双曲线

Hyperbola

双曲线是到两个焦点的距离之「差」始终保持不变的点聚成的、分成两支的曲线。如果说椭圆是「距离之和不变」的曲线,那么双曲线就是它的搭档:「距离之差不变」的曲线,成对记忆就很容易。这两支会无限接近叫作渐近线的直线,却永远不会碰到它。拖动 a 和 b 滑块,确认到两个焦点的距离之差始终保持为 2a,并且基本矩形的对角线正好成为渐近线。

双曲线的定义

a (实半轴)2

b (虚半轴)1.5

👀 什么是双曲线?

①两焦点 F, F'

②双曲线上点P满足 |PF' − PF| = 2a (差的绝对值为定值)

③椭圆:'和为定值'、双曲线:'差为定值'

④分两支的曲线

渐近线与矩形

📐 渐近线的秘密

①以原点为中心绘制宽a高b的矩形

②无限延伸其对角线即为渐近线

③双曲线无限接近渐近线但永不相交

④渐近线:y = ±(b/a)x

标准式

双曲线标准式(横向)

x²a² − y²b² = 1

焦点 (±c, 0),渐近线 y = ±(b/a)x

双曲线标准式(纵向)

y²a² − x²b² = 1

焦点 (0, ±c),渐近线 y = ±(a/b)x

🔍 与椭圆的比较

①椭圆:+号 → 闭曲线

②双曲线:−号 → 开曲线(两支)

③椭圆:c² = a² − b² (a > b)

④双曲线:c² = a² + b² (a,b无大小关系)

焦点与离心率

焦点关系式

c² = a² + b²

焦距² = 实轴² + 虚轴²

离心率

e = ca > 1

e→1渐近线窄,e大渐近线宽

🎯 离心率直觉

①双曲线离心率始终 e > 1

②e = √(1 + b²/a²)

③b/a越大渐近线越陡,e越大

④直角双曲线(a=b)时 e = √2,渐近线 y = ±x

动手算一算

例题 1

求双曲线 x²/9 − y²/16 = 1 的焦点坐标与渐近线方程。

由 a²=9, b²=16 得 a=3, b=4。焦点用 c²=a²+b² 求。

c² = 9 + 16 = 25, c = 5

为横向，故焦点在 x 轴上，渐近线为 y = ±(b/a)x。

焦点 (±5, 0), 渐近线 y = ±43x

▸ 焦点 (±5, 0), 渐近线 y = ±(4/3)x

双曲线 c² = a² + b²(相加)。注意与椭圆 c² = a² − b² 的符号相反。

例题 2

求两焦点为 (±5, 0)、到两焦点距离之差为 6 的双曲线方程。

距离之差 2a = 6 得 a = 3，由焦点得 c = 5。

2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5

由 b² = c² − a² 求 b²，代入标准式。

b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1

▸ x²/9 − y²/16 = 1

从定义 |PF′ − PF| = 2a 先定 a，则 b² 随 c² − a² 而得。

总结

核心比较

x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²

'−'号是双曲线的标志 | c恒大于a

2021 评价院模考数学(几何)类题改编

双曲线 x²/4 − y²/5 = 1 的两焦点之间的距离是?

①6

②5

③4

④3

⑤2

▸ ① 6

因 a²=4, b²=5，故 c² = a² + b² = 4 + 5 = 9，c = 3。

两焦点之间的距离为 2c。

2c = 2 × 3 = 6

🎯 考试重点

①定义:|PF' − PF| = 2a

②c² = a² + b² (与椭圆符号相反!)

③渐近线 y = ±(b/a)x — 常考

④离心率 e > 1

⑤椭圆·抛物线·双曲线离心率比较:椭圆(0<e<1)、抛物线(e=1)、双曲线(e>1)