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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 双曲线

双曲线是到两个焦点距离之差为定值的点组成的曲线，分成两支。 椭圆是距离之和为定值，双曲线是距离之差为定值，成对记忆就很容易。 双曲线的两支无限接近两条叫作渐近线的直线，却永远不与它们相交。 拖动 a、b 和点 P 的位置，PF′ − PF 总是等于 2a，而且宽 2a、高 2b 的矩形的对角线正好与渐近线重合。

双曲线的定义

2
1.5
1.5
👀 从图中读出什么
①两个红点是焦点 F′(−c, 0)、F(c, 0)，c² = a² + b²
②上方显示右支上的点 P 到两个焦点的距离，无论把 P 移到哪里，差 PF′ − PF 都是 2a
③如果点在左支上，则 PF − PF′ = 2a，所以把两支合起来就是 |PF′ − PF| = 2a
④金色的点是顶点 (±a, 0)，虚线是渐近线 y = ±(b/a)x

渐近线与矩形

📐 渐近线的画法
①以原点为中心画一个宽 2a、高 2b 的矩形
②把两条对角线无限延长，就是渐近线 y = ±(b/a)x
③双曲线无限接近渐近线，却不与之相交
④顶点 (±a, 0) 在矩形的左右两边上

标准方程

双曲线的标准方程（焦点在 x 轴上）
x²a² − y²b² = 1
焦点 (±c, 0)，渐近线 y = ±(b/a)x
双曲线的标准方程（焦点在 y 轴上）
y²a² − x²b² = 1
焦点 (0, ±c)，渐近线 y = ±(a/b)x
🔍 与椭圆比较
①椭圆是两项相加，所以是封闭曲线
②双曲线是两项相减，所以是分成两支的开放曲线
③椭圆有 c² = a² − b²
④双曲线有 c² = a² + b²，与 a、b 的大小无关

焦点与离心率

焦点关系式
c² = a² + b²
（中心到焦点的距离）² = a² + b²
离心率
e = ca > 1
b/a 小时 e 接近 1，两支较窄；b/a 大时 e 变大，两支张得更开
🎯 离心率的含义
①双曲线的离心率总是 e > 1
②e = √(1 + b²/a²)
③b/a 越大，渐近线越陡，e 越大
④a = b 的等轴双曲线 e = √2，渐近线是 y = ±x

例题

例题 1
求双曲线 x²/9 − y²/16 = 1 的焦点坐标和渐近线方程。
1
由 a² = 9，b² = 16 得 a = 3，b = 4，焦点由 c² = a² + b² 求出。
c² = 9 + 16 = 25, c = 5
2
焦点在 x 轴上，渐近线为 y = ±(b/a)x。
焦点 (±5, 0), 渐近线 y = ±43x
▸ 焦点 (±5, 0)，渐近线 y = ±(4/3)x
双曲线是 c² = a² + b²，用加法；与椭圆的 c² = a² − b² 符号相反。
例题 2
两个焦点为 (±5, 0)，到两焦点的距离之差为 6，求这个双曲线的方程。
1
由距离之差 2a = 6 得 a = 3，由焦点得 c = 5。
2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5
2
由 b² = c² − a² 求出 b²，代入标准方程。
b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1
▸ x²/9 − y²/16 = 1
先由定义 |PF′ − PF| = 2a 定出 a，b² 就由 c² − a² 得到。

小结

核心比较
x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²
减号是双曲线的标志，c 总是大于 a
2021 评价院模考数学（几何）类题改编
双曲线 x²/4 − y²/5 = 1 的两个焦点之间的距离是多少？
①6
②5
③4
④3
⑤2
▸ ① 6
1
a² = 4，b² = 5，所以 c² = a² + b² = 4 + 5 = 9，c = 3。
2
两个焦点之间的距离是 2c。
2c = 2 × 3 = 6
🎯 考试要点
①定义是 |PF′ − PF| = 2a
②c² = a² + b²，与椭圆符号相反
③渐近线 y = ±(b/a)x 常考
④离心率 e > 1
⑤用离心率比较：椭圆 0 < e < 1，抛物线 e = 1，双曲线 e > 1
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