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高一年级 (15-16岁)

高中数学 各种方程

这一节讨论超过二次的三次方程、四次方程，以及含两个未知数的方程组。 三次方程的实数根就是图像与x轴交点的横坐标，所以先用因式定理找到一个根，再用综合除法降次，就能把剩下的一元二次方程解出来。 方程组的解就是两个图像的交点；由一个一次方程和一个二次方程组成的方程组，把一个方程代入另一个，化成一元方程来解。 第一幅图中三次函数与x轴交点的个数随p、q变化，第二幅图中抛物线与直线的交点随斜率k变化。

用图像找三次方程的根

三次方程x³ + px + q = 0的实数根，就是图像与x轴交点的横坐标。改变系数，实数根的个数会在1个、2个、3个之间变化。

-3
2
💡 三次方程的实数根
①三次函数的图像从左下延伸到右上，至少与x轴相交一次，所以三次方程至少有一个实数根
②p为负数且绝对值较大时，图像弯曲得厉害，可能与x轴相交三次
③图像与x轴相切的地方是重根，开始时图中的x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2)在x = 1处相切
④解方程时，先用因式定理找出一个根，再用综合除法降为二次

三次方程和四次方程的解法

利用因式定理
找整数根候选 → 综合除法 → 降为二次
代入常数项的因数，找出使值为0的数
利用换元
x⁴ + ax² + b = 0 → 令x² = t
四次方程变成关于t的二次方程
🔑 解题步骤
①先看有没有公因式
②代入常数项的因数，找到一个根
③用综合除法降一次
④剩下的二次方程用因式分解或求根公式解

方程组与两个图像的交点

方程组的解，就是两个图像交点的坐标。由一次方程和二次方程组成的方程组，用代入法求解。

2
📐 解方程组
①把一个方程代入另一个，化成一元方程
②x² = kx + 1整理得x² − kx − 1 = 0
③它的判别式Δ = k² + 4对任意k都是正数，所以图中的直线与抛物线总有两个交点
④两个交点的坐标就是方程组的解

特殊方程

含绝对值的方程
|f(x)| = g(x) → f(x) = g(x) 或 f(x) = −g(x)
分两种情况求解，并检查g(x) ≥ 0
无理方程
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
两边平方后，一定要代回原方程检验

例题与单元测试

例题 1
求方程x³ − 8 = 0的实数根。
1
用立方差公式因式分解。
x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0
2
由x − 2 = 0得到实数根；x² + 2x + 4 = 0的判别式4 − 16 < 0，没有实数根。
x = 2 （x² + 2x + 4 = 0没有实数根）
▸ x = 2
x³ − 8 = 0一共有三个根，其中实数根只有一个，图像y = x³ − 8也只与x轴相交一次。
例题 2
解方程组x + y = 5，x² + y² = 13。
1
由x + y = 5得y = 5 − x，代入第二个方程。
x² + (5 − x)² = 13
2
整理得2x² − 10x + 12 = 0，即x² − 5x + 6 = 0，所以(x − 2)(x − 3) = 0。
x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) 或 (3, 2)
▸ (x, y) = (2, 3) 或 (3, 2)
这也说明圆x² + y² = 13和直线x + y = 5相交于(2, 3)、(3, 2)两点。

小结

解高次方程的关键
因式定理 + 综合除法 → 降次
把三次、四次方程分解成二次及以下
教育厅 高一 学力评价 题型
求三次方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 的三个实根之和。
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ④ 6
1
三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 的三根之和为 −b/a。
α + β + γ = −b/a
2
代入 a = 1, b = −6。
α + β + γ = −(−6)/1 = 6
🎯 常考要点
①三次方程至少有一个实数根
②像只含x²和x⁴这样偶次项的四次方程，可以试着令x² = t
③方程组用代入法化成一元方程
④无理方程两边平方后要去掉增根
⑤含绝对值的方程要分类讨论，并检验每种情况的条件
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