有理函数是分母含变量的函数，它从两量之积恒定的反比例 y = k/x 出发，就像注水的流量与时间。
它的图象是以原点为中心的双曲线，无限接近 x 轴与 y 轴这两条渐近线却始终不相交。
平移后的 y = k/(x − a) + b 以渐近线交点 (a, b) 为中心，复杂的一般形只要分子除以分母也能化成这个标准形。
本页可调节 k 与平移量 a、b，观察双曲线和渐近线如何随之移动。
反比例 — 有理函数的起点
💧 水龙头与浴缸
①向浴缸注入12升水
②每分1L → 12分；每分2L → 6分；每分3L → 4分
③流量(x) 增大时间(y) 减小：xy = 12（恒定!)
④这就是反比例关系，图象即 y = k/x
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y = k/x 基本形 — 改变 k 观察双曲线
2
基本有理函数
y = kx (x ≠ 0)
xy = k：两变量的积恒定
📐 基本形核心性质
①关于原点对称：f(−x) = −f(x) → 奇函数
②k > 0 → 第1·3象限；k < 0 → 第2·4象限
③|k| 越大图象越远离坐标轴
④渐近线：x 轴(y=0) 与 y 轴(x=0) — 无限接近但不相交
平移 — 渐近线交点为核心
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原图(蓝)经 (a, b) 平移后的有理函数(金)
1
1
标准形
y = kx − a + b
垂直渐近线：x = a；水平渐近线：y = b
🔑 为何渐近线交点重要
①y = k/x 的「中心」是原点 (0, 0)
②y = k/(x−a) + b 的中心移到 (a, b)
③渐近线 x = a 与 y = b 的交点即双曲线中心
④定义域：x ≠ a；值域：y ≠ b
一般形 → 标准形
一般形
y = cx + dex + f
分子除以分母得 商 + 余/分母 形式
🧮 例：y = (2x+5)/(x+1)
①分子 ÷ 分母：(2x+5) ÷ (x+1) = 2 余 3
②故 y = 2 + 3/(x+1) = 3/(x+1) + 2
③标准形：k=3, a=−1, b=2
④垂直渐近线：x = −1；水平渐近线：y = 2
⑤双曲线中心：(−1, 2)
变换技巧
List一般形 → 标准形 变换要点
水平渐近线 b
例：(2x+5)/(x+1) → b = 2/1 = 2
（分子最高次系数）÷（分母最高次系数）
垂直渐近线 a
例：x+1 = 0 → a = −1
使分母 = 0 的 x
k 值
例：2x+5 = 2(x+1) + 3 → k = 3
分子的余数
有理函数的反函数
反函数关系
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
渐近线角色(a↔b) 互换 — 关于 y=x 对称!
🪞 自己作反函数?
①y = k/x 的反函数：x = k/y → y = k/x
②y = k/x 自己即为反函数（自反函数，involution）
③一般形 y = k/(x−a)+b 的反函数：a 与 b 互换
④a = b 时自己即为反函数（关于 y=x 对称）
动手解题
例题 1
求有理函数 y = 2/(x − 3) + 1 的渐近线方程。
1
在 y = k/(x − p) + q 形式中，渐近线为 x = p, y = q。
y = 2/(x − 3) + 1
2
对应 p = 3, q = 1。
竖直渐近线 x = 3，水平渐近线 y = 1
▸ x = 3, y = 1
使分母为 0 的 x 是竖直渐近线，常数项是水平渐近线。
例题 2
将有理函数 y = (2x + 1)/(x − 1) 化为 y = k/(x − p) + q 形式并求渐近线。
1
用分子除以分母：2x + 1 = 2(x − 1) + 3。
y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)
2
从标准形读出渐近线。
y = 3/(x − 1) + 2，渐近线 x = 1, y = 2
▸ x = 1, y = 2
一般形通过分子除以分母化为标准形。
总结
有理函数核心
y = kx − a + b
渐近线交点 (a, b)，定义域 x≠a，值域 y≠b
高一 校内考试 题型
当有理函数 y = 3/(x − 2) + 1 的图象关于点 (a, b) 对称时，a + b 的值为?