复数

Complex Numbers

复数通过引入平方等于 −1 的新数 i，把实数的世界扩展开来。负数在实数里没有平方根，但有了 i，每个二次方程都必有解。它写成 a + bi，由实部与虚部组成，乘以共轭复数又会回到实数。本页把复数画成复平面上的点，看看加法与乘法究竟是怎样的移动。

虚数单位 i 的诞生

为求 x² = -1 的解，定义 i² = -1 的数。i 离开实数轴打开新维度。

i 的幂5

💡 i 的循环

①i⁰ = 1、i¹ = i、i² = -1、i³ = -i

②i⁴ = 1 回到原点 → 4周期循环

③i^n：由 n 除以 4 的余数决定

复平面 — 复数点表示

复数 z = a + bi 表示为复平面的点 (a, b)。横轴为实部，纵轴为虚部。

实部 a3

虚部 b2

🔑 复平面要点

①z = a + bi → 点 (a, b)

②z̄ = a - bi → 关于实轴对称 (a, -b)

③|z| = 到原点距离 = √(a² + b²)

复数的运算

复数加法

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

实部对实部，虚部对虚部相加

复数乘法

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

分配后用 i² = -1

共轭复数的乘积

z · z̄ = (a+bi)(a-bi) = a² + b² = |z|²

结果恒为实数（虚部消失）

复数的相等条件

复数相等

a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d

实部与虚部分别相等

📐 相等条件的应用

①复数方程通过比较实部·虚部确定未知量

②z = z̄ ⟺ b = 0（纯实数）

③z = -z̄ ⟺ a = 0（纯虚数）

动手解题

例题 1

将 (2 + 3i)(1 − 2i) 写成 a + bi 的形式。(i 为虚数单位)

用分配律展开。

2 − 4i + 3i − 6i²

代入 i² = −1 并整理。

2 − i + 6 = 8 − i

▸ 8 − i

代入 i² = −1 是复数乘法的关键。

例题 2

求 i + i² + i³ + … + i¹⁰ 的值。

i 的幂以 i, −1, −i, 1 为周期 4 循环，连续四项之和为 0。

i + i² + i³ + i⁴ = 0

i¹ 到 i⁸ 之和为 0，剩下 i⁹ + i¹⁰。

i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i

▸ −1 + i

幂由指数除以 4 的余数判断。

总结

虚数单位

i² = -1，i 的幂4周期循环

i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i

模

|z| = |a + bi| = √(a² + b²)

复平面上到原点的距离

高一校内考试题型

对复数 z = 3 − 4i，z·z̄ 的值为?(z̄ 为 z 的共轭复数)

①5

②7

③25

④−7

⑤−25

▸ ③ 25

共轭复数为 z̄ = 3 + 4i，故将两者相乘。

z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i)

用平方差公式整理。

= 3² − (4i)² = 9 + 16 = 25

🎯 考试要点

①i 的幂：取指数模 4

②复数除法：乘以分母的共轭进行实数化

③z · z̄ = |z|² 必记

④相等条件：分别比较实部与虚部

⑤共轭复数关于实轴对称