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高一年级 (15-16岁)

高中数学 集合与命题

集合是能明确判断某个对象是否属于它的一组对象，命题是能明确判断真假的语句。 两个集合共有的元素组成交集，至少属于其中一个集合的元素组成并集，用韦恩图画出来，关系一目了然。 在“若p，则q”形式的命题中，把条件和结论交换或否定，就得到逆命题、否命题和逆否命题，其中只有逆否命题与原命题的真假始终相同。 第一幅图中可以改变元素个数，检验并集元素个数的公式；第二幅图中可以改变p和q的真假，把原命题和逆否命题并排比较。

用韦恩图看集合

7
5
3
💡 为什么要减去交集
足球队有7人、篮球队有5人，并不代表两个队一共有12人。如果有3人同时参加两个队，这3人就被数了两次。把重复的3人减去一次，才得到至少参加一个队的人数，也就是9人。这就是并集元素个数公式的道理。

并集的元素个数

并集元素个数公式
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
把数了两次的交集减去一次
📐 用韦恩图验证
①只属于A的元素有n(A) − n(A ∩ B)个
②只属于B的元素有n(B) − n(A ∩ B)个
③同时属于A和B的元素有n(A ∩ B)个
④三部分相加得n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
⑤把上图中三个数相加，总等于下面一行的n(A ∪ B)

补集与德摩根定律

德摩根定律（1）
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
并集的补集等于各自补集的交集
德摩根定律（2）
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
交集的补集等于各自补集的并集
💡 记忆方法
①把括号外的补集移进括号里，∪和∩就互换
②“不属于A或B”和“既不属于A也不属于B”是一个意思
③差集也可以同样写成A − B = A ∩ B^c

命题与逆否命题

1
1
命题 p → q
p → q为假，只有在p真且q假的时候
条件为真而结论为假，命题就是假命题
🔍 逆命题、否命题、逆否命题
①逆命题q → p与原命题的真假不一定相同
②否命题¬p → ¬q与原命题的真假也不一定相同
③逆否命题¬q → ¬p与原命题的真假始终相同
④直接证明p → q有困难时，可以改为证明它的逆否命题¬q → ¬p
⑤若p → q为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

例题与单元测试

例题 1
A、B是全集U的两个子集，n(A) = 20，n(B) = 15，n(A ∩ B) = 8，求n(A ∪ B)。
1
用并集元素个数公式。
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2
代入数值。
n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27
▸ n(A ∪ B) = 27
只属于A的有12个，只属于B的有7个，两者都属于的有8个，12 + 7 + 8 = 27，结果一致。
例题 2
全集U中，n(U) = 30，n(A) = 18，n(B) = 14，n(A ∩ B) = 7，求n(Ac ∩ Bc)。
1
先求并集的元素个数。
n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25
2
由德摩根定律，Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c，所以用全集去减。
n(Ac ∩ Bc) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5
▸ n(Ac ∩ Bc) = 5
这道题问的是既不属于A也不属于B的元素个数，也就是韦恩图中两个圆外面的区域。

小结

教育厅 高一 学力评价 题型
对实数 x 的两个条件 p: 1 ≤ x ≤ 5, q: x ≥ k。使 p 成为 q 的充分条件的实数 k 的最大值为？
①-1
②0
③1
④2
⑤3
▸ ③ 1
1
若 p 是 q 的充分条件，则真值集合满足 P ⊆ Q。
P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q
2
要使 P 的所有元素都满足 x ≥ k，k 不能超过 P 的最小值 1。
k ≤ 1，故最大值为 k = 1
🎯 常考要点
①n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
②德摩根定律：把补集移进括号里，∪和∩互换
③p → q为假，只有p真q假这一种情况
④原命题与逆否命题真假相同
⑤p → q为真时，p是充分条件，q是必要条件
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