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高一年级 (15-16岁)

高中数学 二次方程

一元二次方程式是最高次项为二次的方程，只要算出判别式Δ = b² − 4ac这一个数，在求根之前就能知道有几个实数根。 Δ大于0时有两个不相等的实数根，等于0时有两个相等的实数根，小于0时没有实数根（有一对共轭虚根），这正好对应抛物线y = ax² + bx + c与x轴相交于两点、相切或不相交。 利用根与系数的关系（韦达定理），不用求出两根，只凭系数就能知道两根之和与两根之积。 第一幅图中抛物线与x轴的位置关系随b、c变化，第二幅图中两根及其和与积随p、q变化。

用判别式预先知道根的个数

对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，只看判别式Δ = b² − 4ac的符号，就能知道有几个实数根。结合抛物线与x轴相交的样子来看，道理就很清楚。

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💡 判别式告诉我们什么
①Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根
②Δ = 0时，抛物线与x轴相切，方程有两个相等的实数根
③Δ < 0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实数根，有一对共轭虚根
④图中a固定为1，所以Δ = b² − 4c

求根公式

一元二次方程的求根公式
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的根
判别式
Δ = b² − 4ac
Δ > 0：两个不等实根，Δ = 0：两个相等实根，Δ < 0：一对共轭虚根
📐 求根公式是怎样得到的
①两边同除以a并配方，得(x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)
②两边开平方，得x + b/(2a) = ±√Δ/(2a)
③整理出x，就得到求根公式
④公式里含有√Δ，所以Δ的符号决定根的类型

根与系数的关系

即使不求出两根α、β，两根之和与两根之积也能只凭系数知道。

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根与系数关系的公式

根与系数的关系（韦达定理）
α + β = -ba, αβ = ca
ax² + bx + c = 0的两根α、β之和与之积
由两根写出一元二次方程
x² − (α + β)x + αβ = 0
知道两根之和与积，就能直接写出二次项系数为1的方程
🔑 这样用
①α² + β² = (α + β)² − 2αβ
②1/α + 1/β = (α + β)/(αβ)
③两根为实数时，|α − β| = √((α + β)² − 4αβ) = √Δ/|a|
④在第二幅图中，即使Δ < 0、数轴上没有根，和与积照样能算出来，因为虚根也满足这个关系

例题与单元测试

例题 1
解方程x² − 5x + 6 = 0。
1
把左边因式分解。
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
2
令每个因式等于0。
x = 2 或 x = 3
▸ x = 2 或 x = 3
两根之和5、两根之积6，分别等于−(−5)/1和6/1，用根与系数的关系也能验证。
例题 2
设方程x² − 7x + 10 = 0的两根为α、β，求α² + β²的值。
1
用根与系数的关系求出两根之和与积。
α + β = 7, αβ = 10
2
代入α² + β² = (α + β)² − 2αβ。
= 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29
▸ α² + β² = 29
实际上两根是2和5，2² + 5² = 29。不求根也得到了同样的答案。

小结

求根公式
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
适用于任何一元二次方程的解法
根与系数的关系
α + β = -ba, αβ = ca
不求根也能算出两根之和与积
教育厅 高一 学力评价 题型
当二次方程 x² − 4x + k = 0 有重根时，常数 k 的值为？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ④ 4
1
重根的条件是判别式 D = 0。
D = b² − 4ac = (−4)² − 4·1·k
2
解 D = 0 求 k。
16 − 4k = 0 ⇒ k = 4
🎯 常考要点
①先用判别式判断根的情况
②Δ = 0这个条件常用于相切、两根相等的问题
③用根与系数的关系求α² + β²这类对称式的值
④由两根之和与积构造新的一元二次方程
⑤实系数一元二次方程的虚根成对共轭出现，知道一个就能确定另一个
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