通用数学›多项式

余式定理与因式定理

Remainder Theorem & Factor Theorem

余式定理 — 代入即得余数

多项式 P(x) 除以 (x - a) 的余数等于 P(a)。无需做除法，仅代入即可，是一项强大工具。

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💡 余式定理直观
①f(x) = (x-a)·Q(x) + R，代入 x = a
②f(a) = 0·Q(a) + R = R
③故余数 R = f(a)
余式定理公式
余式定理
P(x) ÷ (x - a) 的余数 = P(a)
代入值即为余数
推广
P(x) ÷ (ax + b) 的余数 = P(-ba)
代入 ax + b = 0 的根
因式定理 — P(a)=0 即为因式

余数为 0 表示图象与 x 轴相交。若 P(a) = 0，则 (x - a) 是 P(x) 的因式。

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🔑 因式定理核心
①P(a) = 0 ⟺ (x - a) 是 P(x) 的因式
②图象上：x 轴交点指示因式
③高次式因式分解的第一步 = 找整数根
因式定理用法
因式定理
P(a) = 0 ⟺ (x - a) 是 P(x) 的因式
余数为零 = 整除 = 因式
📐 高次式因式分解策略
①以常数项的因子为候选（±1, ±2, ±3, ...)
②找使 P(候选) = 0 的值
③用综合除法求商
④对商再因式分解
总结
余式定理
P(x) ÷ (x - a) 的余数 R = P(a)
一次代入即得余数
因式定理
P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x - a) · Q(x)
余数为零即为因式
🎯 考试要点
①余式定理：(x-a) 与 (ax+b) 都可代入
②因式定理：先尝试常数项的约数
③与综合除法结合做高次因式分解
④若 f(x) 被 (x-a)(x-b) 整除，则 f(a)=f(b)=0
⑤逆用：已知 R 可确定系数