二次方程

Quadratic Equations

二次方程是最高次为二次的方程，只要判别式 D = b² − 4ac，在求解之前就能知道有几个根。 D 为正时有两个不同的实根，为零时是重根，为负时是虚根，这些都能从抛物线与 x 轴的交点看出来。再用韦达定理，不必求根就能由系数得到两根的和与积。本页可以拖动系数，观察抛物线和根如何随之变化。

判别式 — 提前判断根的个数

二次方程 ax² + bx + c = 0 的判别式 D = b² − 4ac可立刻判断实根存在性。通过抛物线与 x 轴的关系建立直观。

b（x 系数）-2

c（常数项）-3

💡 判别式的意义

①D > 0：抛物线与 x 轴交于两点 → 两不同实根

②D = 0：与 x 轴相切 → 重根

③D < 0：不相交 → 虚根

求根公式

x = -b ± √(b² - 4ac)2a

ax² + bx + c = 0 的解

判别式

D = b² − 4ac

D > 0：两实根；D = 0：重根；D < 0：虚根

📐 公式推导直观

①配方：(x + b/2a)² = (b²−4ac)/4a²

②两边开方：x + b/2a = ±√D / 2a

③整理 x

韦达定理 — 根与系数

不直接求 α, β 也能由系数得到和与积。

p（x 系数）-5

q（常数项）6

韦达定理公式

根与系数

α + β = -ba, αβ = ca

ax² + bx + c = 0 的两根之和与积

由两根复原二次式

x² − (α+β)x + αβ = 0

已知和与积可写出方程

🔑 应用

①α² + β² = (α+β)² − 2αβ

②1/α + 1/β = (α+β) / αβ

③|α − β| = √((α+β)² − 4αβ) = √D / |a|

动手解题

例题 1

求二次方程 x² − 5x + 6 = 0 的两个根。

将左边因式分解。

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0

令各因式为 0。

x = 2 或 x = 3

▸ x = 2 或 x = 3

能因式分解时比求根公式更快。

例题 2

设二次方程 x² − 7x + 10 = 0 的两根为 α, β，求 α² + β² 的值。

由根与系数的关系求和与积。

α + β = 7, αβ = 10

代入 α² + β² = (α + β)² − 2αβ。

= 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29

▸ α² + β² = 29

不直接求根，用和与积计算对称式。

总结

求根公式

x = -b ± √(b² - 4ac)2a

二次方程的通用解法

韦达定理

α + β = -ba, αβ = ca

不求根计算和·积

教育厅高一学力评价题型

当二次方程 x² − 4x + k = 0 有重根时，常数 k 的值为?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ④ 4

重根的条件是判别式 D = 0。

D = b² − 4ac = (−4)² − 4·1·k

解 D = 0 求 k。

16 − 4k = 0 ⇒ k = 4

🎯 考试要点

①先用 D 判断根的存在

②D = 0 涉及切线·重根

③用韦达定理求对称式

④由和·积得新二次方程

⑤虚根成共轭对 — 已知一根另一根也定