seegongsik
高一年级 (15-16岁)

高中数学 图形的移动

图形的变换只改变位置或方向，形状和大小保持不变。 平移就是给图形上的每个点都加上同样的量(a, b)，让图形“滑”过去；但在图形的方程里，要把x、y换成x − a、y − b，这一点很容易弄反。 对称变换就是以x轴、y轴、原点或直线y = x为镜子映出图形，坐标的符号会改变，或者x和y互换位置。 第一幅图中三角形随平移量移动；第二幅图可以并排比较四种对称变换下顶点坐标怎样变化。

平移：形状不变，只换位置

📦 就像把桌上的箱子推过去
①把桌上的箱子推到别处，它的形状、大小和朝向都不变
②改变的只有位置，这就是平移
③在数学上，就是给图形上的每个点都加上同样的量(a, b)
④所以三个顶点都朝同一方向移动同样的距离
2
1
点的平移
(x, y) → (x + a, y + b)
每个点都加上同样的量(a, b)

方程的平移：为什么是减

图形方程的平移
f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0
点是加上a、b，方程却是代入x − a、y − b
🤔 符号相反的原因
①设平移后图形上的一点为(X, Y)
②这个点在平移前位于(X − a, Y − b)
③平移前的点在原图形上，所以满足f(X − a, Y − b) = 0
④因此平移后图形的方程是f(x − a, y − b) = 0
⑤也就是说，从新坐标里减去平移量，才能追溯到原来的位置
例：圆的平移
x² + y² = r² → (x − a)² + (y − b)² = r²
圆心从原点移到(a, b)
例：抛物线的平移
y = x² → y − b = (x − a)²
顶点从(0, 0)移到(a, b)

对称变换：镜中的像

对称变换公式

四种对称变换
关于x轴对称
只有y坐标变号
(x, y) → (x, −y)
关于y轴对称
只有x坐标变号
(x, y) → (−x, y)
关于原点对称
x、y两个坐标都变号
(x, y) → (−x, −y)
关于直线y = x对称
x坐标和y坐标互换
(x, y) → (y, x)
💡 对称变换的道理
①关于x轴对称，以x轴为镜子上下翻转，所以y变号
②关于y轴对称，以y轴为镜子左右翻转，所以x变号
③关于原点对称，相当于绕原点旋转180°，两个坐标都变号
④关于直线y = x对称，以斜着的直线为镜子，x和y互换；函数与其反函数的图像正是这种关系

连续进行变换

🔗 变换复合的规律
①连续平移两次，等于把平移量相加，与顺序无关
②先关于x轴对称、再关于y轴对称，等于关于原点对称
③平移和对称混在一起时，顺序不同结果可能不同
④像“把点(2, 3)关于x轴对称后，再沿x方向平移1、沿y方向平移−2”这样的题，按给出的顺序一步一步做

对称变换的复合

连续两次对称变换的结果
顺序坐标变化相当于
x轴 → y轴(x,y)→(−x,−y)关于原点对称
y轴 → x轴(x,y)→(−x,−y)关于原点对称
x轴 → y = x(x,y)→(−y,x)绕原点逆时针旋转90°
y = x → x轴(x,y)→(y,−x)绕原点顺时针旋转90°

例题与单元测试

例题 1
把点(3, −2)沿x轴方向平移4个单位、沿y轴方向平移−5个单位，求所得点的坐标。
1
点的平移就是把平移量直接加到坐标上。
(3 + 4, −2 + (−5))
2
计算。
(7, −7)
▸ (7, −7)
沿y轴方向平移−5个单位，就是向下平移5个单位。
例题 2
把直线y = 2x + 1沿x轴方向平移3个单位，求所得直线的方程。
1
图形沿x轴方向平移3个单位时，把方程中的x换成x − 3。
y = 2(x − 3) + 1
2
展开并整理。
y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5
▸ y = 2x − 5
原直线上的点(0, 1)移到了(3, 1)，把x = 3代入y = 2x − 5，确实得到y = 1。

小结

点的平移
(x + a, y + b)
点：加上平移量
方程的平移
f(x − a, y − b) = 0
方程：减去平移量
高一 校内考试 题型
将点 (4, −3) 关于直线 y = x 对称，所得点的坐标为？
①(−4, 3)
②(3, −4)
③(−3, 4)
④(4, 3)
⑤(−4, −3)
▸ ③ (−3, 4)
1
关于直线 y = x 的对称把 x 坐标与 y 坐标互换。
(a, b) → (b, a)
2
互换坐标。
(4, −3) → (−3, 4)
🎯 常考要点
①点平移到(x + a, y + b)，图形的方程变为f(x − a, y − b) = 0，符号相反
②关于x轴对称，把y换成−y；关于y轴对称，把x换成−x
③关于直线y = x对称，x和y互换，这与反函数的图像有关
④圆平移时，圆心坐标加上平移量，半径不变
⑤多次变换时按给出的顺序一步一步做，顺序改变，结果可能改变
← 上一页
圆的方程
下一页 →
集合与命题

最后更新

如果有帮助，请支持我们