通用数学›方程与不等式

各种方程

Various Equations

三次方程 — 由图象求根

三次方程 x³ + px + q = 0 的根是图象与 x 轴的交点。改变系数观察根的个数变化。

-3
2
💡 三次方程的根
①三次方程至少有 1 个实根
②|p| 大、弯曲明显时可有 3 个实根
③用因式定理找到一个根 → 用综合除法降为二次
三次·四次方程解题策略
因式分解策略
整数根候选 → 综合除法 → 化为二次式
代入常数项的约数寻根
换元法
x⁴ + ax² + b = 0 → 令 t = x²
四次式化为二次式
🔑 解题顺序
①检查公因式
②尝试整数根候选（常数项的因子）
③综合除法降次
④对剩余二次式应用求根公式
联立方程 — 曲线的交点

联立方程的解为两图象的交点。一次与二次的联立可用代入法求解。

2
📐 联立方程解法
①把一式代入另一式化为一元方程
②x² = kx + 1 → x² − kx − 1 = 0
③用判别式判断交点个数
④交点坐标 = 联立方程的解
特殊方程
绝对值方程
|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)
分两种情况求解（g(x) ≥ 0）
无理方程
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
两边平方后务必检验
总结
高次方程解法核心
因式定理 + 综合除法 → 降次
三次·四次分解为二次
🎯 考试要点
①三次：至少 1 个实根
②四次：尝试 t = x² 换元（仅含偶数次时）
③联立：用代入法化为一元
④无理方程：两边平方后必检验（增根!)
⑤绝对值：分情况讨论后逐一验证条件