通用数学›方程与不等式

复数

Complex Numbers

虚数单位 i 的诞生

为求 x² = -1 的解，定义 i² = -1 的数。i 离开实数轴打开新维度。

i 的幂5

💡 i 的循环

①i⁰ = 1、i¹ = i、i² = -1、i³ = -i

②i⁴ = 1 回到原点 → 4周期循环

③i^n：由 n 除以 4 的余数决定

复平面 — 复数点表示

复数 z = a + bi 表示为复平面的点 (a, b)。横轴为实部，纵轴为虚部。

实部 a3

虚部 b2

🔑 复平面要点

①z = a + bi → 点 (a, b)

②z̄ = a - bi → 关于实轴对称 (a, -b)

③|z| = 到原点距离 = √(a² + b²)

复数的运算

复数加法

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

实部对实部，虚部对虚部相加

复数乘法

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

分配后用 i² = -1

共轭复数的乘积

z · z̄ = (a+bi)(a-bi) = a² + b² = |z|²

结果恒为实数（虚部消失）

复数的相等条件

复数相等

a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d

实部与虚部分别相等

📐 相等条件的应用

①复数方程通过比较实部·虚部确定未知量

②z = z̄ ⟺ b = 0（纯实数）

③z = -z̄ ⟺ a = 0（纯虚数）

总结

虚数单位

i² = -1，i 的幂4周期循环

i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i

模

|z| = |a + bi| = √(a² + b²)

复平面上到原点的距离

🎯 考试要点

①i 的幂：取指数模 4

②复数除法：乘以分母的共轭进行实数化

③z · z̄ = |z|² 必记

④相等条件：分别比较实部与虚部

⑤共轭复数关于实轴对称