高一年级 (15-16岁)

高中数学因式分解

因式分解就是把展开倒过来做，把一个多项式重新写成几个多项式的乘积。设想一个面积为x² + 5x + 6的长方形，要求它的长和宽：找出和为5、积为6的两个数2和3，就能分解成(x + 2)(x + 3)。含有x⁴、看起来很难的式子，令x² = t就变成熟悉的二次式；三次及以上的式子，可以先用因式定理找到一个根作为突破口。第一幅图中，面积模型的四块随a、b变化；第二幅图中，用换元法分解的过程随系数k变化。

因式分解是乘法的逆过程

因式分解是把展开倒过来的过程。就像已知长方形面积的式子，反过来求它的长和宽。

💡 由和与积找两个数

①对于x² + px + q，找出和为p、积为q的两个数

②若这两个数是a、b，则x² + px + q = (x + a)(x + b)

③从面积模型看，右上的长方形bx和左下的长方形ax面积之和是px，右下长方形的面积ab就是q

因式分解公式

公式

必须掌握的因式分解公式

用换元法因式分解

看起来复杂的式子，恰当换元后就成了二次式。出现x⁴就令x² = t，反复出现同一个整体就用一个字母代替它。

系数 k3

🔑 换元分解的步骤

①看到相同的整体，就用一个字母代替

②x⁴ + ax² + b型的式子，令x² = t就变成t的二次式

③先把t的二次式分解，再把t换回x²

④换回后的因式中如果还有x² − 4这样能继续分解的，就分解到底

因式分解从哪里入手

先提公因式

提公因式 → 套公式 → 换元或因式定理

按这个顺序检查，大多数式子都能分解

平方差公式

a² − b² = (a + b)(a − b)

最常用的因式分解公式

例题与单元测试

例题 1

分解因式：x³ + 8。

8 = 2³，所以用立方和公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)。

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

代入a = x，b = 2。

x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)

▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)

后面的x² − 2x + 4，判别式为4 − 16 < 0，在实数范围内不能再分解。

例题 2

分解因式：x⁴ − 13x² + 36。

令x² = t，得到t的二次式。

t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)

把t换回x²，再用平方差公式把每个因式继续分解。

(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

停在(x² − 4)(x² − 9)就还没有分解彻底。换回之后，一定要检查还能不能继续分解。

小结

二次三项式的分解

x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

由和与积找出两个因式

立方和与立方差

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

后一个括号中间项的符号与前面相反

高一校内考试题型

将多项式 x³ − 2x² − 5x + 6 因式分解为？

①(x − 1)(x − 2)(x + 3)

②(x − 1)(x + 2)(x − 3)

③(x + 1)(x − 2)(x − 3)

④(x − 1)(x − 2)(x − 3)

⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)

▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)

代入 x = 1 得 0，由因式定理知 x − 1 是因式。

f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0

作除法求商，再继续分解。

(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)

🎯 常考要点

①先看有没有公因式

②两项都是平方形式时用平方差公式

③三项时检查是否为a² ± 2ab + b²，能否写成完全平方

④含x⁴的式子试着令x² = t

⑤三次及以上的式子，代入常数项的因数找使值为0的数，再用因式定理得到一次因式

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余式定理与因式定理

复数

最后更新 2026-10-17

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