seegongsik
高一年级 (15-16岁)

高中数学 各种不等式

解一元二次不等式，就是分清抛物线在x轴下方的区间和在x轴上方的区间。 先用判别式Δ的符号看抛物线与x轴是否相交，如果相交，答案的范围取决于要的是两根之间还是两根之外。 含绝对值的不等式|x| < a，表示数轴上到原点距离小于a的点；不等式组则是找出各个不等式的解重叠的部分。 第一幅图中，表示解的绿色区间随系数伸缩，Δ变为负数时消失；第二幅图中，数轴上区间的宽度随a变化。

一元二次不等式：抛物线在x轴下方的区间

一元二次不等式ax² + bx + c ≤ 0（a > 0）的解集，是抛物线在x轴下方或与x轴相交的区间。先用判别式Δ判断这样的区间是否存在。

-2
-3
💡 怎样读出解集
①x² + px + q ≤ 0的解集在两根α、β之间，即α ≤ x ≤ β
②x² + px + q ≥ 0的解集在两根之外，即x ≤ α或x ≥ β
③Δ = 0时抛物线与x轴相切，x² + px + q ≤ 0的解只有x = −p/2一个
④Δ < 0时抛物线始终在x轴上方，x² + px + q ≤ 0无解，x² + px + q > 0对一切实数成立
⑤图中x²的系数固定为1

一元二次不等式的解法

因式分解法
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
因式分解后，判断各区间的符号
Δ < 0时
a > 0时ax² + bx + c > 0，a < 0时ax² + bx + c < 0（对一切实数x）
判别式为负，二次式的符号不变
📐 用符号表求解
①把f(x)因式分解成a(x − α)(x − β)的形式
②在数轴上标出两根α、β
③确定f(x)在三个区间上的符号
④符号符合不等式要求的区间就是解集

含绝对值的不等式

3
含绝对值的不等式
|x| < a ⟺ −a < x < a
到原点的距离小于a（a > 0）
含绝对值的不等式（反向）
|x| > a ⟺ x < −a 或 x > a
到原点的距离大于a（a > 0）

不等式组

不等式组的解集
（第一个不等式的解集）∩（第二个不等式的解集）
分别求出各不等式的解集，再找重叠部分
🔑 解不等式组的步骤
①逐个求出每个不等式的解集
②把各个解集画在同一条数轴上
③所有解集都重叠的区间就是不等式组的解集
④没有重叠部分，不等式组就无解

例题与单元测试

例题 1
解不等式x² − x − 6 < 0。
1
把左边因式分解。
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0
2
开口向上的抛物线在两根之间位于x轴下方。
−2 < x < 3
▸ −2 < x < 3
不等号不带等号，所以两根−2和3不在解集内。
例题 2
解不等式组2x − 1 > 3，x² − 5x + 4 ≤ 0。
1
分别解两个不等式。
x > 2 且 (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4
2
求两个解集的公共部分。
2 < x ≤ 4
▸ 2 < x ≤ 4
把x > 2和1 ≤ x ≤ 4画在同一条数轴上，只在2和4之间重叠；2不满足第一个不等式，所以不包括在内。

小结

一元二次不等式
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
从抛物线与x轴的位置关系读出
含绝对值的不等式
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a
去掉绝对值，得到两边夹住的不等式
教育厅 高一 学力评价 题型
使 x² − 2x + k > 0 对所有实数 x 恒成立的常数 k 的取值范围是？
①k < 1
②k > 1
③k ≤ 1
④k ≥ 1
⑤k > 2
▸ ② k > 1
1
开口向上（二次项系数 1 > 0），故恒正的条件是判别式 D < 0。
D = (−2)² − 4·1·k < 0
2
解不等式。
4 − 4k < 0 ⇒ k > 1
🎯 常考要点
①解一元二次不等式，先确认判别式Δ的符号
②a > 0且Δ < 0时，ax² + bx + c > 0对一切实数成立
③|x − a| < b即a − b < x < a + b，是以a为中心、向两边各延伸b的区间
④不等式组要在数轴上画图，确认重叠部分
⑤“对一切实数x都成立”这类条件，转化为Δ < 0或Δ ≤ 0来解
← 上一页
各种方程
下一页 →
平面坐标与直线方程

最后更新

如果有帮助，请支持我们