几何›二次曲线

抛物线

Parabola

焦点与准线的直觉
1.5
👀 什么是抛物线?
①在抛物线上取任一点P
②到焦点F的距离与到准线的距离恒等
③这个'等距离'条件即抛物线的定义
④焦点发出的光经抛物线反射后平行射出 — 卫星天线、车灯原理!
随p的形状变化
1.5
📏 p的含义
①p大焦点远抛物线变宽
②p小焦点近抛物线变窄
③准线始终在焦点的对侧等距处
标准式推导
抛物线标准式(横)
y² = 4px
焦点 F(p, 0)、准线 x = −p、顶点在原点
抛物线标准式(纵)
x² = 4py
焦点 F(0, p)、准线 y = −p、顶点在原点
🔍 推导过程
①定义: PF = Pd (到焦点距离 = 到准线距离)
②点P(x,y)到F(p,0)距离: √((x−p)² + y²)
③到准线 x=−p 距离: |x+p|
④两边平方 (x−p)² + y² = (x+p)²
⑤展开得 y² = 4px
顶点不在原点的情况
平移后的抛物线
(y − k)² = 4p(x − h)
顶点 (h, k)、焦点 (h+p, k)
🎯 平移核心
①以(x−h)代x、(y−k)代y
②焦点同方向平移(h,k)
③准线变为 x = h−p
④公式结构相同
总结
核心公式
y² = 4px
焦点 (p,0) | 准线 x=−p | p>0向右开,p<0向左开
🎯 考试重点
①抛物线定义:到焦点距离 = 到准线距离
②y²=4px中4p符号决定开口方向
③练习快速求焦点坐标与准线方程
④顶点为(h,k)时用平移公式
⑤抛物线焦点与碟形天线、车灯原理相关