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高一年级 (15-16岁)

高中数学 无理函数

无理函数是根号里含有自变量的函数，它在求平方根时自然出现，比如面积为S的正方形边长是√S。 最基本的y = √x是二次函数y = x²（x ≥ 0）的反函数，所以两个图像关于直线y = x对称；根号里必须不小于0，因此定义域和值域都只在一侧。 y = √(ax + b) + c的图像从使根号里为0的点(−b/a, c)出发；解无理方程时如果两边平方，可能混进不满足原方程的根，所以一定要检验。 第一幅图中可以把y = √x和y = x²叠在一起看对称性，第二幅图中起点和延伸方向随a、b、c变化。

无理函数从哪里来

📐 求正方形的边长
①面积为S的正方形，边长是√S
②面积为1、4、9时，边长分别是1、2、3，很整齐
③可面积为2时，边长是√2 = 1.414…，是无理数
④像这样自变量在根号里的函数，叫作无理函数
🪞 反函数关系
①在y = x²（x ≥ 0）中交换x和y，得x = y²
②只取y ≥ 0的部分，就是y = √x
③所以y = √x是y = x²中x ≥ 0那一部分的反函数
④互为反函数的两个函数图像关于直线y = x对称，这两个图像也是如此
⑤图中(4, 2)和(2, 4)这样坐标互换的点两两成对

y = √x的性质

最基本的无理函数
y = √x
定义域x ≥ 0，值域y ≥ 0，从原点出发

y = √x的性质

基本形式的特点
定义域
根号里必须不小于0
x ≥ 0
值域
算术平方根总是不小于0
y ≥ 0
单调性
x越大，y也越大
始终递增
增长快慢
y每增加1，x要从1增加到4（增加3），再从4增加到9（增加5）
越来越慢

y = √(ax + b) + c的图像

1
0
0
无理函数的一般形式
y = √(ax + b) + c
从起点(−b/a, c)出发，a > 0时向右延伸，a < 0时向左延伸
🔑 快速找起点
①找使根号里为0的x：由ax + b = 0得x = −b/a
②这时y = √0 + c = c
③所以起点是(−b/a, c)
④a > 0时定义域为x ≥ −b/a，向右延伸；a < 0时为x ≤ −b/a，向左延伸
⑤无论哪种情况，值域都是y ≥ c

无理函数与直线的交点

求交点
√(ax + b) + c = mx + n → 两边平方后求解
平方后得到的根，一定要代回原方程检验
⚠️ 两边平方的陷阱
①为了解√x = x − 2，两边平方
②x = (x − 2)² = x² − 4x + 4，所以x² − 5x + 4 = 0
③得x = 1或x = 4
④代入x = 1：左边√1 = 1，右边1 − 2 = −1，不相等，这样的根叫作增根
⑤代入x = 4：√4 = 2，4 − 2 = 2，相等，所以解只有x = 4
⑥平方后−1和1都变成1，符号信息丢失了，所以必须代回原方程检验

解无理方程

解无理方程的步骤
步骤做什么注意什么
第1步把含根号的部分移到一边写成√(…) = （式子）的形式
第2步两边平方记下（式子） ≥ 0这个条件
第3步整理后解方程通常得到一元二次方程
第4步代回原方程检验舍去不满足的根（增根）

例题与单元测试

例题 1
求无理函数y = √(2x − 6) + 1的定义域。
1
根号里的式子必须不小于0。
2x − 6 ≥ 0
2
解不等式。
x ≥ 3
▸ {x | x ≥ 3}
这个图像从起点(3, 1)出发向右延伸，值域是{y | y ≥ 1}。
例题 2
说明无理函数y = √(x − 2) + 3的图像是由y = √x的图像怎样平移得到的，并求出起点。
1
x换成了x − 2，说明沿x轴方向平移了2个单位；整体加上3，说明沿y轴方向平移了3个单位。
y = √x → y = √(x − 2) + 3
2
起点就是把(0, 0)按同样的量平移后的点。
(0, 0) → (2, 3)
▸ 沿x轴方向平移2个单位、沿y轴方向平移3个单位，起点是(2, 3)
在第二幅图中取a = 1，b = −2，c = 3，就能得到同样的图像。

小结

基本形式
y = √x
定义域x ≥ 0，值域y ≥ 0
一般形式
y = √(ax + b) + c
起点(−b/a, c)
高一 校内考试 题型
求无理函数 y = √(x + 1) 与直线 y = x − 1 的交点的 x 坐标。
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
联立两式并两边平方（须 x − 1 ≥ 0）。
√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²
2
整理得 x² − 3x = 0，x = 0 或 3；由条件 x ≥ 1 得 x = 3。
x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0 为增根)
🎯 常考要点
①由根号里不小于0的条件确定定义域
②起点是(−b/a, c)，a > 0时向右延伸，a < 0时向左延伸
③y = √x是y = x²（x ≥ 0）的反函数，图像关于直线y = x对称
④解无理方程：两边平方求解后，代回原方程去掉增根
⑤图像从起点出发，越来越平缓地延伸
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