数学Ⅰ›指数函数与对数函数

对数函数

Logarithmic Function

对数函数图象 — 底引起的变化

底 a2

💡 所有对数函数都过 (1, 0)

①log_a(1) = 0 → 底无论为何 x=1 时 y=0

②底越大曲线越被下压

③x → 0⁺ 时 y → -∞（y 轴为渐近线）

与指数函数的对称

🔗 反函数关系

①y = log_a(x) 是 y = a^x 的反函数

②图象关于 y = x 对称

③定义域与值域互换

④(0, 1) ↔ (1, 0)

对数函数性质

对数函数定义

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

定义域：x > 0，值域：全体实数

对数函数性质

log_a 1 = 0, log_a a = 1

过 (1, 0) 与 (a, 1)

📐 单调性与渐近线

①a > 1：增函数

②0 < a < 1：减函数

③渐近线：y 轴（x = 0）

④x ≤ 0 不定义

对数方程与不等式

对数方程

log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x)

同底比较真数（真数 > 0）

⚠️ 对数不等式核心

①a > 1：log_a M > log_a N ⟺ M > N（不等号保持）

②0 < a < 1：log_a M > log_a N ⟺ M < N（不等号反向!）

③务必验证真数 > 0

总结

对数函数核心

y = log_a x：定义域 (0, ∞)、值域 ℝ、渐近线 x = 0

指数函数的反函数，关于 y = x 对称

🎯 考试要点

①过 (1, 0)：log_a 1 = 0

②a > 1 增；0 < a < 1 减

③反函数：y = a^x ↔ y = log_a x

④对数方程：统一底 → 比较真数

⑤真数 > 0 必查