通用数学›方程与不等式

各种不等式

Various Inequalities

二次不等式 — 抛物线上下区域

二次不等式 ax² + bx + c ≤ 0 的解为抛物线在 x 轴下方的区间。先用判别式 D 判断解的存在性。

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💡 二次不等式的解
①x² + px + q ≤ 0：两根之间（α ≤ x ≤ β）
②x² + px + q ≥ 0：两根之外（x ≤ α 或 x ≥ β）
③D < 0 且 a > 0：x² + px + q > 0 恒成立
二次不等式解题体系
二次不等式解法
f(x) = a(x − α)(x − β) ≤ 0（a > 0 时 α ≤ x ≤ β）
因式分解后判断符号
D < 0 时
a > 0：恒正；a < 0：恒负
判别式为负则符号不会变化
📐 符号表法
①把 f(x) 因式分解为 a(x − α)(x − β)
②在数轴上标出根 α, β
③在各区间判断符号
④所求符号对应的区间即为解
绝对值不等式
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绝对值不等式
|x| < a ⟺ -a < x < a
到原点距离小于 a
绝对值不等式（反向）
|x| > a ⟺ x < -a 或 x > a
到原点距离大于 a
联立不等式
联立不等式的解
A ∩ B（两个不等式解的交集）
分别求解后取公共部分
🔑 解题策略
①分别求解每个不等式
②在数轴上标出各解
③重叠区间（交集）即为联立解
④若无重叠则「无解」
总结
二次不等式
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
抛物线与 x 轴的位置关系
绝对值不等式
|f(x)| < a ⟺ -a < f(x) < a
去掉绝对值即得双向不等式
🎯 考试要点
①二次不等式：先看 D 的符号
②a > 0 且 D < 0 → 恒正
③绝对值：|x − a| < b → a − b < x < a + b（中心 a，半径 b）
④联立：用数轴图找交集
⑤「对所有实数 x」条件 → 用 D ≤ 0