平面向量的分量与内积

Dot Product

内积用一个数告诉你两个向量有多'朝着同一方向'。朝同一侧(锐角)为正，成直角时为0，朝相反方向张开(钝角)则为负。从几何上看，它与一个向量投在另一个向量上的影子(正射影)长度有关，但奇妙的是，只把对应分量相乘再相加也能得到同样的值。转动夹角滑块，看符号如何从正变到0再变到负，再拖动分量，看a·b的值是怎么算出来的。

内积的几何意义

夹角 θ45°

👀 什么是内积?

①用数表示两向量'方向相近程度'

②绿色区段 = b在a方向上的正射影长度

③锐角(θ<90°)为正、直角为0、钝角为负

④内积 = |a||b|cosθ

用分量计算内积

a_x3

a_y1

b_x1

b_y3

🔢 按分量计算

①当a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂)

②a · b = a₁b₁ + a₂b₂

③对应分量相乘再相加即可

④此值恒等于 |a||b|cosθ

内积公式

内积(几何)

a · b = | a || b | cosθ

大小积乘以夹角的余弦

内积(分量)

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂

对应分量乘积之和

求夹角

cosθ = a · b| a || b |

内积除以大小积即 cosθ

🔍 两公式衔接

①从几何定义可推导分量公式

②解题时分量公式更便于计算

③求夹角用 cosθ 公式

④正交判定:a · b = 0 ↔ a ⊥ b

正射影与应用

正射影向量

proj_a b = a · b| a |² a

b在a上的正射影

正射影长度

| proj_a b | = | a · b || a |

正射影的大小(忽略符号)

💡 正射影含义

①正射影 = b在a方向上的投影

②物理:功(W) = 力 · 位移 = F · d cosθ = 内积

③数学:求向直线作垂足的坐标

动手算一算

例题 1

当 a=(1, 2), b=(3, −1) 时，求 a · b。

代入分量公式 a · b = a₁b₁ + a₂b₂。

a · b = 1·3 + 2·(−1)

逐项计算后相加。

a · b = 3 − 2 = 1

▸ a · b = 1

只需对应分量相乘再相加 — 不知夹角也能求出内积。

例题 2

当 a=(1, 2), b=(3, −1) 时，求两向量夹角 θ 的 cosθ。

求内积与两向量的大小。

a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10

代入 cosθ = (a · b)/(|a||b|) 并化简。

cosθ = 1√5·√10 = 1√50 = √210

▸ cosθ = √2/10

先分别求出内积与大小，再代入 cosθ 公式即可得夹角。

总结

正交条件

a ⊥ b ⟺ a · b = 0

内积为0则两向量垂直

2022 评价院模考数学(几何)类题改编

两向量 a=(2, 1), b=(k, −4) 互相垂直时，k 的值为?

①−2

②1

③2

④3

⑤4

▸ ③ 2

两向量垂直则 a · b = 0。

用分量列出内积令其为 0，求 k。

a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2

🎯 考试重点

①内积两公式:|a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

②由 cosθ 求夹角

③a · b = 0 ↔ 垂直

④正射影向量与长度公式

⑤|a|² = a · a (大小平方 = 与自身的内积)