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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 平面向量的分量与内积

内积用一个数表示两个向量有多大程度指向同一方向。 夹角为锐角时为正，为直角时为 0，为钝角时为负。 从几何上看，它与一个向量在另一个向量方向上的投影长度有关，而只要把对应分量相乘再相加，也能得到同样的值。 转动夹角，内积会从正数经过 0 变成负数；移动分量，可以看到 a · b 是怎样用分量算出来的。

内积的几何意义

45°
👀 从图中读出什么
①红色 a 的长度为 3，蓝色 b 的长度为 2.5，只有夹角 θ 在变
②绿色线段是 b 在 a 方向上的投影，有向长度为 |b| cos θ
③内积 a · b = |a||b| cos θ，也就是 a 的长度乘以绿色线段的有向长度
④θ < 90° 时为正，θ = 90° 时为 0，θ > 90° 时为负

用分量求内积

3
1
1
3
🔢 用分量计算
①若 a = (a₁, a₂)，b = (b₁, b₂)
②则 a · b = a₁b₁ + a₂b₂
③对应分量相乘再相加即可
④这个值总等于 |a||b| cos θ，所以反过来可以求夹角

内积公式

内积（几何）
a · b = | a || b | cosθ
两个向量的长度与夹角余弦的乘积
内积（分量）
a · b = a1 b1 + a2 b2
对应分量相乘再相加
求夹角
cosθ = a · b| a || b |
内积除以两个长度的乘积得到 cos θ
🔍 两个公式的联系
①利用余弦定理，可以从几何定义推出分量公式
②计算时用分量公式更方便
③夹角用 cos θ 公式求
④两个非零向量的内积为 0 时，两者垂直

投影

投影向量
proja b = a · b| a |² a
b 在 a 方向上的投影向量
投影的长度
| proja b | = | a · b || a |
投影向量的长度（去掉符号）
💡 投影用在哪里
①投影是把 b 垂直投到沿 a 方向的直线上得到的影子
②物理中，功是力与位移的内积 F · d = |F||d| cos θ
③求点到直线的垂足时也要用投影

例题

例题 1
已知 a = (1, 2)，b = (3, −1)，求 a · b。
1
代入分量公式 a · b = a₁b₁ + a₂b₂。
a · b = 1 · 3 + 2 · (−1)
2
算出各项再相加。
a · b = 3 − 2 = 1
▸ a · b = 1
对应分量相乘再相加，不知道夹角也能求出内积。
例题 2
已知 a = (1, 2)，b = (3, −1)，设两向量的夹角为 θ，求 cos θ。
1
求出内积与两个向量的长度。
a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10
2
代入 cos θ = (a · b)/(|a||b|) 并化简。
cosθ = 1√5·√10 = 1√50 = √210
▸ cos θ = √2/10
分别求出内积与长度，再代入 cos θ 公式，就能得到夹角。

小结

垂直条件
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
两个非零向量的内积为 0 时，它们垂直
2022 评价院模考数学（几何）类题改编
若向量 a = (2, 1) 与 b = (k, −4) 互相垂直，k 的值是多少？
①−2
②1
③2
④3
⑤4
▸ ③ 2
1
两向量垂直时 a · b = 0。
2
用分量写出内积，令其为 0，求出 k。
a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2
🎯 考试要点
①内积的两种形式：|a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂
②求出 cos θ 判断夹角
③a · b = 0 表示垂直
④区分投影向量与投影长度的公式
⑤|a|² = a · a
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