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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 向量运算

向量是既有大小又有方向的量，所以用箭头来表示。 让两个向量从原点出发作平行四边形，它的对角线就是两个向量的和；向量乘以实数 k，方向不变或反向，长度变为原来的 |k| 倍。 这些运算都可以按 x 分量、y 分量分别进行，所以图上看到的结果和用分量算出的结果总是一致。 用分量滑块改变 a 和 b，和向量及其分量一起变化；拖动 k，箭头会伸长或缩短，k 为负数时方向反转。

向量的加法

3
2
1
3
👀 从图中读出什么
①红色箭头 a 和蓝色箭头 b 都从原点 O 出发
②虚线是从 a 的终点再走 b、从 b 的终点再走 a 的路线，两条路线相遇的点是平行四边形的第四个顶点
③从原点到这个顶点的金色对角线就是和向量 a + b
④像上方显示的那样，x 分量与 x 分量相加、y 分量与 y 分量相加，结果相同

数乘向量

1.5
↔️ 数乘的含义
①k > 1 时，沿同一方向伸长
②0 < k < 1 时，沿同一方向缩短
③k < 0 时，方向反转，长度变为 |k| 倍
④k = 0 时，成为零向量
⑤对于两个非零向量 a、b，如果存在实数 k 使 a = kb，则两个向量平行

向量运算律

向量的加法（分量）
a + b = (ax + bx, ay + by)
对应分量相加
数乘（分量）
ka = (kax, kay)
每个分量都乘以 k
📐 运算律
①交换律：a + b = b + a
②结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
③分配律：k(a + b) = ka + kb
④分配律：(k + m)a = ka + ma
⑤非零向量 a 除以它的长度 |a|，就得到同方向的单位向量

位置向量与定比分点

内分点的位置向量
p = na + mbm + n
把线段 AB 内分为 m : n 的点 P 的位置向量
中点的位置向量
p = a + b2
m = n = 1 的情形
🎯 记住分点公式
①按 m : n 内分时，a 乘 n，b 乘 m，交叉相乘
②分母是 m + n
③中点是两个位置向量的平均
④按 m : n 外分时，分母是 m − n，a 的系数变号

例题

例题 1
已知 a = (2, 3)，b = (−1, 4)，求 a + b 和 2a − b。
1
加法是对应分量相加。
a + b = (2 + (−1), 3 + 4) = (1, 7)
2
先数乘再相减，也按分量计算。
2a − b = (4 − (−1), 6 − 4) = (5, 2)
▸ a + b = (1, 7)，2a − b = (5, 2)
向量运算只要按 x 分量、y 分量分别计算即可。
例题 2
已知 a = (3, −4)，求它的长度 |a| 以及与 a 同方向的单位向量。
1
用勾股定理求长度。
| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5
2
单位向量就是 a 除以它自身的长度。
a / | a | = (35, −45)
▸ |a| = 5，单位向量 (3/5, −4/5)
单位向量方向相同，长度为 1。

小结

向量的长度
| a | = √(ax² + ay²)
用勾股定理计算长度
2023 评价院模考数学（几何）类题改编
对于向量 a = (1, 2)，b = (3, k)，若 a + b = (4, 5)，k 的值是多少？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
加法按分量进行，所以比较 y 分量。
2
由 y 分量得 2 + k = 5。
2 + k = 5 ⇒ k = 3
🎯 考试要点
①向量加法是对应分量相加
②数乘用 k 的符号改变方向，用 |k| 改变大小
③平行条件是存在非零实数 k 使 a = kb
④内分点中，P 越靠近 A，a 的系数越大
⑤单位向量 a / |a| 的长度为 1
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