seegongsik
高一年级 (15-16岁)

高中数学 有理函数

分式函数（有理函数）是分母里含有自变量的函数，它从反比例函数y = k/x出发：就像给浴缸放水所需的时间一样，两个量的乘积保持不变。 它的图像是分成两支的双曲线，无限接近x轴和y轴却永远不会碰到，这样的直线叫作渐近线。 y = k/(x − a) + b是把y = k/x平移得到的，两条渐近线的交点(a, b)成为曲线的对称中心；看起来复杂的一般式，把分子除以分母也能化成这种形式。 第一幅图中双曲线所在的象限和面积为k的长方形随k变化，第二幅图中渐近线和曲线随a、b一起移动。

从反比例开始的分式函数

💧 水龙头和浴缸
①假设要往浴缸里放12 L水
②每分钟1 L要12分钟，每分钟2 L要6分钟，每分钟3 L要4分钟
③每分钟的流量x越大，所需时间y越短，而二者的乘积xy始终是12
④把这种反比例关系写成式子，就是y = k/x
2
基本的分式函数
y = kx (x ≠ 0)
xy = k，两个变量的乘积始终不变
📐 基本形式的性质
①f(−x) = −f(x)，所以图像关于原点对称
②k > 0时图像在第一、三象限，k < 0时在第二、四象限
③|k|越大，图像离原点越远
④渐近线是x轴（y = 0）和y轴（x = 0），图像无限接近两条坐标轴但不相交
⑤图中长方形的面积总是k，说明曲线上任意一点的横坐标与纵坐标之积都是k

平移与渐近线

1
1
标准形式
y = kx − a + b
渐近线 x = a，y = b
🔑 为什么渐近线的交点很重要
①y = k/x的图像关于原点(0, 0)对称
②y = k/(x − a) + b是把它平移(a, b)得到的，所以关于点(a, b)对称
③(a, b)就是两条渐近线x = a、y = b的交点
④定义域是{x | x ≠ a}，值域是{y | y ≠ b}

把一般式化为标准形式

一般式
y = cx + dex + f
把分子除以分母，化成 商 + 余式/分母 的形式
🧮 化简y = (2x + 5)/(x + 1)
①2x + 5 = 2(x + 1) + 3，所以分子除以分母，商2余3
②因此y = 2 + 3/(x + 1) = 3/(x + 1) + 2
③对照标准形式，k = 3，a = −1，b = 2
④渐近线是x = −1和y = 2
⑤图像关于点(−1, 2)对称

化简技巧

从一般式直接读出
水平渐近线 y = b
例：(2x + 5)/(x + 1)，b = 2/1 = 2
（分子中x的系数）÷（分母中x的系数）
竖直渐近线 x = a
例：x + 1 = 0，a = −1
使分母为0的x
k的值
例：2x + 5 = 2(x + 1) + 3，k = 3
分母中x的系数为1时，分子除以分母的余数

分式函数的反函数

反函数
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
两条渐近线的角色互换（a ↔ b），两个图像关于直线y = x对称
🪞 反函数就是自身的函数
①把y = k/x中的x、y互换，得x = k/y，即y = k/x，与原式相同
②所以y = k/x的反函数就是它自己
③y = k/(x − a) + b的反函数是y = k/(x − b) + a，a和b互换
④a = b时，它的反函数又是它自己，图像关于直线y = x对称

例题与单元测试

例题 1
求函数y = 2/(x − 3) + 1图像的渐近线方程。
1
对于y = k/(x − p) + q，渐近线是x = p和y = q。
y = 2/(x − 3) + 1
2
读出p = 3，q = 1。
竖直渐近线 x = 3，水平渐近线 y = 1
▸ x = 3，y = 1
在第二幅图中取k = 2，a = 3，b = 1，就能看到这个图像。
例题 2
把函数y = (2x + 1)/(x − 1)化成y = k/(x − p) + q的形式，并求渐近线方程。
1
用分子除以分母：2x + 1 = 2(x − 1) + 3。
y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)
2
从标准形式读出渐近线。
y = 3/(x − 1) + 2, 渐近线 x = 1, y = 2
▸ x = 1，y = 2
水平渐近线y = 2等于分子、分母中x的系数之比2/1，不做除法也能先猜出来。

小结

分式函数的标准形式
y = kx − a + b
渐近线x = a、y = b，定义域x ≠ a，值域y ≠ b
高一 校内考试 题型
当有理函数 y = 3/(x − 2) + 1 的图象关于点 (a, b) 对称时，a + b 的值为？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
有理函数 y = k/(x − p) + q 关于渐近线交点 (p, q) 对称。
对称中心 = (p, q) = (2, 1)
2
相加 a = 2, b = 1。
a + b = 2 + 1 = 3
🎯 常考要点
①竖直渐近线是使分母为0的x，水平渐近线由分子、分母中x的系数之比求出
②k > 0时图像在第一、三象限一侧，k < 0时在第二、四象限一侧
③一般式(cx + d)/(ex + f)用除法化为标准形式
④定义域去掉x = a，值域去掉y = b
⑤反函数就是把a和b互换，a = b时反函数是它自己
← 上一页
集合与命题
下一页 →
无理函数

最后更新

如果有帮助，请支持我们