等比数列的极限

Limit of a Geometric Sequence

等比数列是靠不断乘以同一个数 r 生成的数列。若这个 r 的大小小于 1，每一项就越来越小并最终消失为 0；若大于 1，各项则像滚雪球一样膨胀而发散。所以 rⁿ 的命运只由一件事决定，就是公比 r 的大小，而分界恰好落在 r=1 与 r=-1。拖动公比 r 滑块，看点是折向 0、向上爆发，还是在 1 与 -1 之间来回振荡。

rⁿ 的命运由 r 决定

公比 r0.7

👀 用眼睛看

①若 |r|<1，越乘越小，收敛于 0

②若 r=1，始终为 1

③若 r=−1，在 1 与 −1 间振荡(发散)

④若 |r|>1，爆发式发散

四种情形分类

lim rⁿ 的分类

Chart按公比 r 的 lim rⁿ

公比 r	lim rⁿ	行为
\|r\|<1	0	收敛
r=1	1	收敛
r=−1	不存在	振荡·发散
\|r\|>1	不存在	发散

🧭 边界是 r=1 与 r=−1

①分界点是 |r|=1

②收敛区间只有 −1<r≤1 这一条带

③r=−1 振荡，故不是收敛

④这种边界感是所有等比极限题的核心

一行写出收敛条件

等比数列 rⁿ 的收敛条件

lim_n→∞ rⁿ 收敛 ⇔ -1 < r ≤ 1

仅在此范围内极限存在(−1<r<1 时为 0，r=1 时为 1)

核心极限值

-1<r<1 ⇒ lim_n→∞ rⁿ = 0

绝对值小于 1 的公比经反复乘方便消失为 0

分式极限 — 除以最高次项

✏️ 分式极限 — 除以最高次项

当分子分母都含 rⁿ 时，除以 |r| 最大的项，制造趋于 0 的部分。

例题 1

当 r>1 时，求 lim_n→∞ rⁿ - 1rⁿ + 1。

分子分母同除以最大项 rⁿ。

rⁿ - 1rⁿ + 1 = 1 - (1/r)ⁿ1 + (1/r)ⁿ

r>1 则 1/r<1，故 (1/r)ⁿ→0。

→ 1 - 01 + 0 = 1

▸ 1

判断"谁增长更快"并除以该项，是分式极限的标准手法。

总结

等比数列极限小结

lim_n→∞ rⁿ = 0 (−1<r<1), 1 (r=1), 发散 (其他)

收敛于 −1<r≤1，其中只有 r=1 给出 1，其余为 0

2022 修能数学(微积分)第23题改编

lim_n→∞ 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ 的值为?

①0

②1

③2

④3

⑤发散

▸ ④ 3

除以最大的底 3ⁿ。

3·3ⁿ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ = 3 + (2/3)ⁿ1 - (2/3)ⁿ

(2/3)ⁿ→0，故极限为 3/1。

→ 3 + 01 - 0 = 3

🎯 考试要点

①lim rⁿ 仅在 −1<r≤1 收敛

②分式除以最大的底

③制造(小底/大底)ⁿ→0

④勿忘 r=−1 振荡即发散

⑤指数含 n 时先怀疑等比数列极限