平面坐标与直线方程 Plane Coordinates & Line Equations
在坐标平面上，只要知道两点的位置就能求出它们之间的距离：用横向差和纵向差作出直角三角形，斜边就是距离，这正是勾股定理。
两点正中间的中点，把 x 坐标与 y 坐标各自取平均即可得到。
而一条直线，只由斜率和 y 截距这两个量完全确定。
拖动点 B 观察距离和直角三角形如何变化，再改变斜率与截距，看直线如何旋转和升降。
两点间的距离与中点
坐标平面上两点的距离 由勾股定理求得，中点 为坐标的平均。
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A(1,1) 与 B 的距离与中点 💡 距离与中点的直观
①距离 = 直角三角形的斜边（勾股）
②中点 = 两坐标的平均
③用 Δx, Δy 构造直角三角形即可
距离·中点公式
两点距离
d = √((x 2 - x 1 )² + (y 2 - y 1 )²)
勾股定理的坐标版
中点坐标
M = ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )
各坐标的算术平均
直线方程 — 斜率与 y 截距
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y = mx + b：由斜率与 y 截距确定的直线 斜截式
y = mx + b
m：斜率（Δy/Δx），b：y 截距
点斜式
y - y 1 = m(x - x 1 )
过点 (x₁, y₁) 斜率为 m 的直线
直线诸形式与点到直线的距离
一般形
ax + by + c = 0
包含所有直线（含垂直线）
点到直线的距离
d = |ax 1 + by 1 + c| √(a² + b²)
点 (x₁, y₁) 到 ax + by + c = 0
📐 两直线关系
①平行：m₁ = m₂
②垂直：m₁ · m₂ = -1
③重合：斜率与截距都相同
动手解题
例题 1
求把两点 A(1, 2), B(7, 8) 按 2 : 1 内分的点 P 的坐标。
1 将 m : n = 2 : 1 代入内分点公式。
P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )
2 计算。
P = (15/3, 18/3) = (5, 6)
▸ P(5, 6)
比 m : n 中，远端点乘 m，近端点乘 n。
例题 2
对两点 A(−1, 3), B(3, −1)，求线段 AB 的长度与中点 M 的坐标。
1 用距离公式与中点公式。
AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)
2 整理。
AB = √32 = 4√2，M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)
▸ AB = 4√2，中点 M(1, 1)
距离与中点把坐标直接代入公式即可。
总结
距离公式
d = √((x 2 - x 1 )² + (y 2 - y 1 )²)
坐标平面的基本工具
点到直线的距离
d = |ax 0 + by 0 + c| √(a² + b²)
到垂足的最短距离
高一 校内考试 题型
求点 (2, 3) 到直线 3x − 4y + 1 = 0 的距离。
▸ ① 1
1 用点到直线的距离公式。
d = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)
2 代入数值。
d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9 + 16) = |−5| / 5 = 1
🎯 考试要点
①距离公式：根号内坐标差平方之和
②中点：1:1 内分点
③斜率 = tanθ — 倾斜角
④点到直线距离：分子绝对值、分母根号
⑤m₁m₂ = -1（垂直条件）频繁出题