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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 椭圆

椭圆是到两个定点（焦点）距离之和为定值的点组成的曲线。 把一根线的两端系在两枚图钉上，用铅笔把线拉紧绕一圈，就能画出椭圆，这根线的长度就是那个距离之和。 行星绕太阳运行的轨道也是椭圆，太阳位于两个焦点中的一个上。 改变横向半轴 a 和纵向半轴 b，焦点的位置也随之移动，而点 P 到两个焦点的距离之和始终等于长轴的长度。

椭圆的定义

3
2
👀 从图中读出什么
①两个红点是焦点 F、F′，绿色线段是点 P 到两焦点的距离
②无论怎样改变 a 和 b，上方显示的 PF′ + PF 都等于较长半轴的两倍
③a > b 时椭圆横向较长，焦点在 x 轴上的 (±c, 0)，c² = a² − b²
④b > a 时椭圆纵向较长，焦点移到 y 轴上的 (0, ±c)，此时 c² = b² − a²，距离之和为 2b
⑤a = b 时两个焦点在中心重合，椭圆变成圆

用线和图钉画椭圆

📌 画椭圆的方法
①在两个焦点处钉上图钉
②取一根与长轴等长的线，两端系在两枚图钉上
③用铅笔把线拉紧绕一圈，就画出了椭圆
④线的长度不变，所以笔尖到两枚图钉的距离之和保持不变

标准方程

椭圆的标准方程（焦点在 x 轴上）
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
焦点 (±c, 0)，c² = a² − b²
椭圆的标准方程（焦点在 y 轴上）
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
焦点 (0, ±c)，c² = a² − b²。这里 a 是较长的半轴，所以写在 y² 下面
🔍 列方程的过程
①定义是 PF + PF′ = 2a
②对 P(x, y)、F(c, 0)、F′(−c, 0) 使用距离公式
③逐个消去根号并整理，得到 x²/a² + y²/b² = 1，其中 b² = a² − c²
④分母较大的变量所在方向就是长轴方向

离心率与形状

离心率
e = ca (0 < e < 1)
e 接近 0 时接近圆，接近 1 时椭圆很扁
🎯 离心率的含义
①离心率 e = c/a，是中心到焦点的距离除以较长的半轴
②e 接近 0 时，两个焦点向中心靠拢，椭圆接近圆
③e 接近 1 时，焦点向两端分开，椭圆变扁
④地球公转轨道的离心率约为 0.017，几乎是圆；哈雷彗星约为 0.97，非常扁

例题

例题 1
求椭圆 x²/25 + y²/9 = 1 的两个焦点坐标和长轴的长度。
1
读出 a 和 b，由 c² = a² − b² 求 c。
a² = 25, b² = 9 ⇒ c² = 25 − 9 = 16, c = 4
2
焦点是 (±c, 0)，长轴长为 2a。
焦点 (±4, 0)，长轴 2a = 10
▸ 焦点 (±4, 0)，长轴长 10
较大的分母 25 在 x² 下面，所以长轴是横向的，焦点也在 x 轴上。
例题 2
两个焦点为 (±3, 0)，到两焦点的距离之和为 10，求这个椭圆的方程。
1
由距离之和 2a = 10 求出 a，从焦点读出 c。
2a = 10 ⇒ a = 5, c = 3
2
由 b² = a² − c² 求出 b²，代入标准方程。
b²=25−9=16 ⇒ x²25 + y²16 = 1
▸ x²/25 + y²/16 = 1
先由定义（距离之和 = 2a）得到 a，再从焦点坐标读出 c，b² 就确定了。

小结

核心关系式
a² = b² + c²
（较长半轴）² = （较短半轴）² + （中心到焦点的距离）²
2022 评价院模考数学（几何）类题改编
椭圆 x²/16 + y²/7 = 1 的两个焦点之间的距离是多少？
①6
②5
③4
④3
⑤8
▸ ① 6
1
a² = 16，b² = 7，所以 c² = a² − b² = 16 − 7 = 9，c = 3。
2
两个焦点之间的距离是 2c。
2c = 6
🎯 考试要点
①椭圆的定义：到两个焦点的距离之和为定值 2a
②标准方程中分母较大的一方是长轴方向
③用 c² = a² − b² 求焦点坐标
④离心率 e = c/a，且 0 < e < 1
⑤中心为 (h, k) 时，用 x − h 代替 x，用 y − k 代替 y
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