指数与对数

Exponents & Logarithms

对数是把指数反过来问的问题。 log₂8 问的是「2 要乘几次才得到 8」，答案是 3，所以指数与对数是一枚硬币的两面。对数把乘法变成加法，让庞大数字的计算变简单，也能测量声音强弱、地震大小这类跨度极广的量。这一页里你可以拖动底数，看指数曲线怎样飙升，也看对数刻度如何把乘法均匀铺开。

指数直观 — 重复乘法

底 a2

💡 指数即重复乘法

①2^3 = 2×2×2 = 8：「将2乘3次」

②底越大增长越快

③底 > 1 增长，0 < 底 < 1 衰减

对数直观 — 反向提问

💡 对数问的是「乘了几次?」

①log_2(8) = 3 →「2 乘几次得 8?」→ 3 次

②对数尺上乘法呈等间距

③地震震级、分贝、pH 都是对数刻度

指数律与对数律

指数律

a^m × aⁿ = a^m+n, a^m ÷ aⁿ = a^m-n

同底相乘 → 指数相加

对数的定义

a^x = N ⟺ x = log_a N

底 a 自乘多少次得 N

对数律

log_a MN = log_a M + log_a N

积的对数 = 对数之和

换底公式

log_a b = log_c blog_c a

可用任意底 c 换算

指数·对数的关系

🔗 指数与对数互为镜像

①指数：底和指数 → 值（2^3 = 8）

②对数：底和值 → 指数（log_2 8 = 3）

③一方已知即可得另一方

④图象关于 y = x 对称

核心性质

a^{log_a N} = N, log_a a^x = x

指数与对数互为逆运算

总结

核心

log_a N = x ⟺ a^x = N

对数为指数的逆运算

🎯 考试要点

①定义：a^x = N ⟺ log_a N = x

②底条件：a > 0, a ≠ 1, N > 0

③对数律：积→和、商→差、幂→系数

④换底：log_a b = log_c b / log_c a

⑤常用对数（log₁₀）与自然对数（ln）区分

例题与真题

例题 1

求 log₂ 8 + log₂ 4 的值。

同底对数之和可合并为真数之积的对数。

log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ (8 × 4) = log₂ 32

因为 32 = 2⁵，所以对数值等于指数 5。

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

▸ 5

把同底对数之和合并成积，再写成幂的形式。

例题 2

若 log₂ 3 = a，用 a 表示 log₂ 24。

分解 24 = 2³ × 3。

log₂ 24 = log₂ (2³ × 3) = log₂ 2³ + log₂ 3

log₂ 2³ = 3，log₂ 3 = a。

= 3 + a

▸ a + 3

把真数分解为底的幂与剩余因数的乘积是关键。

2023 修能数学类题改编

若 log₃ 5 = a，log₃ 4 = b，用 a、b 表示 log₃ 80？(其中 80 = 16 × 5)

①a + b

②a + 2b

③2a + b

④ab

⑤2a + 2b

▸ ② a + 2b

分解 80 = 4² × 5。

log₃ 80 = log₃ (4² × 5) = log₃ 4² + log₃ 5

log₃ 4² = 2 log₃ 4 = 2b，log₃ 5 = a。

= 2b + a = a + 2b

指数函数

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