高中数学 圆的方程
圆是到一个定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，把这个条件用坐标写出来，就是圆的方程。
圆心为(a, b)、半径为r时，由两点间距离公式，圆上任意一点(x, y)都满足(x − a)² + (y − b)² = r²。
即使方程已经展开成x² + y² + Dx + Ey + F = 0的形式，对x和y分别配方，也能重新读出圆心和半径。
在第一幅图中改变圆心和半径，圆和它的方程会一起变化；在第二幅图中，圆和直线的位置关系随圆心到直线的距离而改变。
由圆心和半径确定的圆
圆是到圆心距离相等的点的集合。所以只要知道圆心(a, b)和半径r，圆的方程就唯一确定了。
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改变圆心(a, b)和半径r时，坐标平面上的圆、圆上的一点以及标准方程一起变化的示意图💡 从距离公式到圆的方程
①圆上的点(x, y)到圆心(a, b)的距离等于r
②用距离公式写成√((x − a)² + (y − b)²) = r
③两边平方得(x − a)² + (y − b)² = r²
④把图中绿点的坐标代入这个方程，两边总是相等
标准方程和一般方程
圆的标准方程
(x − a)² + (y − b)² = r²
圆心(a, b)，半径r
圆的一般方程
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
把标准方程展开得 D = −2a，E = −2b，F = a² + b² − r²
📐 一般方程化为标准方程
①把含x的项配方成(x + D/2)²
②把含y的项配方成(y + E/2)²
③于是圆心为(−D/2, −E/2)，r² = (D/2)² + (E/2)² − F
④这个值大于0时表示圆，等于0时表示一个点，小于0时不表示任何图形
直线与圆的位置关系
比较圆心到直线的距离d和半径r，不用解方程组也能知道直线和圆有几个公共点。
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半径为3的圆和一条直线，改变圆心到直线的距离d时公共点个数变化的示意图直线与圆的位置关系
d < r：相交（两个公共点），d = r：相切，d > r：相离
d为圆心到直线的距离
切线方程
过圆上一点的切线
x1·x + y1·y = r²
圆 x² + y² = r² 上一点(x₁, y₁)处的切线
斜率为m的切线
y = mx ± r√(1 + m²)
与圆 x² + y² = r² 相切且斜率为m的直线有两条
例题与单元测试
例题 1
求圆心为(2, −1)、半径为3的圆的方程。
1把 a = 2，b = −1，r = 3 代入标准方程 (x − a)² + (y − b)² = r²。b是负数，所以 y − (−1) = y + 1。
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
2算出右边。
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
圆心坐标在方程里是以相反的符号出现的。看到(y + 1)，不要把圆心的纵坐标读成1。
例题 2
求圆 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 的圆心和半径。
1对含x的项和含y的项分别配方。
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
2把常数移到右边，化成标准方程。
(x − 3)² + (y + 2)² = 25, 圆心 (3, −2), 半径 5
▸ 圆心(3, −2)，半径5
用公式检验：圆心为(−D/2, −E/2) = (3, −2)，r² = 9 + 4 + 12 = 25，结果相同。
小结
圆的标准方程
(x − a)² + (y − b)² = r²
能直接看出圆心和半径的形式
相切的条件
圆心到直线的距离 d = r
直线与圆只有一个公共点
高一 校内考试 题型
从点 (5, 5) 向圆 (x − 1)² + (y − 2)² = 9 所引切线的长度为多少？
▸ ② 4
1先求外部点到圆心的距离 d。
d = √((5 − 1)² + (5 − 2)²) = √25 = 5
2切线长为 √(d² − r²)。
√(d² − r²) = √(25 − 9) = 4
🎯 常考要点
①一般方程通过配方化为标准方程，再读出圆心和半径
②要表示圆，标准方程右边（r²）必须大于0
③判断直线与圆的位置关系，可以比较d和r，也可以联立方程用判别式
④切线问题先分清切点在圆上，还是从圆外一点作切线
⑤过两圆 f₁ = 0、f₂ = 0 交点的直线方程是 f₁ − f₂ = 0
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