图形的移动

Geometric Transformation

图形的移动是在保持形状与大小不变的前提下，只改变位置或方向。平移把同一向量 (a, b) 加到每个点上使图形滑动，但方程里反而要代入 −a、−b。对称移动则以 x 轴、y 轴、原点或直线 y=x 为镜面，使坐标变号或让 x 与 y 互换。本页可用滑块平移三角形，并用按钮切换四种对称，亲眼验证规则。

平移 — 形状不变，位置改变

📦 如同搬运快递箱

①箱子的形状、大小、方向不变

②仅位置改变 — 即「平移」

③数学上：对所有点加同一向量 (a, b)

④整个图形「滑动」到新位置

x方向移动 a2

y方向移动 b1

点的平移

(x, y) → (x + a, y + b)

对每点加同一向量 (a, b)

方程的平移 — 为何符号相反?

图形方程的平移

f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0

点为 +a, +b，方程则代入 −a, −b

🤔 核心：为何要减?

①设平移后的点为 (X, Y)

②该点原位于 (X−a, Y−b)

③原图满足 f(x,y)=0

④则 f(X−a, Y−b) = 0 即为新方程

⑤即：从新坐标减去平移量得到原位置

例：圆的平移

x² + y² = r² → (x−a)² + (y−b)² = r²

原点中心 → (a, b) 中心

例：抛物线的平移

y = x² → y − b = (x − a)²

顶点从 (0,0) 移到 (a,b)

对称移动 — 镜像

对称变换公式

List4种对称变换

x 轴对称

仅 y 坐标变号

(x, y) → (x, −y)

y 轴对称

仅 x 坐标变号

(x, y) → (−x, y)

原点对称

x, y 都变号

(x, y) → (−x, −y)

y=x 对称

x 与 y 互换

(x, y) → (y, x)

💡 对称的原理

①x 轴对称：以 x 轴为镜 → 上下颠倒 → y 变号

②y 轴对称：以 y 轴为镜 → 左右颠倒 → x 变号

③原点对称：绕原点 180° 旋转 → 两者都变号

④y=x 对称：45° 对角镜 → x 与 y 互换（反函数!）

变换的合成 — 顺序重要吗?

🔗 合成变换规则

①平移+平移：相加向量（顺序无关）

②对称+对称：x 轴后 y 轴 = 原点对称

③平移+对称：顺序不同结果不同!

④考题：「先关于 x 轴对称 (2,3) 再平移 (1,−2)」→ 按步骤依次进行!

合成对称

Chart对称变换合成结果

合成	结果	等价变换
x 轴 → y 轴	(x,y)→(−x,−y)	原点对称
y 轴 → x 轴	(x,y)→(−x,−y)	原点对称
x 轴 → y=x	(x,y)→(−y,x)	90° 逆时针旋转
y=x → x 轴	(x,y)→(y,−x)	90° 顺时针旋转

动手解题

例题 1

将点 (3, −2) 沿 x 轴方向平移 4、沿 y 轴方向平移 −5，求其像的坐标。

平移就是把位移直接加到坐标上。

(3 + 4, −2 + (−5))

计算。

(7, −7)

▸ (7, −7)

点的平移只需把位移加到坐标上。

例题 2

将直线 y = 2x + 1 沿 x 轴方向平移 3，求其方程。

图形沿 x 轴平移 3，即在方程的 x 处代入 x − 3。

y = 2(x − 3) + 1

展开整理。

y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5

▸ y = 2x − 5

图形的平移与点相反，在 x 处代入 x − a。

总结

点的平移

(x+a, y+b)

点：相加

方程的平移

f(x−a, y−b)=0

方程：相减

高一校内考试题型

将点 (4, −3) 关于直线 y = x 对称，所得点的坐标为?

①(−4, 3)

②(3, −4)

③(−3, 4)

④(4, 3)

⑤(−4, −3)

▸ ③ (−3, 4)

关于直线 y = x 的对称把 x 坐标与 y 坐标互换。

(a, b) → (b, a)

互换坐标。

(4, −3) → (−3, 4)

🎯 考试要点

①点：(x+a, y+b)；方程：f(x−a, y−b)=0 — 符号相反!

②x 轴对称 → 把 y 替换为 −y；y 轴对称 → x 替换为 −x

③y=x 对称 → x 与 y 互换（反函数的核心!）

④圆的平移：圆心坐标加平移向量

⑤合成变换：按步骤依次执行（顺序变结果变!）