集合与命题

Sets & Propositions

集合是条件明确的一群对象，命题则是能明确判断真假的句子。把两个集合的公共部分交集，以及合并起来的并集画成文氏图，它们的关系便一目了然。在命题「若 p 则 q」中把假设和结论对调或否定，就得到逆命题、否命题和逆否命题，而逆否命题的真假始终与原命题相同。在本页你可以移动集合观察运算结果，也能亲自验证命题与逆否命题的关系。

集合 — 用文氏图理解

n(A)7

n(B)5

n(A∩B)3

💡 为何要减?

A 有 7 人、B 有 5 人，直接相加为 12，但重叠者被数了两次。减去交集一次即得正确并集人数。此为并集公式核心。

并集的元素个数

并集公式

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

减去重叠以排除重复

📐 文氏图核对

①仅 A 区 = n(A) − n(A∩B)

②仅 B 区 = n(B) − n(A∩B)

③交集 = n(A∩B)

④三区之和 = n(A) + n(B) − n(A∩B)

⑤用上方滑块验证

集合运算与德摩根

德摩根定律

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

并集的补 = 各补集的交

德摩根 (2)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

交集的补 = 各补集的并

💡 记忆法

①取补后 ∪ 与 ∩ 互换

②直观：「不在 A 或 B」=「既不在 A 也不在 B」

③差集：A − B = A ∩ Bᶜ（从 A 中减去与 B 的重叠）

命题与逆否 — 真值比较

p（0=假, 1=真）1

q（0=假, 1=真）1

命题 p → q

p → q 仅当 p=真, q=假时为假

前提真而结论假时命题为假

🔍 逆·否·逆否

①逆：q → p（与原命题真值无关）

②否：~p → ~q（与原命题真值无关）

③逆否：~q → ~p（与原命题真值始终一致!)

④逆否证明：直接证 p→q 困难时改证 ~q→~p

动手解题

例题 1

设全集的两个子集 A, B 满足 n(A)=20, n(B)=15, n(A∩B)=8，求 n(A∪B)。

写出并集的元素个数公式。

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

代入数值。

n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27

▸ n(A ∪ B) = 27

关键在于把重叠的交集只减去一次。

例题 2

设全集 U 满足 n(U)=30, n(A)=18, n(B)=14, n(A∩B)=7，求 n(Aᶜ ∩ Bᶜ)。

先求并集的元素个数。

n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25

由德摩根律 Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ，故从全集中减去。

n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5

▸ n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 5

补集的交集用德摩根律化为并集的补集来求。

总结

教育厅高一学力评价题型

对实数 x 的两个条件 p: 1 ≤ x ≤ 5, q: x ≥ k。使 p 成为 q 的充分条件的实数 k 的最大值为?

①-1

②0

③1

④2

⑤3

▸ ③ 1

若 p 是 q 的充分条件，则真值集合满足 P ⊆ Q。

P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q

要使 P 的所有元素都满足 x ≥ k，k 不能超过 P 的最小值 1。

k ≤ 1，故最大值为 k = 1

🎯 考试要点

①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

②德摩根：取补后 ∪ ↔ ∩ 互换

③p→q 为假 ⟺ p 真且 q 假

④原命题 ⟺ 逆否命题（真值始终相同）

⑤充分条件：p→q 为真时 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件