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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 空间图形

在纸面上，两条直线要么相交，要么平行。 在空间中还会出现既不相交也不平行的异面直线；直线与平面、平面与平面之间，也有平行、相交、垂直等位置关系。 两个平面张开的程度用二面角来衡量，可以想象一本打开的书的角度。 转动视角，可以立体地看到 x、y、z 轴和点 P 的位置；改变二面角，与棱垂直的两条射线之间的角也随之变化。

空间直角坐标系

30°
👀 三维空间
①在平面的 x 轴和 y 轴上再立一条与两者都垂直的 z 轴，就构成空间
②三条轴两两垂直，朝上的轴取作 z 轴
③从点 P(2, 2, 3) 向 xy 平面作垂线，垂足是 H(2, 2, 0)，P 的 z 坐标 3 就是线段 PH 的长
④空间中的点都用三个坐标 (x, y, z) 表示

直线与平面的位置关系

∥
📐 位置关系
①∥ ：两个平面平行，不相交
②∩ ：两个平面相交，得到一条交线
③ℓ ⊥ α ：直线垂直于平面，就垂直于平面内的每一条直线
④两条直线除了相交和平行之外，还可能既不相交也不平行，这就是异面直线

二面角

60°
📖 怎样量二面角
①两个半平面有一条公共的棱（绿色）
②从棱上一点出发，在每个半平面内各作一条垂直于棱的射线
③这两条射线所成的角 θ 就是二面角
④书打开时两个封面之间的角度就是二面角

空间中的垂直与平行

三垂线定理
PH ⊥ α 时 (PO ⊥ ℓ ⟺ HO ⊥ ℓ)。P 是平面外的点，H 是垂足，O 是平面内直线 ℓ 上的点
借助垂足判断平面外的点与平面内的直线是否垂直
直线与平面平行
ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m（存在直线 m ⊂ α）
平面外的一条直线如果与平面内的某条直线平行，它就与这个平面平行
🔍 核心定理
①直线垂直于平面，就垂直于平面内的所有直线
②经过一个平面的垂线的平面，与这个平面垂直
③用三垂线定理，可以借助垂足判断垂直关系
④每个定理都画图并标出垂足，证明就容易跟上

例题

例题 1 — 三垂线定理
平面 α 内有直线 ℓ，α 外有点 P。设 P 在 α 上的垂足为 H，H 在 ℓ 上的垂足为 O。若 PH = 3，HO = 4，求 PO 的长。
1
由三垂线定理得 PO ⊥ ℓ，三角形 PHO 在 H 处为直角。
PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ
2
在直角三角形 PHO 中用勾股定理求斜边 PO。
PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25
▸ PO = 5
PH 垂直于平面 α，所以也垂直于 α 内的线段 HO，因此三角形 PHO 是直角三角形。
例题 2 — 正射影
平面 β 与平面 α 成 60° 角，β 上有一个面积为 12 的图形。求它在 α 上的射影面积。
1
射影面积等于原面积乘以两平面所成角的余弦。
S′ = S · cos θ
2
代入 S = 12，θ = 60°。
S′ = 12 · cos 60° = 12 · (1/2)
▸ S′ = 6
角越大，余弦越小，射影也越小。90° 时射影面积为 0。

小结

射影面积
S′ = S cos θ
平面图形在另一个平面上的射影面积，等于原面积乘以两平面所成角的余弦
2021 评价院模考数学（几何）类题改编
边长为 4 的正方形与平面 α 成 45° 角，它在 α 上的射影面积是多少？
①8
②8√2
③16
④4√2
⑤4
▸ ② 8√2
1
正方形的面积是 4 × 4 = 16。
2
把 S = 16，θ = 45° 代入射影面积公式。
S′ = 16 · cos 45° = 16 · (√2/2) = 8√2
🎯 考试要点
①分清空间中直线与平面的位置关系
②三垂线定理的条件和结论要写准确
③二面角用垂直于棱的两条射线来量
④射影面积 = 原面积 × cos θ
⑤会求两条异面直线之间的距离
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