近线）

指数函数性质

指数函数定义

y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

底 a 为正实数且不等于 1

📐 a > 1 vs 0 < a < 1

①a > 1：x 增大 y 急增（增函数）

②0 < a < 1：x 增大 y → 0（减函数）

③渐近线均为 x 轴（y = 0）

④值域：y > 0（恒正）

指数函数的平移

x 轴平移0

y 轴平移0

平移

y = a^x-p + q

x 方向 +p、y 方向 +q → 渐近线：y = q

指数方程与不等式

指数方程

a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x)

同底则比较指数

⚠️ 指数不等式中底的大小是关键

①a > 1：a^m > a^n ⟺ m > n（不等号保持）

②0 < a < 1：a^m > a^n ⟺ m < n（不等号反向!）

③务必判断底是否大于 1

总结

指数函数核心

y = a^x：定义域 = ℝ、值域 = (0, ∞)、渐近线：y = 0

底大于 1 时增，小于 1 时减

🎯 考试要点

①过 (0, 1)：a^0 = 1

②a > 1 增、0 < a < 1 减

③渐近线与平移：y = a^{x-p} + q → y = q

④指数方程：统一底 → 比较指数

⑤指数不等式：底小于 1 时反向不等号

例题与真题

例题 1

解指数方程 2^x+1 = 8。

把 8 写成底 2 的幂。8 = 2³。

2^x+1 = 2³

底相同，比较指数。

x + 1 = 3 ⟹ x = 2

▸ x = 2

把两边化为同底，再令指数相等。

例题 2

把 y = 2^x 的图象沿 x 轴正方向平移 3，求新解析式与渐近线。

沿 x 轴正方向平移 +3，即把 x 换成 x − 3。

y = 2^x-3

水平平移不改变渐近线。

渐近线: y = 0

▸ y = 2^x-3，渐近线 y = 0

水平平移保持渐近线不变，只有竖直平移才移动渐近线。

2022 评价院模考数学类题改编

当 0 < a < 1 时，解指数不等式 a^2x < a^x+3。

①x > 3

②x < 3

③x > -3

④x < -3

⑤x > 1

▸ ① x > 3

底在 0 与 1 之间，是减函数，不等号方向反转。

a^2x < a^x+3 ⟺ 2x > x + 3

解这个不等式。

2x - x > 3 ⟹ x > 3