几何›二次曲线

双曲线

Hyperbola

双曲线的定义

a (实半轴)2

b (虚半轴)1.5

👀 什么是双曲线?

①两焦点 F, F'

②双曲线上点P满足 |PF' − PF| = 2a (差的绝对值为定值)

③椭圆:'和为定值'、双曲线:'差为定值'

④分两支的曲线

渐近线与矩形

📐 渐近线的秘密

①以原点为中心绘制宽a高b的矩形

②无限延伸其对角线即为渐近线

③双曲线无限接近渐近线但永不相交

④渐近线:y = ±(b/a)x

标准式

双曲线标准式(横向)

x²a² − y²b² = 1

焦点 (±c, 0),渐近线 y = ±(b/a)x

双曲线标准式(纵向)

y²a² − x²b² = 1

焦点 (0, ±c),渐近线 y = ±(a/b)x

🔍 与椭圆的比较

①椭圆:+号 → 闭曲线

②双曲线:−号 → 开曲线(两支)

③椭圆:c² = a² − b² (a > b)

④双曲线:c² = a² + b² (a,b无大小关系)

焦点与离心率

焦点关系式

c² = a² + b²

焦距² = 实轴² + 虚轴²

离心率

e = ca > 1

e→1渐近线窄,e大渐近线宽

🎯 离心率直觉

①双曲线离心率始终 e > 1

②e = √(1 + b²/a²)

③b/a越大渐近线越陡,e越大

④直角双曲线(a=b)时 e = √2,渐近线 y = ±x

总结

核心比较

x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²

'−'号是双曲线的标志 | c恒大于a

🎯 考试重点

①定义:|PF' − PF| = 2a

②c² = a² + b² (与椭圆符号相反!)

③渐近线 y = ±(b/a)x — 常考

④离心率 e > 1

⑤椭圆·抛物线·双曲线离心率比较:椭圆(0<e<1)、抛物线(e=1)、双曲线(e>1)