各种不等式

Various Inequalities

解二次不等式，归根结底就是看抛物线落在 x 轴的下方还是上方。先用判别式 D 的符号判断有没有解，答案要么在两根之间，要么在两根之外。绝对值不等式 |x| < a 表示到原点距离小于 a 的区间，而不等式组要找的是各个解重叠的公共部分。拖动系数滑块，观察绿色解区域如何伸缩、在 D 为负时消失，再看数轴上绝对值不等式的区间。

二次不等式 — 抛物线上下区域

二次不等式 ax² + bx + c ≤ 0 的解为抛物线在 x 轴下方的区间。先用判别式 D 判断解的存在性。

p（x 系数）-2

q（常数项）-3

💡 二次不等式的解

①x² + px + q ≤ 0：两根之间（α ≤ x ≤ β）

②x² + px + q ≥ 0：两根之外（x ≤ α 或 x ≥ β）

③D < 0 且 a > 0：x² + px + q > 0 恒成立

二次不等式解题体系

二次不等式解法

f(x) = a(x − α)(x − β) ≤ 0（a > 0 时 α ≤ x ≤ β）

因式分解后判断符号

D < 0 时

a > 0：恒正；a < 0：恒负

判别式为负则符号不会变化

📐 符号表法

①把 f(x) 因式分解为 a(x − α)(x − β)

②在数轴上标出根 α, β

③在各区间判断符号

④所求符号对应的区间即为解

绝对值不等式

a 的值3

绝对值不等式

|x| < a ⟺ -a < x < a

到原点距离小于 a

绝对值不等式（反向）

|x| > a ⟺ x < -a 或 x > a

到原点距离大于 a

联立不等式

联立不等式的解

A ∩ B（两个不等式解的交集）

分别求解后取公共部分

🔑 解题策略

①分别求解每个不等式

②在数轴上标出各解

③重叠区间（交集）即为联立解

④若无重叠则「无解」

动手解题

例题 1

解二次不等式 x² − x − 6 < 0。

将左边因式分解。

x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0

开口向上的二次式在两根之间为负。

−2 < x < 3

▸ −2 < x < 3

开口向上的二次式小于 0 的区间在两根之间。

例题 2

解不等式组 2x − 1 > 3, x² − 5x + 4 ≤ 0。

分别解每个不等式。

x > 2 且 (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4

求两解的公共范围。

2 < x ≤ 4

▸ 2 < x ≤ 4

不等式组求各解的公共部分（交集）。

总结

二次不等式

a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β

抛物线与 x 轴的位置关系

绝对值不等式

|f(x)| < a ⟺ -a < f(x) < a

去掉绝对值即得双向不等式

教育厅高一学力评价题型

使 x² − 2x + k > 0 对所有实数 x 恒成立的常数 k 的取值范围是?

①k < 1

②k > 1

③k ≤ 1

④k ≥ 1

⑤k > 2

▸ ② k > 1

开口向上（二次项系数 1 > 0），故恒正的条件是判别式 D < 0。

D = (−2)² − 4·1·k < 0

解不等式。

4 − 4k < 0 ⇒ k > 1

🎯 考试要点

①二次不等式：先看 D 的符号

②a > 0 且 D < 0 → 恒正

③绝对值：|x − a| < b → a − b < x < a + b（中心 a，半径 b）

④联立：用数轴图找交集

⑤「对所有实数 x」条件 → 用 D ≤ 0