高中二年级 (16-17岁)

高中数学指数与对数

对数是把指数倒过来问的问题。问2要连乘几次才得到8，答案是3，写作 log₂ 8 = 3。所以 2³ = 8 和 log₂ 8 = 3 是从两个方向写出的同一个事实。用了对数，乘法就变成加法，像地震震级、声音的分贝这样成倍变化的量也容易处理了。改变底数 a，第一幅图中指数曲线上升的陡峭程度和第二幅图中两种刻度的差别都会随之变化。

指数：同一个数反复相乘

像 2⁵ = 32 这样，知道底数和指数，用乘法马上能得到值。反过来，只给出底数2和值32而问指数时，光靠乘法没有能写出答案的记号，指代这个空格的名字就是对数。logₐ N 表示 a 的几次方等于 N，要求底数 a > 0 且 a ≠ 1，真数 N > 0。

第一幅图中的金色曲线是 y = aˣ，在 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 处各有一个点。每往右走一格，高度就变为原来的 a 倍，所以曲线一开始贴着底部，到右端才陡然升起。纵轴顶端是 a⁵：底数为1.2时只有约2.49，为4时却是1024，相应地，左边的点都被压到虚线高度1附近。

底 a2

💡 指数就是相乘的次数

①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 是2连乘3次的值

②x 每增加1，aˣ 就变为原来的 a 倍，所以底数越大增长越快

③a > 1 时递增，0 < a < 1 时递减

④这幅图的底数不小于1.2，只画出递增的情形

对数：问相乘了几次

在 logₐ N 中，写在下方的小数字是底数，后面的数是真数。把两者对调写成 log₈ 2，就变成“8的几次方等于2”这个不同的问题，答案也不是3而是1/3。另一个常见错误是把 log₂(8 + 4) 拆成 log₂ 8 + log₂ 4；只有真数是乘积时，对数才能拆成和。实际上 log₂ 12 约为3.58，而 log₂ 8 + log₂ 4 等于5。

💡 对数反问相乘的次数

①log₂ 8 = 3 的意思是“2连乘几次得8”的答案是3

②在对数刻度上，每一格代表同样的倍数，所以1, a, a², a³, a⁴ 等距排列

③地震震级、声音分贝、酸碱度 pH 都使用对数刻度

指数律与对数律

指数律

a^m × aⁿ = a^m+n, a^m ÷ aⁿ = a^m-n

同底的幂相乘，指数相加；相除，指数相减

对数的定义

a^x = N ⟺ x = log_a N

底数 a 的几次方等于 N

对数律

log_a MN = log_a M + log_a N

积的对数等于对数的和（把指数运算法则改写成对数）

换底公式

log_a b = log_c blog_c a

分子分母写成同一底数 c 的对数，就能换成任意底数

指数与对数的关系

🔗 同一事实的两副面孔

①指数：知道底数和指数就得到值（2³ = 8）

②对数：知道底数和值就得到指数（log₂ 8 = 3）

③所以知道其中一个式子，马上就能改写成另一个

④y = aˣ 与 y = logₐ x 的图像关于直线 y = x 对称

⑤以10为底的常用对数在本章后面讲

核心性质

a^{log_a N} = N, log_a a^x = x

指数运算与对数运算互为逆运算

总结

指数与对数的核心

log_a N = x ⟺ a^x = N

对数是把指数倒过来问的运算

🎯 考试要点

①对数的定义 aˣ = N ⟺ logₐ N = x

②底数条件 a > 0，a ≠ 1；真数条件 N > 0

③运算法则：积变和，商变差，幂变系数

④换底公式 logₐ b = log b / log a（分子分母底数相同即可）

⑤logₐ(M + N) 不等于 logₐ M + logₐ N

例题与真题

例题 1

求 log₂ 8 + log₂ 4 的值。

同底对数的和，可以合并成真数乘积的一个对数。

log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ (8 × 4) = log₂ 32

因为 32 = 2⁵，2 连乘5次就是32。

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

▸ 5

8 = 2³，4 = 2²，所以答案5正好是指数之和 3 + 2。对数的和之所以等于积的对数，原因就在这里的指数相加。

例题 2

若 log₂ 3 = a，用 a 表示 log₂ 24。

把24拆成2的幂与剩下的因数3的积，即 2³ × 3。

log₂ 24 = log₂ (2³ × 3) = log₂ 2³ + log₂ 3

log₂ 2³ = 3，log₂ 3 = a。

= 3 + a

▸ a + 3

把真数拆成底数的幂与剩余因数，幂的部分变成整数，只剩下剩余因数用给定的字母表示。

2023 韩国高考数学类题改编

若 log₃ 5 = a，log₃ 4 = b，用 a、b 表示 log₃ 80？（其中 80 = 16 × 5）

①a + b

②a + 2b

③2a + b

④ab

⑤2a + 2b

▸ ② a + 2b

把80写成 4² × 5，就能只用给定的 log₃ 4 和 log₃ 5 来表示。

log₃ 80 = log₃ (4² × 5) = log₃ 4² + log₃ 5

幂的指数作为系数移到前面，log₃ 4² = 2b，而 log₃ 5 = a。

= 2b + a = a + 2b

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最后更新 2026-10-17

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