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几何
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空间图形与空间坐标
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空间坐标
Space Coordinates
3维坐标系
空间中的点P(x,y,z)与到坐标轴的正射影
x坐标
3
y坐标
4
z坐标
2
👀 空间中的点
①点P(x,y,z)由三个坐标确定位置
②虚线是到各坐标轴和坐标平面的正射影
③xy平面上的影子:(x,y,0)
④z轴上的影子:(0,0,z)
两点间距离
空间中两点A,B的距离与分量分解
空间两点距离
d = √((x
2
−x
1
)² + (y
2
−y
1
)² + (z
2
−z
1
)²)
勾股定理推广到3维
📐 距离公式直觉
①2D距离公式:√(Δx² + Δy²)
②3D只需再加一个Δz²
③沿虚线绘制的直角路径走
④按 Δx → Δy → Δz 顺序两次应用直角三角形
球的方程
中心C(a,b,c)、半径r的球
半径 r
3
球的方程
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
中心C(a,b,c)、半径r
🌐 什么是球?
①与一点(中心)等距(半径)的点集
②圆方程的3维推广
③展开为 x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0
④一般式配方可求中心与半径
分点与重心
分点(3D)
P = (
nx
1
+mx
2
m+n
,
ny
1
+my
2
m+n
,
nz
1
+mz
2
m+n
)
将线段AB按m:n分点
三角形重心
G = (
x
1
+x
2
+x
3
3
,
y
1
+y
2
+y
3
3
,
z
1
+z
2
+z
3
3
)
三顶点坐标的平均
💡 分点记忆法
①与2D分点公式结构相同
②只需再加一个z坐标
③中点是 m=n=1 的特例:各坐标平均
④重心:三坐标分别平均
总结
到原点的距离
d = √(x² + y² + z²)
原点O到点P(x,y,z)的距离
🎯 考试重点
①空间距离公式:在2D基础加Δz²
②球的方程:在圆方程加z项
③一般式 → 标准式以求中心·半径
④分点·重心:与2D结构相同、加z坐标
⑤对称点:对轴·平面·点对称分别练习
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空间图形