就像平面上的点由 (x, y) 两个数确定,空间中的点由 (x, y, z) 三个数确定位置。
只要再添上表示高度的 z,原本在地面上的点就仿佛升到了空中。
两点间的距离和球的方程,都只需在平面上用的公式上再加一层 z,便直接推广到三维。
拖动 x, y, z 滑块,看看点落在空间的哪个位置以及它投在坐标平面上的影子(正射影),再用半径 r 滑块观察球变大变小的样子。
3维坐标系
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空间中的点P(x,y,z)与到坐标轴的正射影 👀 空间中的点
①点P(x,y,z)由三个坐标确定位置
②虚线是到各坐标轴和坐标平面的正射影
③xy平面上的影子:(x,y,0)
④z轴上的影子:(0,0,z)
两点间距离
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空间中两点A,B的距离与分量分解 空间两点距离
d = √((x 2 −x 1 )² + (y 2 −y 1 )² + (z 2 −z 1 )²)
勾股定理推广到3维
📐 距离公式直觉
①2D距离公式:√(Δx² + Δy²)
②3D只需再加一个Δz²
③沿虚线绘制的直角路径走
④按 Δx → Δy → Δz 顺序两次应用直角三角形
球的方程
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中心C(a,b,c)、半径r的球 球的方程
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
中心C(a,b,c)、半径r
🌐 什么是球?
①与一点(中心)等距(半径)的点集
②圆方程的3维推广
③展开为 x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0
④一般式配方可求中心与半径
分点与重心
分点(3D)
P = ( nx 1 +mx 2 m+n , ny 1 +my 2 m+n , nz 1 +mz 2 m+n )
将线段AB按m:n分点
三角形重心
G = ( x 1 +x 2 +x 3 3 , y 1 +y 2 +y 3 3 , z 1 +z 2 +z 3 3 )
三顶点坐标的平均
💡 分点记忆法
①与2D分点公式结构相同
②只需再加一个z坐标
③中点是 m=n=1 的特例:各坐标平均
④重心:三坐标分别平均
动手算一算
例题 1
求两点 A(1, 2, 3), B(4, 6, 3) 之间的距离。
1 将各坐标之差平方后相加。
AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)
2 计算平方和并开方。
AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
▸ 5
z坐标相等时 Δz=0，便与二维距离公式相同。
例题 2
求球 x²+y²+z²−2x+4y−6z+5=0 的球心坐标与半径。
1 对 x, y, z 分别配方。
x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9
2 与标准式对照，读出球心与半径。
(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9
▸ 球心 (1, −2, 3), 半径 3
右边为 r²，故 √9=3 即半径。右边为负则球不存在。
总结
到原点的距离
d = √(x² + y² + z²)
原点O到点P(x,y,z)的距离
2023 评价院模考数学(几何)类题改编
以两点 A(2, 0, 1), B(0, 4, 3) 为直径两端的球，其球心坐标为?
① (1, 2, 2)
② (2, 2, 1)
③ (1, 2, 1)
④ (2, 4, 2)
⑤ (1, 4, 2)
▸ ① (1, 2, 2)
2 对各坐标取平均。
((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)
🎯 考试重点
①空间距离公式:在2D基础加Δz²
②球的方程:在圆方程加z项
③一般式 → 标准式以求中心·半径
④分点·重心:与2D结构相同、加z坐标
⑤对称点:对轴·平面·点对称分别练习