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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 空间坐标

平面上的点用 (x, y) 两个数确定位置，空间中的点再加上表示高度的 z，用 (x, y, z) 三个数确定。 把地面当作 xy 平面，从地面竖直立起 z 轴，从点 P 向地面作垂线，垂足 H 就是 (x, y, 0)，垂线的长就是 z。 两点间的距离和球的方程，都是在平面公式里多加一个 z 项，需要新记的东西比想象中少。 用 x、y、z 滑块移动 P，地面上的影子和到原点的距离会一起变化；第二幅图从 A 量到同一个 P 的距离，第三幅图用 r 滑块同时改变球的大小和方程的右边。

空间直角坐标系中的点

3
4
2
👀 怎样读三个坐标
①从 P 向地面作垂线，垂足 H 是 (x, y, 0)，线段 PH 的长就是 z 坐标
②从 H 向 x 轴、y 轴画的虚线所到的刻度，就是 x 坐标和 y 坐标
③从 P 向 z 轴画的虚线，把高度 z 移到 z 轴上的点 (0, 0, z)
④OH 和 PH 是直角三角形的两条直角边，斜边是 OP，所以原点到 P 的距离是 √(x² + y² + z²)

两点间的距离

两点间的距离
d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)
两次使用勾股定理的结果
📐 距离公式是怎么来的
①从 A 沿 x 方向走 Δx、沿 y 方向走 Δy，得到一个与地面平行的直角三角形，斜边是 √(Δx² + Δy²)
②从那里向上或向下走 Δz 就到达 B，刚才的斜边与 Δz 又成直角
③d 是第二个直角三角形的斜边，所以 d² = Δx² + Δy² + Δz²
④A 固定在 (1, 1, 1)，B 跟着第一幅图的点 P 移动。把 P 移到 (1, 1, 1)，d 就等于 0

球的方程

3
球的方程
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
球心 C(a, b, c)，半径 r
🌐 用方程表示球
①球面是到定点 C 的距离都等于 r 的所有点 P 组成的图形
②用距离公式写出 CP = r，两边平方得到 (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²
③展开后是 x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 的形式；反过来，遇到这种形式就对每个字母配方，求出球心和半径
④图中球心不动，只改变 r。r 变为原来的 2 倍时，右边的 r² 变为 4 倍

内分点与重心

线段的内分点
P = (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n, nz1+mz2m+n)
把线段 AB 分成 m : n 的点
三角形的重心
G = (x1+x2+x33, y1+y2+y33, z1+z2+z33)
三个顶点坐标的平均
💡 平面公式再加一行 z
①内分点是对 x、y、z 坐标分别使用同一个比 m : n 求出的
②形式就是平面公式再加一行 z 坐标
③中点是 m = n = 1 的情形，各坐标取平均
④重心是把三个顶点的 x、y、z 坐标分别取平均得到的点

例题

例题 1
求两点 A(1, 2, 3)、B(4, 6, 3) 之间的距离。
1
逐个坐标求差，平方后全部相加。
AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)
2
求平方和 25 的平方根。
AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
▸ 5
两点的 z 坐标相同，Δz = 0，所以距离和在同一高度的平面上量出的值一样。
例题 2
求球 x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0 的球心坐标和半径。
1
对 x、y、z 的项分别配方。
x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9
2
与标准式对照，读出球心和半径。
(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9
▸ 球心 (1, −2, 3)，半径 3
右边的 9 是 r²，所以半径是 3。如果配方后右边是负数，就没有点满足这个方程。

小结

到原点的距离
d = √(x² + y² + z²)
从原点 O 到点 P(x, y, z) 的距离
2023 评价院模考数学（几何）类题改编
以两点 A(2, 0, 1)、B(0, 4, 3) 为直径两端的球，球心坐标是多少？
①(1, 2, 2)
②(2, 2, 1)
③(1, 2, 1)
④(2, 4, 2)
⑤(1, 4, 2)
▸ ① (1, 2, 2)
1
直径 AB 的中点就是球心。
2
把两点的 x、y、z 坐标分别取平均。
((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)
🎯 考试要点
①两点间的距离公式是在平面公式上多加一项 (z₂ − z₁)²
②一般式给出的球方程，通过配方读出球心和半径。右边为 0 时只是一个点，为负时不表示任何图形
③内分点、中点、重心都按坐标逐个计算
④求对称点时，关于坐标轴、坐标平面还是原点对称，决定了哪些坐标变号
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