对数函数

Logarithmic Function

对数函数 y = log_a x 是指数函数 y = a^x 照进镜子里的搭档。指数函数告诉你乘若干次会得到多少，对数函数则反过来问要得到某个数需乘几次，所以两条图象隔着直线 y = x 完全对折重合。因此它必定经过 (1, 0)，当 x 趋近 0 时一路向下无限延伸，并以 y 轴为渐近线。这一页你可以调节底数看曲线如何变平缓，再把指数函数与对数函数并排，看它们关于 y = x 对称。

对数函数图象 — 底引起的变化

底 a2

💡 所有对数函数都过 (1, 0)

①log_a(1) = 0 → 底无论为何 x=1 时 y=0

②底越大曲线越被下压

③x → 0⁺ 时 y → -∞（y 轴为渐近线）

与指数函数的对称

🔗 反函数关系

①y = log_a(x) 是 y = a^x 的反函数

②图象关于 y = x 对称

③定义域与值域互换

④(0, 1) ↔ (1, 0)

对数函数性质

对数函数定义

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

定义域：x > 0，值域：全体实数

对数函数性质

log_a 1 = 0, log_a a = 1

过 (1, 0) 与 (a, 1)

📐 单调性与渐近线

①a > 1：增函数

②0 < a < 1：减函数

③渐近线：y 轴（x = 0）

④x ≤ 0 不定义

对数方程与不等式

对数方程

log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x)

同底比较真数（真数 > 0）

⚠️ 对数不等式核心

①a > 1：log_a M > log_a N ⟺ M > N（不等号保持）

②0 < a < 1：log_a M > log_a N ⟺ M < N（不等号反向!）

③务必验证真数 > 0

总结

对数函数核心

y = log_a x：定义域 (0, ∞)、值域 ℝ、渐近线 x = 0

指数函数的反函数，关于 y = x 对称

🎯 考试要点

①过 (1, 0)：log_a 1 = 0

②a > 1 增；0 < a < 1 减

③反函数：y = a^x ↔ y = log_a x

④对数方程：统一底 → 比较真数

⑤真数 > 0 必查

例题与真题

例题 1

解对数方程 log₂ (x − 1) = 3。

用对数定义化为指数形式。(真数 = 底^值)

x - 1 = 2³ = 8

求出 x，并验证真数条件 x − 1 > 0。

x = 9 (x - 1 = 8 > 0)

▸ x = 9

对数方程用定义化为指数形式，并务必检验真数为正。

例题 2

函数 y = log₂ x 与 y = 2^x 的图象关于哪条直线对称？

y = log₂ x 是 y = 2^x 的反函数。

y = 2^x ⟺ x = log₂ y

互为反函数的图象关于直线 y = x 对称。

对称轴: y = x

▸ 关于直线 y = x 对称

指数函数与对数函数互为反函数，所以关于 y = x 对称。

2023 修能数学类题改编

解对数不等式 log₃ (x − 2) < 2 的解是？(含真数条件)

①2 < x < 11

②x < 11

③x > 2

④0 < x < 11

⑤2 < x < 9

▸ ① 2 < x < 11

底 3 > 1 是增函数(不等号不变)，同时考虑真数条件。

log₃ (x-2) < 2 ⟺ 0 < x - 2 < 3²

解不等式求范围。

2 < x < 11