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高一年级 (15-16岁)

高中数学 平面坐标与直线方程

在坐标平面上，只要知道两点的坐标，就能算出两点间的距离：以横坐标之差和纵坐标之差为两条直角边画一个直角三角形，斜边就是两点间的距离，直接用勾股定理即可。 两点正中间的中点，把横坐标、纵坐标分别取平均就能求出。 直线只要定下两个数就唯一确定：表示倾斜程度的斜率，和与y轴交点的纵坐标——截距。 在第一幅图中移动点B，直角三角形、距离和中点会一起变化；在第二幅图中改变斜率和截距，直线会转动或上下平移。

两点间的距离和中点

坐标平面上两点间的距离用勾股定理求，两点的中点用坐标的平均数求。

4
3
💡 怎样看距离和中点
①两点间的距离，是以横坐标之差Δx和纵坐标之差Δy为直角边的直角三角形的斜边
②所以距离等于√(Δx² + Δy²)
③中点的横坐标、纵坐标分别是两点横坐标、纵坐标的平均数
④图中A固定在(1, 1)，只有B在移动

距离公式和中点坐标公式

两点间的距离公式
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
用坐标写出的勾股定理
中点坐标公式
M = (x1 + x22, y1 + y22)
横坐标、纵坐标分别取平均

直线方程：斜率和截距

2
-1
斜截式
y = mx + b
m为斜率（x增加1时y的变化量），b为在y轴上的截距
点斜式
y − y1 = m(x − x1)
过点(x₁, y₁)且斜率为m的直线

直线的一般式和点到直线的距离

直线的一般式
ax + by + c = 0
包括平行于y轴的直线（x = k）在内，能表示所有直线
点到直线的距离
d = |ax1 + by1 + c|√(a² + b²)
点(x₁, y₁)到直线ax + by + c = 0的距离
📐 两条直线的位置关系
①两条直线斜率相等、截距不等时平行
②斜率和截距都相等时重合
③斜率之积为−1，即m₁m₂ = −1时互相垂直

例题与单元测试

例题 1
求把连接A(1, 2)、B(7, 8)的线段AB按2 : 1内分的点P的坐标。
1
AP : PB = m : n时，内分点P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n))。代入m : n = 2 : 1。
P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )
2
计算。
P = (15/3, 18/3) = (5, 6)
▸ P(5, 6)
比的前项m乘B的坐标，后项n乘A的坐标，交叉相乘。检查P是否更靠近B，可以减少错误。
例题 2
已知A(−1, 3)、B(3, −1)，求线段AB的长和中点M的坐标。
1
用两点间距离公式和中点坐标公式。
AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)
2
化简。
AB = √32 = 4√2, M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)
▸ AB = 4√2，M(1, 1)
横坐标之差和纵坐标之差都是4，所以AB的长等于边长为4的正方形的对角线长。

小结

两点间的距离
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
坐标平面上最基本的工具
点到直线的距离
d = |ax0 + by0 + c|√(a² + b²)
从点向直线作垂线，垂线段的长就是最短距离
高一 校内考试 题型
求点 (2, 3) 到直线 3x − 4y + 1 = 0 的距离。
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ① 1
1
用点到直线的距离公式。
d = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)
2
代入数值。
d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9 + 16) = |−5| / 5 = 1
🎯 常考要点
①距离公式：坐标差的平方相加再开平方
②中点是把线段按1 : 1内分的点
③设直线与x轴正方向所成的角为θ，则斜率m = tan θ
④点到直线的距离公式，别漏掉分子的绝对值和分母的根号
⑤两直线垂直的条件m₁m₂ = −1经常考
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