几何›二次曲线

椭圆

Ellipse

椭圆的定义
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👀 什么是椭圆?
①两个焦点 F, F'
②椭圆上任意点P都满足 PF + PF' = 2a (定值)
③长半轴 a 越大椭圆越扁长
④短半轴 b 接近 a 时趋近圆
用线和钉绘制椭圆
📌 线作图法
①在两焦点钉钉子
②长2a的线两端固定在钉子上
③用铅笔将线拉紧绕一圈即可画出椭圆
④线长不变 = PF + PF' = 2a (定值)
标准式
标准式(横向)
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
焦点 (±c, 0)、c² = a² − b²
标准式(纵向)
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
焦点 (0, ±c)、c² = a² − b²
🔍 公式推导
①定义: PF + PF' = 2a
②对P(x,y), F(c,0), F'(-c,0)用距离公式
③化简得 x²/a² + y²/b² = 1 (其中 b² = a² − c²)
④分母较大者对应方向为长轴方向
离心率与形状
离心率
e = ca (0 < e < 1)
e→0为圆,e→1为扁椭圆
🎯 离心率的直觉
①离心率 e = c/a = (焦距)/(长半轴)
②e接近0时两焦点聚于中心 → 接近圆
③e接近1时焦点向两端张开 → 变扁
④行星轨道为椭圆:地球 e≈0.017(近圆)、彗星 e≈0.99(很扁)
总结
核心关系式
a² = b² + c²
长半轴² = 短半轴² + 焦距²
🎯 考试重点
①椭圆定义:到两焦点距离之和 = 2a
②标准式中分母大者 → 长轴方向
③用 c² = a² − b² 求焦点坐标
④离心率 e = c/a (0 < e < 1)
⑤中心在(h,k)时 x→(x−h), y→(y−k)平移