无理函数

Irrational Function

无理函数是根号内含变量的函数，就像面积为 S 的正方形边长 √S 那样自然地来自平方根。基本形 y = √x 是二次函数 y = x²（x ≥ 0）的反函数，两图关于直线 y = x 对称，而根号内必须非负。一般形 y = √(ax + b) + c 从使根号内为零的起点 (−b/a, c) 出发，求与直线交点时两边平方会产生增根，务必代回检验。本页可开关 y = x² 观察对称，并拖动 a、b、c 看起点与方向如何变化。

无理函数从何而来?

📐 求正方形的边长

①面积为 S 的正方形边长是?

②边 = √S — 面积的平方根!

③面积1→1，面积4→2，面积9→3

④但面积2→√2≈1.414…（无理数!)

⑤含平方根的函数即「无理函数」

🪞 反函数关系核心

①在 y = x²（x≥0）中交换 x 与 y

②x = y² → y = √x（仅取正值）

③y = √x 是 y = x² 「正半部分」的反函数

④两图关于 y = x 对称

⑤这就是无理函数的本质 — 二次函数的反!

基本形 y = √x 的性质

基本无理函数

y = √x

定义域：x ≥ 0 / 值域：y ≥ 0 / 从原点出发

y = √x 核心性质

List基本形特征

定义域

根号内须 ≥ 0

x ≥ 0

值域

平方根总是 ≥ 0

y ≥ 0

单调性

x 越大 y 越大（但越来越缓）

总是递增

增长速度

1→4：y +1；4→9：y +1（间距变大）

越来越慢

一般形 y = √(ax + b) + c

a（正负决定方向）1

b（起点平移）0

c（上下平移）0

一般形无理函数

y = √(ax + b) + c

起点：(−b/a, c) → a > 0 向右，a < 0 向左

🔑 快速找起点

①使根号内 = 0 求 x：ax + b = 0 → x = −b/a

②此时 y = √0 + c = c

③起点为 (−b/a, c)

④a > 0 时 x ≥ −b/a（向右增长）

⑤a < 0 时 x ≤ −b/a（向左增长）

无理函数与直线的交点

求交点

√(ax+b) + c = mx + n → 两边平方后判别

两边平方时必须检验「增根」!

⚠️ 两边平方的陷阱 — 增根

①解 √x = x − 2 时两边平方

②x = (x−2)² = x²−4x+4 → x²−5x+4=0

③x = 1 或 x = 4

④验证：x=1 → √1 = 1, 1−2 = −1 → 1 ≠ −1（增根!)

⑤x=4 → √4 = 2, 4−2 = 2 → ✓

⑥平方丢失符号信息，必须代入原式验证!

解题步骤

Chart无理方程解法顺序

步骤	内容	注意点
第1步	把 √ 部分整理到一边	√(…) = (式)
第2步	两边平方	确认 (式) ≥ 0
第3步	整理后求解	化为二次方程
第4步	代入原式检验	务必排除增根!

动手解题

例题 1

求无理函数 y = √(2x − 6) + 1 的定义域。

根号内的式子必须大于等于 0。

2x − 6 ≥ 0

解不等式。

x ≥ 3

▸ 定义域为 {x | x ≥ 3}

无理函数先用根号内 ≥ 0 的条件确定定义域。

例题 2

说明 y = √(x − 2) + 3 是由 y = √x 如何平移而来，并求其起点。

x 变为 x − 2 即 x 轴 +2，整体 +3 即 y 轴 +3。

y = √x → y = √(x − 2) + 3

起点是把 (0, 0) 平移相同的量。

(0, 0) → (2, 3)

▸ 沿 x 轴平移 2、沿 y 轴平移 3，起点 (2, 3)

y = √(x − p) + q 的起点为 (p, q)。

总结

基本形

y = √x

定义域 x≥0，值域 y≥0

一般形

y = √(ax+b)+c

起点 (−b/a, c)

高一校内考试题型

求无理函数 y = √(x + 1) 与直线 y = x − 1 的交点的 x 坐标。

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

联立两式并两边平方（须 x − 1 ≥ 0）。

√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²

整理得 x² − 3x = 0，x = 0 或 3；由条件 x ≥ 1 得 x = 3。

x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0 为增根)

🎯 考试要点

①根号内 ≥ 0 → 定义域的核心条件

②起点 (−b/a, c)：a > 0 向右，a < 0 向左

③y = √x 是 y = x²（x≥0）的反函数 — 关于 y = x 对称

④无理方程：两边平方后必代回原式检验（增根!)

⑤图形：从起点出发逐渐缓慢增长