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几何
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平面向量
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向量运算
Vector Operations
向量加法
两向量a,b的加法与平行四边形法
a
x
3
a
y
2
b
x
1
b
y
3
👀 向量加法直觉
①红色箭头a与蓝色箭头b从原点O出发
②以两箭头终点为对角作平行四边形
③对角线即和向量 a+b (金色)
④对应分量相加即可:(a_x+b_x, a_y+b_y)
数乘
数乘k对向量大小·方向的变化
数乘 k
1.5
↔️ 什么是数乘?
①k > 1沿同向延长
②0 < k < 1沿同向缩短
③k < 0反向翻转
④k = 0为零向量
向量运算律
向量加法(分量)
a + b = (a
x
+ b
x
, a
y
+ b
y
)
对应分量相加
数乘(分量)
ka = (ka
x
, ka
y
)
每个分量乘以k
📐 运算律
①交换律:a + b = b + a
②结合律:(a + b) + c = a + (b + c)
③分配律:k(a + b) = ka + kb
④分配律:(k + m)a = ka + ma
位置向量与内分·外分
内分点的位置向量
p =
na + mb
m + n
将线段AB按m:n内分的点P
中点的位置向量
p =
a + b
2
m = n = 1 的特殊情况
🎯 内分点公式记忆法
①m:n内分 → 对侧系数交叉
②分母恒为m+n
③中点即平均值
④外分:分母变为m−n(注意符号)
总结
向量大小
| a | = √(a
x
² + a
y
²)
用勾股定理计算大小(长度)
🎯 考试重点
①向量加法:对应分量相加
②数乘改变方向(符号)和大小(绝对值)
③平行条件:a = kb (存在非零标量k)
④记忆内分点公式中系数交叉顺序
⑤单位向量:a / |a| (大小为1)
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