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数列的极限
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数列的极限
Limit of a Sequence
数列趋向之处
数列 aₙ = 1 + 1/n 的项收敛于极限 L = 1
显示项数
5个
👀 直观观察
金色点是数列各项。n 越大，点越靠近红色虚线（L = 1）。这就是「收敛」。
ε-N 严格定义
所有项最终落入金色 ε 带
📏 ε 带的含义
①n 越大金色带越窄
②无论 ε 多小，存在 N 使得 n ≥ N 后所有项都在带内
③这就是收敛的严格定义
ε-N 定义
∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a
n
− L| < ε
对任意正数 ε，存在足够大的 N，使 n ≥ N 时 |aₙ − L| < ε
收敛与发散对比
收敛与发散数列对比
选择数列
0
🔍 三种模式
①0：1+1/n → 1 收敛
②1：(-1)ⁿ(1+1/n) 振荡发散
③2：n/(n+1) → 1 收敛（下方逼近）
极限基本性质
数列极限的四则
lim(a
n
± b
n
) = α ± β, lim(a
n
· b
n
) = α · β
两数列各自收敛时，和差积的极限即各极限的和差积
商的极限
lim
a
n
b
n
=
α
β
(β ≠ 0)
β ≠ 0 时，商的极限为极限之商
夹逼定理
a
n
≤ c
n
≤ b
n
, lim a
n
= lim b
n
= L ⇒ lim c
n
= L
若上下夹至同一值，则中间也收敛于该值
总结
关键极限公式
lim
n→∞
1
n
p
= 0 (p > 0), lim
n→∞
r
n
= 0 (|r| < 1)
1/n
p
→ 0；|r| < 1 时 r
n
→ 0
🎯 考试要点
①定义：掌握 ε-N 的脉络
②各极限存在则可对极限做四则
③振荡数列无极限
④夹逼定理：两侧极限相同则中间收敛
⑤记牢 1/n^p → 0、r^n → 0（|r| < 1）
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