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高一年级 (15-16岁)

高中数学 余式定理与因式定理

余式定理是不用真正做除法就能知道余式的捷径。 多项式P(x)除以x − a所得的余式等于P(a)，只要把a代入x一次，余式就出来了。 如果余式为0，说明P(x)能被x − a整除，也就是x − a是P(x)的因式，这就是因式定理，它是三次及以上多项式因式分解的第一步。 第一幅图中改变a，图像上点(a, P(a))的高度就是余式；第二幅图中，从图像与x轴的交点可以找到因式。

余式定理：代入就得余式

多项式P(x)除以x − a所得的余式等于P(a)。不用做除法，只要代入一个值就能求出余式。

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💡 余式定理为什么成立
①P(x)除以x − a，有P(x) = (x − a)·Q(x) + R
②代入x = a，得P(a) = 0·Q(a) + R = R
③所以余式R等于P(a)
④图中a = 2时P(2) = 0，这个多项式能被x − 2整除
⑤除以ax + b时，余式是P(−b/a)，见下面的公式

余式定理公式

余式定理
P(x)除以x − a的余式 = P(a)
代入的值就是余式
除以一次式ax + b时
P(x) ÷ (ax + b) 的余数 = P(-ba)
代入ax + b = 0的解

因式定理：P(a) = 0则是因式

余式为0，意味着图像在这一点与x轴相交。若P(a) = 0，则x − a是P(x)的因式。

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🔑 因式定理的要点
①“P(a) = 0”和“x − a是P(x)的因式”说的是同一件事
②在图像上，与x轴交点的横坐标就是因式x − a中的a
③图中的多项式因为x² + 1永远不为0，所以只与x轴交于一点
④三次及以上多项式的因式分解，就从找到这样一个根开始

因式定理的用法

因式定理
P(a) = 0 ⟺ x − a是P(x)的因式
余式为0就是整除，整除就说明是因式
📐 高次多项式因式分解的步骤
①把常数项的因数作为根的候选（±1，±2，±3，…）
②逐个代入，找出使P(a) = 0的值
③用综合除法把P(x)除以x − a，求出商
④再把商继续因式分解

例题与单元测试

例题 1
求多项式P(x) = x³ − 2x + 5除以x − 2所得的余式。
1
由余式定理，除以x − 2的余式是P(2)。
R = P(2)
2
代入x = 2。
P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9
▸ 9
用综合除法实际去除，最后一格也是9。余式定理把这个计算简化成了一次代入。
例题 2
已知多项式P(x) = x³ + ax + 2能被x + 1整除，求常数a的值。
1
x + 1 = x − (−1)，由因式定理得P(−1) = 0。
P(−1) = 0
2
代入x = −1，解方程。
(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1
▸ a = 1
a = 1时P(x) = x³ + x + 2 = (x + 1)(x² − x + 2)，x + 1确实是因式。

小结

余式定理
P(x)除以x − a的余式 R = P(a)
代入一次就确定余式
因式定理
P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x − a) · Q(x)
余式为0，则x − a是因式
教育厅 高一 学力评价 题型
多项式 P(x) 除以 x − 1 余 3，除以 x + 2 余 −3。设 P(x) 除以 (x − 1)(x + 2) 的余式为 R(x) = ax + b，则 ab 的值为？
①0
②1
③2
④3
⑤4
▸ ③ 2
1
由余数定理，P(1) = R(1)、P(−2) = R(−2) 得两式。
a + b = 3, −2a + b = −3
2
联立解得 3a = 6，a = 2, b = 1。
a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2
🎯 常考要点
①除以x − a时代入a，除以ax + b时代入−b/a
②用因式定理找根时，先从常数项的因数试起
③结合综合除法对高次多项式因式分解
④若P(x)能被(x − a)(x − b)整除，则P(a) = 0和P(b) = 0同时成立
⑤反过来利用余式条件，可以求出未知系数
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