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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 抛物线

抛物线是到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点组成的曲线。 抛物线的方程和各种性质，都来自“距离相等”这一个条件。 卫星天线和汽车前灯做成抛物线形，也是因为从焦点发出的光经抛物线反射后会平行于轴射出。 拖动焦距 p 和点 P 的位置，抛物线的开口宽窄会变，但 PF 和 PD 始终相等。

焦点与准线

抛物线原本作为二次函数的图像出现，用焦点和准线重新定义它，是因为这样可以用一个条件说明曲线为什么是这个形状。把“曲线上的点 P 到焦点 F 的距离等于到准线的距离”这个条件用坐标写出来，就得到标准方程 y² = 4px。只要从方程中读出 4p，焦点 (p, 0)、准线 x = −p 和作为顶点的原点就一起确定了。开口向上或向下的抛物线是 x² = 4py；顶点移到 (h, k) 时，焦点和准线也朝同一方向移动同样的距离。从焦点发出的光反射后平行于轴射出，同样是这个距离条件的结果。

第一幅图是开口向右的抛物线 y² = 4px。金色的点是焦点 F(p, 0)，蓝色虚线是准线 x = −p，绿色的点 P 在曲线上移动。绿色线段是 PF，蓝色线段是从 P 向准线作的垂线 PD，上方同时显示两段的长度。无论把点 P 的 y 坐标上下移动，还是把焦距 p 在 0.5 到 3 之间改变，PF 和 PD 总是相等，都等于 x + p。第二幅图中淡淡地画着 p = 0.5、1、2 的参照曲线，所选 p 的曲线和焦点用金色叠在上面。和参照曲线比较可以看出，p 越大，曲线开口越宽。

1.5
2.5
👀 抛物线的定义
①无论点 P 在曲线上什么位置，都有 PF = PD
②这个距离相等的条件就是抛物线的定义
③PD = x + p，所以 PF 也等于 x + p，把它整理成方程就是 y² = 4px
④从焦点发出的光经抛物线反射后平行于轴射出，卫星天线和前灯就利用了这个性质

p 与形状的关系

把 y² = 4px 中 x 的系数 4p 直接当成 p，焦点和准线就会被放到四倍远的地方。对于 y² = 12x，4p = 12，所以 p = 3，焦点是 (3, 0)，准线是 x = −3。人们容易以为 p 越大曲线越窄，其实正相反。在同一个 x 处，y² = 4px 中 y 的大小随 p 增大而增大，所以第二幅图中 p = 2 的曲线比 p = 0.5 的开口更宽。只看顶点而忘了焦点和准线，就无法验算曲线上的点到两者的距离是否相等。图中只画了 p > 0 的情形；p < 0 时，同一个方程表示开口向左的抛物线。

1.5
📏 p 的含义
①p 是顶点到焦点的距离，顶点到准线的距离也是 p
②p 大，焦点远，抛物线开口宽
③p 小，焦点靠近顶点，抛物线开口窄
④过焦点且垂直于轴的弦长为 4p

推导标准方程

抛物线的标准方程（开口向左右）
y² = 4px
焦点 F(p, 0)，准线 x = −p，顶点在原点
抛物线的标准方程（开口向上下）
x² = 4py
焦点 F(0, p)，准线 y = −p，顶点在原点
🔍 列方程的过程
①定义是 PF = PD
②点 P(x, y) 到 F(p, 0) 的距离为 √((x − p)² + y²)
③到准线 x = −p 的距离为 |x + p|
④两者相等，两边平方得 (x − p)² + y² = (x + p)²
⑤整理得 y² = 4px，p 的符号决定开口方向

顶点不在原点时

平移后的抛物线
(y − k)² = 4p(x − h)
顶点 (h, k)，焦点 (h + p, k)，准线 x = h − p
🎯 平移的要点
①用 x − h 代替 x，用 y − k 代替 y
②焦点也朝同一方向移动，变成 (h + p, k)
③准线移到 x = h − p
④p 与 4p 的关系不变

例题

例题 1
求抛物线 y² = 12x 的焦点和准线。
1
与标准方程 y² = 4px 比较，求出 p。
4p = 12 ⇒ p = 3
2
焦点是 (p, 0)，准线是 x = −p。
焦点 (3, 0)，准线 x = −3
▸ 焦点 (3, 0)，准线 x = −3
对于 y² = 4px 形式，只要比较 4p 的值，就能马上得到焦点和准线。
例题 2
求抛物线 (y − 1)² = 8(x − 2) 的焦点坐标。
1
顶点是 (2, 1)，由 4p = 8 得 p = 2。
4p = 8 ⇒ p = 2，顶点 (2, 1)
2
焦点是把顶点沿 x 方向移动 p 得到的 (h + p, k)。
(2 + 2, 1) = (4, 1)
▸ (4, 1)
平移后的抛物线，把 p 加到顶点 (h, k) 上就得到焦点。准线是 x = h − p = 0。

小结

核心公式
y² = 4px
焦点 (p, 0)，准线 x = −p；p > 0 时开口向右，p < 0 时开口向左
2023 评价院模考数学（几何）类题改编
抛物线 y² = 4px 的焦点为 (2, 0)，准线的方程是什么？
①x = −2
②x = 2
③x = −1
④x = 1
⑤y = −2
▸ ① x = −2
1
y² = 4px 的焦点是 (p, 0)，所以 p = 2。
2
准线是 x = −p。
准线 x = −2
🎯 考试要点
①抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离
②由 y² = 4px 中 4p 的符号判断开口方向
③从 x 的系数读出 4p，求出 p，再写出焦点和准线
④顶点为 (h, k) 时考虑平移
⑤曲线上的点到焦点的距离，换成到准线的距离来算更容易
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