高一年级 (15-16岁)

高中数学复数

实数的平方总是不小于0，所以没有实数满足x² = −1。于是引入平方等于−1的新数i，把数的范围扩大，这就是复数。复数写成a + bi（a、b为实数）的形式，a叫作实部，b叫作虚部；有了复数，判别式小于0的一元二次方程也有了解。 a + bi和a − bi互为共轭复数，二者相乘得到实数a² + b²，复数的除法正是利用了这一点。第一幅图中，i的乘方依次在四个位置上循环；第二幅图把复数a + bi和它的共轭复数表示成平面上的点。

虚数单位i

为了得到满足x² = −1的数，规定了i² = −1的新数i。有了i，数就能离开实数所在的直线，向新的方向延伸。

i的指数 n5

💡 i的乘方每四个一循环

①i⁰ = 1，i¹ = i，i² = −1，i³ = −i

②i⁴ = i² × i² = 1，又回到开头，所以值以4为周期循环

③因此iⁿ的值只由n除以4的余数决定

④图下方的除法算式，就是在求这个余数

用平面上的点表示复数

把复数z = a + bi表示成复平面上的点(a, b)，横轴表示实部，纵轴表示虚部。

实部 a3

虚部 b2

🔑 在复平面上读什么

①z = a + bi对应点(a, b)

②共轭复数z̄ = a − bi对应点(a, −b)，与z关于实轴对称

③|z|是原点到点(a, b)的距离，等于√(a² + b²)

④z · z̄ = a² + b² = |z|²总是实数，所以做除法时，把分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母变成实数

复数的运算

加法

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

实部与实部相加，虚部与虚部相加

乘法

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

按分配律展开后，再用 i² = −1

共轭复数之积

z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b² = |z|²

虚部抵消，结果总是实数

两个复数相等的条件

复数相等

a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d

a、b、c、d为实数时，实部和虚部必须分别相等

📐 相等条件的应用

①含复数的方程，分别比较两边的实部和虚部来求未知数

②若z = z̄，则b = 0，z是实数

③若z = −z̄，则a = 0，z是0或纯虚数

例题与单元测试

例题 1

把(2 + 3i)(1 − 2i)化成a + bi的形式（i为虚数单位）。

按分配律展开。

2 − 4i + 3i − 6i²

代入i² = −1，整理实部和虚部。

2 − i + 6 = 8 − i

▸ 8 − i

−6i²变成+6的这一步是复数乘法的关键。漏掉这个符号，就会得到错误答案−4 − i。

例题 2

求i + i² + i³ + … + i¹⁰的值。

i的乘方以i、−1、−i、1为一个周期循环，连续四项之和为0。

i + i² + i³ + i⁴ = 0

从i¹到i⁸的和为0，只剩下i⁹ + i¹⁰。

i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i

▸ −1 + i

9除以4余1，10除以4余2，所以i⁹ = i，i¹⁰ = i² = −1。可以在上面第一幅图中把n调到9、10来验证。

小结

虚数单位

i² = −1，i的乘方以4为周期循环

i⁰ = 1，i¹ = i，i² = −1，i³ = −i

复数的模

|z| = |a + bi| = √(a² + b²)

在复平面上到原点的距离

高一校内考试题型

对复数 z = 3 − 4i，z·z̄ 的值为？（z̄ 为 z 的共轭复数）

①5

②7

③25

④−7

⑤−25

▸ ③ 25

共轭复数为 z̄ = 3 + 4i，故将两者相乘。

z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i)

用平方差公式整理。

= 3² − (4i)² = 9 + 16 = 25

🎯 常考要点

①iⁿ用指数n除以4的余数来计算

②复数除法：分子分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化

③一定要记住z · z̄ = |z|²

④复数相等：实部和虚部分别比较

⑤在复平面上，共轭复数关于实轴对称

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因式分解

二次方程

最后更新 2026-10-17

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