因式分解

Factorization

因式分解与展开正好方向相反，是把一个多项式重新写成乘积的形式。就像由面积反推长与宽，看到 x² + (a+b)x + ab 就去找和为 (a+b)、积为 ab 的两个数，从而分解成 (x+a)(x+b)。像 x⁴ 这样次数高、看似棘手的式子，只要换元 t = x² 便化为熟悉的二次式，而高次式可借因式定理先找到一个根打开思路。本页可以用滑块改变 a、b 和系数 k，亲自观察面积模型与换元的过程。

因式分解 = 乘法的逆过程

因式分解是展开的逆过程。如同已知面积求长宽。

💡 由和与积求解

①在 x² + px + q 中找和=p、积=q 的两数

②这两数即 a, b → (x+a)(x+b)

③面积模型：求长与宽

因式分解公式总结

公式

因式分解核心公式

换元因式分解

复杂式子通过合适换元可化为二次式。x⁴ 形式用 t = x²，重复部分用一个字母换元。

系数 k3

🔑 换元策略

①见共同部分 → 换为一个字母

②x⁴ + ax² + b → t = x² → t 的二次式

③因式分解后还原原变量

实战策略

核心：先提公因式

公因式 → 公式应用 → 换元尝试

3步法

平方差公式

a² - b² = (a + b)(a - b)

最常用的因式分解公式

动手解题

例题 1

因式分解 x³ + 8。

因 8 = 2³，用立方和公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)。

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

代入 a = x, b = 2。

x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)

▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)

记住立方和与立方差公式即可立即分解。

例题 2

因式分解 x⁴ − 13x² + 36。

令 x² = t，化为二次式。

t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)

还原 t = x²，再用平方差分解各因式。

(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

双二次式先换元，再用平方差分解到底。

总结

二次式因式分解

x² + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)

由和与积找两因数

立方因式分解

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

注意：中间项符号相反

高一校内考试题型

将多项式 x³ − 2x² − 5x + 6 因式分解为?

①(x − 1)(x − 2)(x + 3)

②(x − 1)(x + 2)(x − 3)

③(x + 1)(x − 2)(x − 3)

④(x − 1)(x − 2)(x − 3)

⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)

▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)

代入 x = 1 得 0，由因式定理知 x − 1 是因式。

f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0

作除法求商，再继续分解。

(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)

🎯 考试要点

①先提公因式的习惯

②平方差：检查两项是否为平方

③完全平方式：中间项是否为 2ab

④换元：x⁴ 试 t = x²

⑤结合因式定理：代入常数项的因子寻根