通用数学›集合·命题·函数

无理函数

Irrational Function

无理函数从何而来?
📐 求正方形的边长
①面积为 S 的正方形边长是?
②边 = √S — 面积的平方根!
③面积1→1，面积4→2，面积9→3
④但面积2→√2≈1.414…（无理数!)
⑤含平方根的函数即「无理函数」
🪞 反函数关系核心
①在 y = x²（x≥0）中交换 x 与 y
②x = y² → y = √x（仅取正值）
③y = √x 是 y = x² 「正半部分」的反函数
④两图关于 y = x 对称
⑤这就是无理函数的本质 — 二次函数的反!
基本形 y = √x 的性质
基本无理函数
y = √x
定义域：x ≥ 0 / 值域：y ≥ 0 / 从原点出发

y = √x 核心性质

📋基本形特征
定义域
根号内须 ≥ 0
x ≥ 0
值域
平方根总是 ≥ 0
y ≥ 0
单调性
x 越大 y 越大（但越来越缓）
总是递增
增长速度
1→4：y +1；4→9：y +1（间距变大）
越来越慢
一般形 y = √(ax + b) + c
1
0
0
一般形无理函数
y = √(ax + b) + c
起点：(−b/a, c) → a > 0 向右，a < 0 向左
🔑 快速找起点
①使根号内 = 0 求 x：ax + b = 0 → x = −b/a
②此时 y = √0 + c = c
③起点为 (−b/a, c)
④a > 0 时 x ≥ −b/a（向右增长）
⑤a < 0 时 x ≤ −b/a（向左增长）
无理函数与直线的交点
求交点
√(ax+b) + c = mx + n → 两边平方后判别
两边平方时必须检验「增根」!
⚠️ 两边平方的陷阱 — 增根
①解 √x = x − 2 时两边平方
②x = (x−2)² = x²−4x+4 → x²−5x+4=0
③x = 1 或 x = 4
④验证：x=1 → √1 = 1, 1−2 = −1 → 1 ≠ −1（增根!)
⑤x=4 → √4 = 2, 4−2 = 2 → ✓
⑥平方丢失符号信息，必须代入原式验证!

解题步骤

📊无理方程解法顺序
步骤内容注意点
第1步把 √ 部分整理到一边√(…) = (式)
第2步两边平方确认 (式) ≥ 0
第3步整理后求解化为二次方程
第4步代入原式检验务必排除增根!
总结
基本形
y = √x
定义域 x≥0，值域 y≥0
一般形
y = √(ax+b)+c
起点 (−b/a, c)
🎯 考试要点
①根号内 ≥ 0 → 定义域的核心条件
②起点 (−b/a, c)：a > 0 向右，a < 0 向左
③y = √x 是 y = x²（x≥0）的反函数 — 关于 y = x 对称
④无理方程：两边平方后必代回原式检验（增根!)
⑤图形：从起点出发逐渐缓慢增长