通用数学›方程与不等式

二次方程

Quadratic Equations

判别式 — 提前判断根的个数

二次方程 ax² + bx + c = 0 的判别式 D = b² − 4ac可立刻判断实根存在性。通过抛物线与 x 轴的关系建立直观。

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💡 判别式的意义
①D > 0：抛物线与 x 轴交于两点 → 两不同实根
②D = 0：与 x 轴相切 → 重根
③D < 0：不相交 → 虚根
求根公式
求根公式
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
ax² + bx + c = 0 的解
判别式
D = b² − 4ac
D > 0：两实根；D = 0：重根；D < 0：虚根
📐 公式推导直观
①配方：(x + b/2a)² = (b²−4ac)/4a²
②两边开方：x + b/2a = ±√D / 2a
③整理 x
韦达定理 — 根与系数

不直接求 α, β 也能由系数得到和与积。

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韦达定理公式
根与系数
α + β = -ba, αβ = ca
ax² + bx + c = 0 的两根之和与积
由两根复原二次式
x² − (α+β)x + αβ = 0
已知和与积可写出方程
🔑 应用
①α² + β² = (α+β)² − 2αβ
②1/α + 1/β = (α+β) / αβ
③|α − β| = √((α+β)² − 4αβ) = √D / |a|
总结
求根公式
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
二次方程的通用解法
韦达定理
α + β = -ba, αβ = ca
不求根计算和·积
🎯 考试要点
①先用 D 判断根的存在
②D = 0 涉及切线·重根
③用韦达定理求对称式
④由和·积得新二次方程
⑤虚根成共轭对 — 已知一根另一根也定