椭圆

Ellipse

椭圆是到两个定点(焦点)的距离之和始终保持不变的所有点聚成的曲线。把线套在两枚钉子上,用铅笔拉紧绕一圈画出的就是椭圆,而这段线的长度正是那个「距离之和」。行星绕太阳运行的轨道,也是一个略微压扁的椭圆。拖动长半轴 a 和短半轴 b 滑块,确认点P到两个焦点的距离之和始终保持为 2a。

椭圆的定义

长半轴 a3

短半轴 b2

👀 什么是椭圆?

①两个焦点 F, F'

②椭圆上任意点P都满足 PF + PF' = 2a (定值)

③长半轴 a 越大椭圆越扁长

④短半轴 b 接近 a 时趋近圆

用线和钉绘制椭圆

📌 线作图法

①在两焦点钉钉子

②长2a的线两端固定在钉子上

③用铅笔将线拉紧绕一圈即可画出椭圆

④线长不变 = PF + PF' = 2a (定值)

标准式

标准式(横向)

x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)

焦点 (±c, 0)、c² = a² − b²

标准式(纵向)

x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)

焦点 (0, ±c)、c² = a² − b²

🔍 公式推导

①定义: PF + PF' = 2a

②对P(x,y), F(c,0), F'(-c,0)用距离公式

③化简得 x²/a² + y²/b² = 1 (其中 b² = a² − c²)

④分母较大者对应方向为长轴方向

离心率与形状

离心率

e = ca (0 < e < 1)

e→0为圆,e→1为扁椭圆

🎯 离心率的直觉

①离心率 e = c/a = (焦距)/(长半轴)

②e接近0时两焦点聚于中心 → 接近圆

③e接近1时焦点向两端张开 → 变扁

④行星轨道为椭圆:地球 e≈0.017(近圆)、彗星 e≈0.99(很扁)

动手算一算

例题 1

求椭圆 x²/25 + y²/9 = 1 的两焦点坐标与长轴的长度。

读出 a, b，再由 c² = a² − b² 求 c。

a²=25, b²=9 ⇒ c²=25−9=16, c=4

焦点为 (±c, 0)，长轴长度为 2a。

焦点 (±4, 0), 长轴 2a=10

▸ 焦点 (±4, 0), 长轴长度 10

较大分母(25)在 x² 之下，故长轴为横向，焦点也在 x 轴上。

例题 2

求两焦点为 (±3, 0)、到两焦点距离之和为 10 的椭圆方程。

由距离之和 2a=10 求 a，并从焦点读出 c。

2a=10 ⇒ a=5, c=3

由 b² = a² − c² 求 b² 后代入标准式。

b²=25−9=16 ⇒ x²25 + y²16 = 1

▸ x²/25 + y²/16 = 1

先由定义(距离之和=2a)得 a，c 直接从焦点坐标读出，b² 随之确定。

总结

核心关系式

a² = b² + c²

长半轴² = 短半轴² + 焦距²

2022 评价院模考数学(几何)类题改编

椭圆 x²/16 + y²/7 = 1 的两焦点之间的距离为?

①6

②5

③4

④3

⑤8

▸ ① 6

因 a²=16, b²=7，故 c² = a² − b² = 16−7 = 9, c=3。

两焦点之间的距离为 2c。

2c = 6

🎯 考试重点

①椭圆定义:到两焦点距离之和 = 2a

②标准式中分母大者 → 长轴方向

③用 c² = a² − b² 求焦点坐标

④离心率 e = c/a (0 < e < 1)

⑤中心在(h,k)时 x→(x−h), y→(y−k)平移