数列的极限

Limit of a Sequence

数列就是按 n 逐个排列、没有尽头的一串数。关键在于当 n 越来越大时，这些值会不会朝某一个目的地稳定下来，而那个目的地正是极限。若无限接近某个数就称为收敛，若始终散开或上下跳动则称为发散。拖动项数滑块，看点如何聚拢到 L = 1，再切换不同数列，把收敛与发散并排比较。

数列趋向之处

显示项数5个

👀 直观观察

金色点是数列各项。n 越大，点越靠近红色虚线（L = 1）。这就是「收敛」。

ε-N 严格定义

📏 ε 带的含义

①n 越大金色带越窄

②无论 ε 多小，存在 N 使得 n ≥ N 后所有项都在带内

③这就是收敛的严格定义

ε-N 定义

∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε

对任意正数 ε，存在足够大的 N，使 n ≥ N 时 |aₙ − L| < ε

收敛与发散对比

选择数列0

🔍 三种模式

①0：1+1/n → 1 收敛

②1：(-1)ⁿ(1+1/n) 振荡发散

③2：n/(n+1) → 1 收敛（下方逼近）

极限基本性质

数列极限的四则

lim(a_n ± b_n) = α ± β, lim(a_n · b_n) = α · β

两数列各自收敛时，和差积的极限即各极限的和差积

商的极限

lim a_nb_n = αβ (β ≠ 0)

β ≠ 0 时，商的极限为极限之商

夹逼定理

a_n ≤ c_n ≤ b_n, lim a_n = lim b_n = L ⇒ lim c_n = L

若上下夹至同一值，则中间也收敛于该值

例题演练

例题 1

求极限 lim_n→∞ 2n+3n-1。

将分子与分母同时除以 n。

2n+3n-1 = 2 + 3/n1 - 1/n

当 n → ∞ 时，3/n → 0，1/n → 0。

2 + 01 - 0 = 2

▸ 2

有理式的极限，按分母最高次项去除分子分母是标准做法。

例题 2

求极限 lim_n→∞ sin nn。

由 −1 ≤ sin n ≤ 1，两边同除以正数 n。

-1n ≤ sin nn ≤ 1n

两侧极限都为 0，由夹逼定理，中间也为 0。

lim_n→∞ (-1/n) = lim_n→∞ 1n = 0

▸ 0

像 sin、cos 这类有界数列，用 ±1/n 夹住并使用夹逼定理。

总结

关键极限公式

lim_n→∞ 1n^p = 0 (p > 0), lim_n→∞ rⁿ = 0 (|r| < 1)

1/n^p → 0；|r| < 1 时 rⁿ → 0

高考类型变式

极限 lim_n→∞ (√(n²+3n) − n) 的值是？

①1

②32

③2

④3

⑤∞（发散）

▸ ② 32

含根号的 ∞ − ∞ 型，乘以共轭式进行有理化。

√(n²+3n) − n = 3n√(n²+3n) + n

分子分母同除以 n，分母收敛于 2。

3√(1 + 3/n) + 1 → 32

🎯 考试要点

①定义：掌握 ε-N 的脉络

②各极限存在则可对极限做四则

③振荡数列无极限

④夹逼定理：两侧极限相同则中间收敛

⑤记牢 1/n^p → 0、r^n → 0（|r| < 1）

等比数列的极限

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