余式定理与因式定理

Remainder Theorem & Factor Theorem

余式定理是一条捷径，不必真正做除法就能立刻求出余数。多项式 f(x) 除以 x − a 的余数，竟然只由 f(a) 一个值决定，代入一次即可。若余数为 0，就说明 x − a 是因式，凭这条因式定理便能顺利分解高次式。本页可以改变 a 的值，亲自观察余数如何变化、何时变为 0。

余式定理 — 代入即得余数

多项式 P(x) 除以 (x - a) 的余数等于 P(a)。无需做除法，仅代入即可，是一项强大工具。

a 的值2

💡 余式定理直观

①f(x) = (x-a)·Q(x) + R，代入 x = a

②f(a) = 0·Q(a) + R = R

③故余数 R = f(a)

余式定理公式

余式定理

P(x) ÷ (x - a) 的余数 = P(a)

代入值即为余数

推广

P(x) ÷ (ax + b) 的余数 = P(-ba)

代入 ax + b = 0 的根

因式定理 — P(a)=0 即为因式

余数为 0 表示图象与 x 轴相交。若 P(a) = 0，则 (x - a) 是 P(x) 的因式。

根 a3

🔑 因式定理核心

①P(a) = 0 ⟺ (x - a) 是 P(x) 的因式

②图象上：x 轴交点指示因式

③高次式因式分解的第一步 = 找整数根

因式定理用法

因式定理

P(a) = 0 ⟺ (x - a) 是 P(x) 的因式

余数为零 = 整除 = 因式

📐 高次式因式分解策略

①以常数项的因子为候选（±1, ±2, ±3, ...)

②找使 P(候选) = 0 的值

③用综合除法求商

④对商再因式分解

动手解题

例题 1

求多项式 P(x) = x³ − 2x + 5 除以 x − 2 的余数。

由余数定理，除以 x − a 的余数为 P(a)（a = 2）。

R = P(2)

代入 x = 2。

P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9

▸ 余数为 9

除以 x − a 的余数只需代入 P(a)。

例题 2

若多项式 P(x) = x³ + ax + 2 能被 x + 1 整除，求常数 a 的值。

由因式定理，能被 x + 1 整除则 P(−1) = 0。

P(−1) = 0

代入 x = −1 解方程。

(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1

▸ a = 1

整除即余数为 0，也就是因式定理 P(a) = 0。

总结

余式定理

P(x) ÷ (x - a) 的余数 R = P(a)

一次代入即得余数

因式定理

P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x - a) · Q(x)

余数为零即为因式

教育厅高一学力评价题型

多项式 P(x) 除以 x − 1 余 3，除以 x + 2 余 −3。设 P(x) 除以 (x − 1)(x + 2) 的余式为 R(x) = ax + b，则 ab 的值为?

①0

②1

③2

④3

⑤4

▸ ③ 2

由余数定理，P(1) = R(1)、P(−2) = R(−2) 得两式。

a + b = 3, −2a + b = −3

联立解得 3a = 6，a = 2, b = 1。

a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2

🎯 考试要点

①余式定理：(x-a) 与 (ax+b) 都可代入

②因式定理：先尝试常数项的约数

③与综合除法结合做高次因式分解

④若 f(x) 被 (x-a)(x-b) 整除，则 f(a)=f(b)=0

⑤逆用：已知 R 可确定系数