向量运算

Vector Operations

向量是同时带有方向和大小的箭头。把两个箭头接在一起，平行四边形的对角线正是两向量之和；给箭头乘上一个数(数乘)，方向不变，只是长度伸缩，或者反向翻转。有趣的是，这一切都能干净地化为对x分量、y分量分别相加、相乘的计算。用滑块拖动a和b的分量，看和向量如何画出，再改变k，观察箭头如何伸长和翻转。

向量加法

a_x3

a_y2

b_x1

b_y3

👀 向量加法直觉

①红色箭头a与蓝色箭头b从原点O出发

②以两箭头终点为对角作平行四边形

③对角线即和向量 a+b (金色)

④对应分量相加即可:(a_x+b_x, a_y+b_y)

数乘

数乘 k1.5

↔️ 什么是数乘?

①k > 1沿同向延长

②0 < k < 1沿同向缩短

③k < 0反向翻转

④k = 0为零向量

向量运算律

向量加法(分量)

a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y)

对应分量相加

数乘(分量)

ka = (ka_x, ka_y)

每个分量乘以k

📐 运算律

①交换律:a + b = b + a

②结合律:(a + b) + c = a + (b + c)

③分配律:k(a + b) = ka + kb

④分配律:(k + m)a = ka + ma

位置向量与内分·外分

内分点的位置向量

p = na + mbm + n

将线段AB按m:n内分的点P

中点的位置向量

p = a + b2

m = n = 1 的特殊情况

🎯 内分点公式记忆法

①m:n内分 → 对侧系数交叉

②分母恒为m+n

③中点即平均值

④外分:分母变为m−n(注意符号)

动手算一算

例题 1

已知 a=(2, 3), b=(−1, 4)，求 a+b 与 2a−b。

加法是对应分量相加。

a + b = (2+(−1), 3+4) = (1, 7)

先数乘再相减，同样按分量计算。

2a − b = (4−(−1), 6−4) = (5, 2)

▸ a+b=(1, 7), 2a−b=(5, 2)

向量运算只需把x分量、y分量分别计算即可。

例题 2

已知 a=(3, −4)，求大小 |a| 与 a 方向上的单位向量。

大小由勾股定理求得。

| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5

单位向量是 a 除以自身的大小。

a / | a | = (35, −45)

▸ |a|=5, 单位向量=(3/5, −4/5)

单位向量方向相同而大小为1。

总结

向量大小

| a | = √(a_x² + a_y²)

用勾股定理计算大小(长度)

2023 评价院模考数学(几何)类题改编

对于两向量 a=(1, 2), b=(3, k)，当 a + b = (4, 5) 时，k 的值为?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

加法是对应分量相加，故比较 y 分量。

y 分量:2+k=5。

2 + k = 5 ⇒ k = 3

🎯 考试重点

①向量加法:对应分量相加

②数乘改变方向(符号)和大小(绝对值)

③平行条件:a = kb (存在非零标量k)

④记忆内分点公式中系数交叉顺序

⑤单位向量:a / |a| (大小为1)