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数学Ⅰ
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指数函数与对数函数
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指数与对数
Exponents & Logarithms
指数直观 — 重复乘法
不同底的指数增长曲线
底 a
2
💡 指数即重复乘法
①2^3 = 2×2×2 = 8：「将2乘3次」
②底越大增长越快
③底 > 1 增长，0 < 底 < 1 衰减
对数直观 — 反向提问
对数刻度 vs 线性刻度
💡 对数问的是「乘了几次?」
①log_2(8) = 3 →「2 乘几次得 8?」→ 3 次
②对数尺上乘法呈等间距
③地震震级、分贝、pH 都是对数刻度
指数律与对数律
指数律
a
m
× a
n
= a
m+n
, a
m
÷ a
n
= a
m-n
同底相乘 → 指数相加
对数的定义
a
x
= N ⟺ x = log
a
N
底 a 自乘多少次得 N
对数律
log
a
MN = log
a
M + log
a
N
积的对数 = 对数之和
换底公式
log
a
b =
log
c
b
log
c
a
可用任意底 c 换算
指数·对数的关系
🔗 指数与对数互为镜像
①指数：底和指数 → 值（2^3 = 8）
②对数：底和值 → 指数（log_2 8 = 3）
③一方已知即可得另一方
④图象关于 y = x 对称
核心性质
a
log_a N
= N, log
a
a
x
= x
指数与对数互为逆运算
总结
核心
log
a
N = x ⟺ a
x
= N
对数为指数的逆运算
🎯 考试要点
①定义：a^x = N ⟺ log_a N = x
②底条件：a > 0, a ≠ 1, N > 0
③对数律：积→和、商→差、幂→系数
④换底：log_a b = log_c b / log_c a
⑤常用对数（log₁₀）与自然对数（ln）区分
다음 →
指数函数