对数函数 y = logₐ x 是指数函数 y = aˣ 的反函数。
指数函数回答的是“a 连乘 x 次得多少”，对数函数回答的是“要得到 x，a 需要连乘几次”，所以两个图像隔着直线 y = x 相对。
因此对数函数的图像总经过点 (1, 0) 和 (a, 1)，当 x 趋近于0时无限下降，并以 y 轴为渐近线。
在第一幅图中改变底数，点 (a, 1) 随之移动，曲线平缓的程度也跟着变化；第二幅图中标出了隔着 y = x 相对的两对点。
随底数变化的形状
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所选底数 a 的 y = logₐ x 曲线（金色）、底数为2、3、10的曲线（淡线），以及点 (1, 0) 和 (a, 1)
2
💡 所有对数函数都经过 (1, 0)
①因为 logₐ 1 = 0，不论底数是多少，图像都经过点 (1, 0)
②因为 logₐ a = 1，图像也经过点 (a, 1)；底数越大，这个点越靠右，曲线越平缓
③x 越接近0，y 越无限变小，所以 y 轴是渐近线
④这幅图的底数不小于1.5，只画出递增的情形
与指数函数的对称
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y = 2ˣ（红）与 y = log₂ x（金），以及关于直线 y = x 相对的点 (0, 1) 与 (1, 0)、(1, 2) 与 (2, 1)
🔗 反函数关系
①y = aˣ 的反函数是 y = logₐ x
②若点 (p, q) 在一个图像上，则点 (q, p) 在另一个图像上
③所以两个图像关于直线 y = x 对称
④定义域与值域也互换：对数函数的定义域是全体正数，值域是全体实数
对数函数的性质
对数函数的定义
y = loga x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
定义域为 x > 0，值域为全体实数
图像必经的两点
loga 1 = 0, loga a = 1
图像经过 (1, 0) 和 (a, 1)
📐 单调性与渐近线
①a > 1 时，x 越大 y 越大，是增函数
②0 < a < 1 时，x 越大 y 越小，是减函数
③渐近线是 y 轴（x = 0）
④在 x ≤ 0 时没有定义
对数方程与对数不等式
对数方程
loga f(x) = loga g(x) ⟹ f(x) = g(x)
底数相同就比较真数，同时确认真数为正
⚠️ 解对数不等式要看的两点
①a > 1 时，logₐ M > logₐ N ⟺ M > N，不等号方向不变
②0 < a < 1 时，logₐ M > logₐ N ⟺ M < N，不等号方向改变
③最后要和真数条件 M > 0，N > 0 结合起来
总结
对数函数核心
y = loga x：定义域 (0, ∞)、值域 ℝ、渐近线 x = 0
它是指数函数的反函数，图像与指数函数的图像关于 y = x 对称
🎯 考试要点
①图像总经过 (1, 0)（logₐ 1 = 0）
②a > 1 时递增，0 < a < 1 时递减
③y = aˣ 与 y = logₐ x 互为反函数
④对数方程：化成同底后比较真数
⑤给出答案前确认真数 > 0
例题与真题
例题 1
解对数方程 log2 (x − 1) = 3。
1
由对数的定义，真数 x − 1 等于2的3次方。
x - 1 = 23 = 8
2
x = 9，此时真数 x − 1 = 8 为正，所以它就是解。
x = 9 (x - 1 = 8 > 0)
▸ x = 9
用定义把对数方程改写成指数形式，就变成普通的方程。不过要把求出的值代回真数，确认它是正数。
例题 2
函数 y = log2 x 与 y = 2x 的图象关于哪条直线对称？
1
把 y = 2ˣ 对 x 解出，得 x = log₂ y，所以两个函数互为反函数。
y = 2x ⟺ x = log2 y
2
互为反函数的两个图像，其上的点是把 x 与 y 互换后一一对应的，所以关于直线 y = x 对称。
对称轴: y = x
▸ 关于直线 y = x 对称
如果 (1, 2) 在 y = 2ˣ 上，那么 (2, 1) 就在 y = log₂ x 上。交换 x 与 y，正是关于直线 y = x 作对称。