几何›平面向量

平面向量的分量与内积

Dot Product

内积的几何意义
45°
👀 什么是内积?
①用数表示两向量'方向相近程度'
②绿色区段 = b在a方向上的正射影长度
③锐角(θ<90°)为正、直角为0、钝角为负
④内积 = |a||b|cosθ
用分量计算内积
3
1
1
3
🔢 按分量计算
①当a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂)
②a · b = a₁b₁ + a₂b₂
③对应分量相乘再相加即可
④此值恒等于 |a||b|cosθ
内积公式
内积(几何)
a · b = | a || b | cosθ
大小积乘以夹角的余弦
内积(分量)
a · b = a1 b1 + a2 b2
对应分量乘积之和
求夹角
cosθ = a · b| a || b |
内积除以大小积即 cosθ
🔍 两公式衔接
①从几何定义可推导分量公式
②解题时分量公式更便于计算
③求夹角用 cosθ 公式
④正交判定:a · b = 0 ↔ a ⊥ b
正射影与应用
正射影向量
proja b = a · b| a |² a
b在a上的正射影
正射影长度
| proja b | = | a · b || a |
正射影的大小(忽略符号)
💡 正射影含义
①正射影 = b在a方向上的投影
②物理:功(W) = 力 · 位移 = F · d cosθ = 内积
③数学:求向直线作垂足的坐标
总结
正交条件
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
内积为0则两向量垂直
🎯 考试重点
①内积两公式:|a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
②由 cosθ 求夹角
③a · b = 0 ↔ 垂直
④正射影向量与长度公式
⑤|a|² = a · a (大小平方 = 与自身的内积)