通用数学›图形的方程

图形的移动

Geometric Transformation

平移 — 形状不变，位置改变
📦 如同搬运快递箱
①箱子的形状、大小、方向不变
②仅位置改变 — 即「平移」
③数学上：对所有点加同一向量 (a, b)
④整个图形「滑动」到新位置
2
1
点的平移
(x, y) → (x + a, y + b)
对每点加同一向量 (a, b)
方程的平移 — 为何符号相反?
图形方程的平移
f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0
点为 +a, +b，方程则代入 −a, −b
🤔 核心：为何要减?
①设平移后的点为 (X, Y)
②该点原位于 (X−a, Y−b)
③原图满足 f(x,y)=0
④则 f(X−a, Y−b) = 0 即为新方程
⑤即：从新坐标减去平移量得到原位置
例：圆的平移
x² + y² = r² → (x−a)² + (y−b)² = r²
原点中心 → (a, b) 中心
例：抛物线的平移
y = x² → y − b = (x − a)²
顶点从 (0,0) 移到 (a,b)
对称移动 — 镜像

对称变换公式

📋4种对称变换
x 轴对称
仅 y 坐标变号
(x, y) → (x, −y)
y 轴对称
仅 x 坐标变号
(x, y) → (−x, y)
原点对称
x, y 都变号
(x, y) → (−x, −y)
y=x 对称
x 与 y 互换
(x, y) → (y, x)
💡 对称的原理
①x 轴对称：以 x 轴为镜 → 上下颠倒 → y 变号
②y 轴对称：以 y 轴为镜 → 左右颠倒 → x 变号
③原点对称：绕原点 180° 旋转 → 两者都变号
④y=x 对称：45° 对角镜 → x 与 y 互换（反函数!）
变换的合成 — 顺序重要吗?
🔗 合成变换规则
①平移+平移：相加向量（顺序无关）
②对称+对称：x 轴后 y 轴 = 原点对称
③平移+对称：顺序不同结果不同!
④考题：「先关于 x 轴对称 (2,3) 再平移 (1,−2)」→ 按步骤依次进行!

合成对称

📊对称变换合成结果
合成结果等价变换
x 轴 → y 轴(x,y)→(−x,−y)原点对称
y 轴 → x 轴(x,y)→(−x,−y)原点对称
x 轴 → y=x(x,y)→(−y,x)90° 逆时针旋转
y=x → x 轴(x,y)→(y,−x)90° 顺时针旋转
总结
点的平移
(x+a, y+b)
点：相加
方程的平移
f(x−a, y−b)=0
方程：相减
🎯 考试要点
①点：(x+a, y+b)；方程：f(x−a, y−b)=0 — 符号相反!
②x 轴对称 → 把 y 替换为 −y；y 轴对称 → x 替换为 −x
③y=x 对称 → x 与 y 互换（反函数的核心!）
④圆的平移：圆心坐标加平移向量
⑤合成变换：按步骤依次执行（顺序变结果变!）