通用数学›集合·命题·函数

有理函数

Rational Function

反比例 — 有理函数的起点
💧 水龙头与浴缸
①向浴缸注入12升水
②每分1L → 12分；每分2L → 6分；每分3L → 4分
③流量(x) 增大时间(y) 减小：xy = 12（恒定!)
④这就是反比例关系，图象即 y = k/x
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基本有理函数
y = kx (x ≠ 0)
xy = k：两变量的积恒定
📐 基本形核心性质
①关于原点对称：f(−x) = −f(x) → 奇函数
②k > 0 → 第1·3象限；k < 0 → 第2·4象限
③|k| 越大图象越远离坐标轴
④渐近线：x 轴(y=0) 与 y 轴(x=0) — 无限接近但不相交
平移 — 渐近线交点为核心
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标准形
y = kx − a + b
垂直渐近线：x = a；水平渐近线：y = b
🔑 为何渐近线交点重要
①y = k/x 的「中心」是原点 (0, 0)
②y = k/(x−a) + b 的中心移到 (a, b)
③渐近线 x = a 与 y = b 的交点即双曲线中心
④定义域：x ≠ a；值域：y ≠ b
一般形 → 标准形
一般形
y = cx + dex + f
分子除以分母得 商 + 余/分母 形式
🧮 例：y = (2x+5)/(x+1)
①分子 ÷ 分母：(2x+5) ÷ (x+1) = 2 余 3
②故 y = 2 + 3/(x+1) = 3/(x+1) + 2
③标准形：k=3, a=−1, b=2
④垂直渐近线：x = −1；水平渐近线：y = 2
⑤双曲线中心：(−1, 2)

变换技巧

📋一般形 → 标准形 变换要点
水平渐近线 b
例：(2x+5)/(x+1) → b = 2/1 = 2
（分子最高次系数）÷（分母最高次系数）
垂直渐近线 a
例：x+1 = 0 → a = −1
使分母 = 0 的 x
k 值
例：2x+5 = 2(x+1) + 3 → k = 3
分子的余数
有理函数的反函数
反函数关系
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
渐近线角色(a↔b) 互换 — 关于 y=x 对称!
🪞 自己作反函数?
①y = k/x 的反函数：x = k/y → y = k/x
②y = k/x 自己即为反函数（自反函数，involution）
③一般形 y = k/(x−a)+b 的反函数：a 与 b 互换
④a = b 时自己即为反函数（关于 y=x 对称）
总结
有理函数核心
y = kx − a + b
渐近线交点 (a, b)，定义域 x≠a，值域 y≠b
🎯 考试要点
①渐近线：x = a（垂直），y = b（水平）— 分母=0／最高次系数比
②k > 0：第1·3象限；k < 0：第2·4象限
③一般形 (cx+d)/(ex+f) → 用除法转化为标准形
④定义域 x ≠ a，值域 y ≠ b — 排除渐近线值
⑤反函数：a↔b 互换；a=b 则关于 y=x 对称（自反函数）