圆是到某一定点（圆心）距离相等（半径）的所有点的集合。
圆心为 (a, b)、半径为 r 的圆写作 (x − a)² + (y − b)² = r²，它自然来自两点间的距离公式。
展开后的一般形只要配方，也能立刻读出圆心与半径。
本页可拖动圆心与半径，观察方程与圆形如何一一对应。
圆的方程 — 中心与半径
圆是到中心距离相等的点的集合。已知中心 (a, b) 和半径 r 即可确定方程。
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圆：到中心 (a,b) 距离为 r 的点集💡 圆方程的推导
①圆上点 (x, y) 到中心 (a, b) 距离 = r
②√((x-a)² + (y-b)²) = r
③两边平方 → (x-a)² + (y-b)² = r²
标准形与一般形
圆的标准形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心 (a, b)、半径 r
圆的一般形
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
展开后 D=-2a, E=-2b, F=a²+b²-r²
📐 一般形 → 标准形
①x 项：(x + D/2)²
②y 项：(y + E/2)²
③r² = (D/2)² + (E/2)² - F
④r² > 0 圆才存在
圆与直线的位置关系
由圆心到直线的距离 d与半径 r 的大小判断位置关系。
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中心到直线距离 d 与半径 r 的关系圆与直线位置
d < r：两点、d = r：相切、d > r：不相交
d = 圆心到直线的距离
切线方程
圆上点的切线
x1·x + y1·y = r²
原点为中心的圆 x²+y²=r² 上的点 (x₁,y₁)
斜率 m 的切线
y = mx ± r√(1 + m²)
与原点中心圆相切且斜率为 m 的直线
动手解题
例题 1
求圆心为 (2, −1)、半径为 3 的圆的方程。
1把 a = 2, b = −1, r = 3 代入标准式 (x − a)² + (y − b)² = r²。因 b 为负，故得 (y + 1)。
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
2计算右边。
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
圆心坐标代入方程时符号相反。
例题 2
求圆 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 的圆心与半径。
1分别对 x 与 y 配方。
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
2把常数移到右边，化为标准式。
(x − 3)² + (y + 2)² = 25，圆心 (3, −2)，半径 5
▸ 圆心 (3, −2)，半径 5
一般式通过配方化为标准式。
总结
圆的标准形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心与半径可见的形式
高一 校内考试 题型
从点 (5, 5) 向圆 (x − 1)² + (y − 2)² = 9 所引切线的长度为多少?
▸ ② 4
1先求外部点到圆心的距离 d。
d = √((5 − 1)² + (5 − 2)²) = √25 = 5
2切线长为 √(d² − r²)。
√(d² − r²) = √(25 − 9) = 4
🎯 考试要点
①一般形 → 配方为标准形
②验证 r² > 0（圆存在）
③圆与直线：联立 → 也可用判别式 D
④切线：圆上点切线 vs 外部点切线
⑤过两圆交点的直线：f₁ - f₂ = 0