通用数学›集合·命题·函数

集合与命题

Sets & Propositions

集合 — 用文氏图理解

n(A)7

n(B)5

n(A∩B)3

💡 为何要减?

A 有 7 人、B 有 5 人，直接相加为 12，但重叠者被数了两次。减去交集一次即得正确并集人数。此为并集公式核心。

并集的元素个数

并集公式

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

减去重叠以排除重复

📐 文氏图核对

①仅 A 区 = n(A) − n(A∩B)

②仅 B 区 = n(B) − n(A∩B)

③交集 = n(A∩B)

④三区之和 = n(A) + n(B) − n(A∩B)

⑤用上方滑块验证

集合运算与德摩根

德摩根定律

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

并集的补 = 各补集的交

德摩根 (2)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

交集的补 = 各补集的并

💡 记忆法

①取补后 ∪ 与 ∩ 互换

②直观：「不在 A 或 B」=「既不在 A 也不在 B」

③差集：A − B = A ∩ Bᶜ（从 A 中减去与 B 的重叠）

命题与逆否 — 真值比较

p（0=假, 1=真）1

q（0=假, 1=真）1

命题 p → q

p → q 仅当 p=真, q=假时为假

前提真而结论假时命题为假

🔍 逆·否·逆否

①逆：q → p（与原命题真值无关）

②否：~p → ~q（与原命题真值无关）

③逆否：~q → ~p（与原命题真值始终一致!)

④逆否证明：直接证 p→q 困难时改证 ~q→~p

总结

🎯 考试要点

①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

②德摩根：取补后 ∪ ↔ ∩ 互换

③p→q 为假 ⟺ p 真且 q 假

④原命题 ⟺ 逆否命题（真值始终相同）

⑤充分条件：p→q 为真时 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件