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我的单词本
高中三年级 (17-18岁)

空间图形

Space Figures

在平面纸上,两条直线只能相交或平行。 但在我们生活的三维空间里,还会出现既不相交也不平行的'异面位置',直线与平面、平面与平面之间也会呈现平行、相交、垂直等位置关系。 衡量两平面张开程度的二面角,和翻开书本的角度是完全一样的概念。 拖动滑块旋转视角感受立体感,再切换位置关系和二面角,看看直线与平面在空间中如何摆放。

空间坐标轴
30°
👀 3维空间
①平面(2D)加y轴即为空间(3D)
②x轴(红)、y轴(绿)、z轴(蓝)两两垂直
③用滑块旋转视角感受立体感
④任意点用(x,y,z)三坐标表示
直线与平面的位置关系
0
📐 位置关系
①0:两平面平行(不相交)
②1:两平面相交产生交线
③2:直线垂直于平面(与平面内所有直线垂直)
④空间中还有'异面位置' — 既不相交也不平行的两直线
二面角
60°
📖 什么是二面角?
①两半平面共享一条交线(棱)
②在棱上一点向各平面内作与棱垂直的射线
③这两条射线所成的角即二面角
④与翻开书本的角度同概念
空间中垂直·平行的定理
三垂线定理
PA ⊥ ℓ ⟺ PH ⊥ ℓ (H为A到平面的垂足)
通过垂足判断与平面内直线的垂直关系
平行判定
ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m (存在 m ⊂ α 的直线m)
与平面内某直线平行,则该直线与平面平行
🔍 核心定理
①直线 ⊥ 平面:与平面内所有直线垂直
②两平面 ⊥:垂直于一面的直线含于另一面
③三垂线定理:高考常考
④边画图边追证明过程,理解更快
动手算一算
例题 1 — 三垂线定理
在平面 α 上的直线 ℓ 外取一点 P,从 P 向 α 作垂线,垂足为 H;再从 H 向 ℓ 作垂线,垂足为 O。已知 PH=3,HO=4,求 PO 的长。
1
由三垂线定理可知 PO⊥ℓ,且三角形 PHO 在 H 处为直角。
PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ
2
在直角三角形 PHO 中,用勾股定理求斜边 PO。
PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25
PO = 5
因为 PH 垂直于平面,所以 PH 也垂直于 HO — 故三角形 PHO 可作直角三角形处理。
例题 2 — 正射影
在与平面 α 成 60° 二面角的平面 β 上有一个面积为 12 的图形,求该图形在 α 上的正射影面积。
1
正射影面积等于原面积乘以两平面所成角的余弦。
S' = S · cosθ
2
代入 S=12,θ=60°。
S' = 12 · cos60° = 12 · (1/2)
S' = 6
角越大 cos 值越小,正射影也越小 — 当角为 90° 时正射影面积为 0。
总结
正射影面积
S' = S cosθ
平面图形正射影面积 = 原面积 × cos(二面角)
2021 评价院模考数学(几何)类题改编
边长为 4 的正方形与平面 α 成 45°,则该正方形在 α 上的正射影面积为?
8
8√2
16
4√2
4
② 8√2
1
正方形的面积为 4 × 4 = 16。
2
将 S=16,θ=45° 代入正射影面积公式。
S' = 16 · cos45° = 16 · (√2/2) = 8√2
🎯 考试重点
①判别空间中直线·平面5种位置关系
②三垂线定理 — 条件与结论要准确
③求二面角 — 棱上垂直的两射线
④正射影面积 = 原面积 × cosθ
⑤异面两直线间距离
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