各种方程

Various Equations

各种方程会处理超过二次的三次、四次方程以及联立方程。三次方程的根是图象与 x 轴的交点，所以先用因式定理找到一个根，再用综合除法降为二次式来求解。联立方程的解是两条图象的交点，含绝对值或无理式的方程则分情况讨论，或平方后再检验。本页可以改变系数，观察三次函数实根的个数和两条曲线交点如何变化。

三次方程 — 由图象求根

三次方程 x³ + px + q = 0 的根是图象与 x 轴的交点。改变系数观察根的个数变化。

p（x 系数）-3

q（常数项）2

💡 三次方程的根

①三次方程至少有 1 个实根

②|p| 大、弯曲明显时可有 3 个实根

③用因式定理找到一个根 → 用综合除法降为二次

三次·四次方程解题策略

因式分解策略

整数根候选 → 综合除法 → 化为二次式

代入常数项的约数寻根

换元法

x⁴ + ax² + b = 0 → 令 t = x²

四次式化为二次式

🔑 解题顺序

①检查公因式

②尝试整数根候选（常数项的因子）

③综合除法降次

④对剩余二次式应用求根公式

联立方程 — 曲线的交点

联立方程的解为两图象的交点。一次与二次的联立可用代入法求解。

斜率 k2

📐 联立方程解法

①把一式代入另一式化为一元方程

②x² = kx + 1 → x² − kx − 1 = 0

③用判别式判断交点个数

④交点坐标 = 联立方程的解

特殊方程

绝对值方程

|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)

分两种情况求解（g(x) ≥ 0）

无理方程

√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0

两边平方后务必检验

动手解题

例题 1

求三次方程 x³ − 8 = 0 的实根。

用立方差公式因式分解。

x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0

x − 2 = 0 给出实根；x² + 2x + 4 = 0 的判别式 D = 4 − 16 < 0，为虚根。

x = 2 (x² + 2x + 4 = 0 为虚根)

▸ 实根为 x = 2

三次式先因式分解，再用判别式区分实根与虚根。

例题 2

解方程组 x + y = 5, x² + y² = 13。

由 x + y = 5 得 y = 5 − x，代入第二式。

x² + (5 − x)² = 13

整理得 x² − 5x + 6 = 0，即 (x − 2)(x − 3) = 0。

x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) 或 (3, 2)

▸ (x, y) = (2, 3) 或 (3, 2)

把一次式对某一字母整理后代入二次式（代入法）。

总结

高次方程解法核心

因式定理 + 综合除法 → 降次

三次·四次分解为二次

教育厅高一学力评价题型

求三次方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 的三个实根之和。

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ④ 6

三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 的三根之和为 −b/a。

α + β + γ = −b/a

代入 a = 1, b = −6。

α + β + γ = −(−6)/1 = 6

🎯 考试要点

①三次：至少 1 个实根

②四次：尝试 t = x² 换元（仅含偶数次时）

③联立：用代入法化为一元

④无理方程：两边平方后必检验（增根!)

⑤绝对值：分情况讨论后逐一验证条件