通用数学›图形的方程

圆的方程

Circle Equations

圆的方程 — 中心与半径

圆是到中心距离相等的点的集合。已知中心 (a, b) 和半径 r 即可确定方程。

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💡 圆方程的推导
①圆上点 (x, y) 到中心 (a, b) 距离 = r
②√((x-a)² + (y-b)²) = r
③两边平方 → (x-a)² + (y-b)² = r²
标准形与一般形
圆的标准形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心 (a, b)、半径 r
圆的一般形
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
展开后 D=-2a, E=-2b, F=a²+b²-r²
📐 一般形 → 标准形
①x 项：(x + D/2)²
②y 项：(y + E/2)²
③r² = (D/2)² + (E/2)² - F
④r² > 0 圆才存在
圆与直线的位置关系

由圆心到直线的距离 d与半径 r 的大小判断位置关系。

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圆与直线位置
d < r：两点、d = r：相切、d > r：不相交
d = 圆心到直线的距离
切线方程
圆上点的切线
x1·x + y1·y = r²
原点为中心的圆 x²+y²=r² 上的点 (x₁,y₁)
斜率 m 的切线
y = mx ± r√(1 + m²)
与原点中心圆相切且斜率为 m 的直线
总结
圆的标准形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心与半径可见的形式
切线判别
圆心到直线距离 d = r
相切条件
🎯 考试要点
①一般形 → 配方为标准形
②验证 r² > 0（圆存在）
③圆与直线：联立 → 也可用判别式 D
④切线：圆上点切线 vs 外部点切线
⑤过两圆交点的直线：f₁ - f₂ = 0