高中数学 数列的极限 数列是一串带编号、无穷无尽的数。
随着编号 n 增大，如果各项无限接近某一个值，这个值就叫极限，称数列收敛于它。
如果各项不聚向一个值，而是无限增大，或在两个值之间来回，就是发散。
图中增大 n，aₙ = 1 + 1/n 会接近 L = 1；把 ε 调小，开始进入带内的编号 N 会往后移。
数列趋近的值 数列的编号 n 无限增大，所以没有最后一项。因此，数列的极限问的不是某一项的值，而是编号足够大以后，各项是否停留在某个值 L 附近。无论在 L 周围画多窄的带子，只要从某个编号起所有项都落在带内，就说数列收敛于 L；如果找不到这样的 L，就说数列发散。函数的极限讨论实数 x 趋近 a 的情形，数列的极限只讨论自然数编号 n 无限增大的情形。有了这个定义，两个收敛数列的和、差、积的极限就等于各自极限的和、差、积；只要分母的极限不为 0，商也一样。
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aₙ = 1 + 1/n 的前 20 项与极限 L = 1 第一幅图中的点是 aₙ = 1 + 1/n 的前 20 项，红色虚线是极限 L = 1。用滑块选到第 n 项为止的点会亮成金色，上方显示这一项的值以及它到极限线的距离 |aₙ − 1| = 1/n。n 从 1 增加到 20 时，距离依次缩小为 1、1/2、1/3、…，最后是 0.05；缩小的幅度越来越小，但距离不会变成 0。第二幅图中，用 ε 滑块确定 L 周围绿色带子的宽度。落在带内的项是绿色，带外的项是金色，白色虚线标出编号 N，从它开始所有项都在带内。ε 越小，N 越往后移，但无论选多小的 ε，N 总能确定。
👀 从图中读出什么
①金色的点是数列的各项，红色虚线是极限 L = 1
②n 越大，项与虚线之间的距离 1/n 越小，趋近于 0
③没有哪一项的距离等于 0，但无论规定多小的距离，从某个编号起所有项都比它更近。这就是收敛
用 ε-N 准确地说 项一直在变大，并不意味着数列一定发散。第三幅图中的 n/(n + 1) 一直增大，却始终不超过 1，并收敛于 1。反过来，(−1)ⁿ(1 + 1/n) 各项的大小接近 1，但符号不断交替，在 1 附近和 −1 附近来回，不会聚向一个值，所以发散。无限增大的发散和振荡的发散虽然都是发散，形态却不同，最好分清。也不能只看前几项就下结论。收敛说的是某个编号以后的所有项，所以前面的项离得再远，结论也不会改变。有理式要除以最高次项，看 1/n 这类项是否趋于 0；像 sin n 这样有界的因子，要从上下两侧夹逼来判断。
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L 周围的带 |aₙ − 1| < ε，以及所有项开始落入带内的编号 N 📏 ε 带与编号 N
①ε 是在极限值周围允许的误差，也就是带的半宽
②aₙ = 1 + 1/n 在 1/n < ε 时进入带内，所以取 N = ⌊1/ε⌋ + 1 即可。ε = 0.1 时 N = 11
③无论 ε 取得多小，这样的 N 都存在，这就是收敛的准确定义
ε-N 定义
∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a n − L| < ε
对任意正数 ε，都存在编号 N，使得 n ≥ N 的所有项都满足 |aₙ − L| < ε
比较收敛与发散 see gongsik.com
三个数列的前 20 项；虚线是各项趋近的高度 🔍 三种情形
①1 + 1/n 从上方趋近 1，收敛
②(−1)ⁿ(1 + 1/n) 在 1 附近和 −1 附近交替，不聚向一个值，所以发散（振荡）
③n/(n + 1) 从下方趋近 1，收敛。一直增大也可能收敛
极限的基本性质 和、差、积的极限
lim(a n ± b n ) = α ± β, lim(a n · b n ) = α · β
若 lim aₙ = α，lim bₙ = β，则和、差、积的极限等于各自极限的和、差、积
商的极限
lim a n b n = α β (β ≠ 0)
当 β ≠ 0 且 bₙ ≠ 0 时，商的极限等于极限的商
夹逼定理
a n ≤ c n ≤ b n , lim a n = lim b n = L ⇒ lim c n = L
夹在两个趋于同一值的数列之间的数列，也收敛于这个值
例题 例题 1
求极限 lim n→∞ 2n+3 n-1 。
1 分子、分母同时除以 n。
2n+3 n-1 = 2 + 3/n 1 - 1/n
2 n → ∞ 时，3/n → 0，1/n → 0。
2 + 0 1 - 0 = 2
▸ 2
求有理式的极限，基本做法是用分母的最高次项同时除分子和分母。
例题 2
求极限 lim n→∞ sin n n 。
1 因为 −1 ≤ sin n ≤ 1，各边同时除以正数 n。
- 1 n ≤ sin n n ≤ 1 n
2 两侧的极限都是 0，由夹逼定理，中间的极限也是 0。
lim n→∞ (-1/n) = lim n→∞ 1 n = 0
▸ 0
像 sin、cos 这样取值有界的数列，可以用 ±1/n 夹住，再用夹逼定理。
小结 常用的极限
lim n→∞ 1 n p = 0 (p > 0), lim n→∞ r n = 0 (|r| < 1)
p > 0 时 1/nᵖ 收敛于 0，|r| < 1 时 rⁿ 收敛于 0
韩国高考类题改编
极限 lim n→∞ (√(n 2 +3n) − n) 的值是？
▸ ② 3 2
1 这是含根号的 ∞ − ∞ 型，所以乘以共轭式进行有理化。
√(n 2 +3n) − n = 3n √(n 2 +3n) + n
2 分子、分母同时除以 n，分母收敛于 2。
3 √(1 + 3/n) + 1 → 3 2
🎯 考试要点
①收敛的意思是：从某个编号起，所有项都落在极限值周围的带内
②收敛数列的和、差、积、商，用各自的极限来计算
③振荡的数列没有极限，属于发散
④有界的因子从上下两侧夹住，用夹逼定理
⑤有理式除以分母的最高次项，再用 1/nᵖ → 0
最后更新 2026-10-17