高中数学平面坐标与直线方程

在坐标平面上，只要知道两点的位置就能求出它们之间的距离：用横向差和纵向差作出直角三角形，斜边就是距离，这正是勾股定理。两点正中间的中点，把 x 坐标与 y 坐标各自取平均即可得到。而一条直线，只由斜率和 y 截距这两个量完全确定。拖动点 B，距离和直角三角形会变；改斜率和截距，直线会旋转升降。

两点间的距离与中点

坐标平面上两点的距离由勾股定理求得，中点为坐标的平均。

B 的 x 坐标4

B 的 y 坐标3

💡 距离与中点的直观

①距离 = 直角三角形的斜边（勾股）

②中点 = 两坐标的平均

③用 Δx, Δy 构造直角三角形即可

④此图的 A 固定为 (1, 1)，只移动 B

距离·中点公式

两点距离

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

勾股定理的坐标版

中点坐标

M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)

各坐标的算术平均

直线方程 — 斜率与 y 截距

斜率 m2

y 截距 b-1

斜截式

y = mx + b

m：斜率（Δy/Δx），b：y 截距

点斜式

y - y₁ = m(x - x₁)

过点 (x₁, y₁) 斜率为 m 的直线

直线诸形式与点到直线的距离

一般形

ax + by + c = 0

包含所有直线（含垂直线）

点到直线的距离

d = |ax₁ + by₁ + c|√(a² + b²)

点 (x₁, y₁) 到 ax + by + c = 0

📐 两直线关系

①平行：m₁ = m₂

②垂直：m₁ · m₂ = -1

③重合：斜率与截距都相同

动手解题

例题 1

求把两点 A(1, 2), B(7, 8) 按 2 : 1 内分的点 P 的坐标。

将 m : n = 2 : 1 代入内分点公式。

P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )

计算。

P = (15/3, 18/3) = (5, 6)

▸ P(5, 6)

比 m : n 中，远端点乘 m，近端点乘 n。

例题 2

对两点 A(−1, 3), B(3, −1)，求线段 AB 的长度与中点 M 的坐标。

用距离公式与中点公式。

AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)

整理。

AB = √32 = 4√2，M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)

▸ AB = 4√2，中点 M(1, 1)

距离与中点把坐标直接代入公式即可。

总结

距离公式

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

坐标平面的基本工具

点到直线的距离

d = |ax₀ + by₀ + c|√(a² + b²)

到垂足的最短距离

高一校内考试题型

求点 (2, 3) 到直线 3x − 4y + 1 = 0 的距离。

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ① 1

用点到直线的距离公式。

d = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)

代入数值。

d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9 + 16) = |−5| / 5 = 1

🎯 考试要点

①距离公式：根号内坐标差平方之和

②中点：1:1 内分点

③斜率 = tanθ — 倾斜角

④点到直线距离：分子绝对值、分母根号

⑤m₁m₂ = -1（垂直条件）频繁出题

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