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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 等比数列的极限

等比数列是把同一个数 r 一次又一次地乘下去得到的数列。 |r| 小于 1 时，每乘一次项就变小，逐渐接近 0；大于 1 时，每乘一次就变大，不会稳定在任何值上。 所以 lim rⁿ 是否存在只由公比 r 决定，分界线是 r = 1 和 r = −1。 拖动公比滑块，可以看到 n = 1 到 12 的点聚向 0、超出图的范围，或在 1 与 −1 之间来回交替。

rⁿ 的极限由 r 决定

0.7
👀 图中看到的四种情形
①|r| < 1 时，每乘一次绝对值就变小，项收敛到 0。r 为负数时，项在上下两侧交替，逐渐接近 0
②r = 1 时，每一项都是 1
③r = −1 时，项在 −1 和 1 之间交替，没有极限（振荡）
④|r| > 1 时，绝对值无限增大，数列发散。r = 1.5 时，r¹² 已经超过 129
⑤从上方的 r¹² 值还能看出，像 r = 0.9 这样接近 1 的公比，接近 0 的速度很慢

四种情况

rⁿ 的极限

公比 r 与 lim rⁿ
公比 rlim rⁿ收敛·发散
|r| < 10收敛
r = 11收敛
r = −1不存在发散（振荡）
|r| > 1不存在发散
🧭 分界线是 r = 1 和 r = −1
①分界是 |r| = 1
②收敛的范围是 −1 < r ≤ 1，包括右端 r = 1，不包括左端 r = −1
③r = −1 时，项的大小虽然一直是 1，值却不趋于同一个数，所以不收敛
④等比数列极限的题目，归根结底是在问公比落在这个范围的哪里

收敛条件

数列 {rⁿ} 收敛的条件
limn→∞ rn 收敛 ⇔ −1 < r ≤ 1
只有在这个范围内极限才存在：−1 < r < 1 时为 0，r = 1 时为 1
最常用的极限
−1 < r < 1 ⇒ limn→∞ rn = 0
绝对值小于 1 的数，乘方次数越高，就越接近 0

分式型极限：除以增长最快的项

✏️ 分式型极限：除以增长最快的项
分子和分母中混有 aⁿ 形式的项时，用底数绝对值最大的项同时除分子和分母。这样其余各项都变成（较小的底/较大的底）ⁿ 的形式，趋于 0。
例题 1
当 r>1 时，求 limn→∞ rn - 1rn + 1。
1
分子、分母同时除以增长最快的项 rⁿ。
rn - 1rn + 1 = 1 - (1/r)n1 + (1/r)n
2
r > 1 时 0 < 1/r < 1，所以 (1/r)ⁿ → 0。
→ 1 - 01 + 0 = 1
▸ 1
找出增长最快的项，再用它去除，这是分式型极限的基本方法。

小结

等比数列的极限
limn→∞ rn = 0 (−1 < r < 1)，1 (r = 1)，发散 (其他情况)
收敛范围是 −1 < r ≤ 1；其中只有 r = 1 时极限为 1，其余为 0
2022 韩国高考数学（微积分）第23题改编
limn→∞ 3n+1 + 2n3n - 2n 的值为?
①0
②1
③2
④3
⑤发散
▸ ④ 3
1
用底数最大的 3ⁿ 同时除分子和分母。
3·3n + 2n3n - 2n = 3 + (2/3)n1 - (2/3)n
2
因为 (2/3)ⁿ → 0，极限为 3/1 = 3。
→ 3 + 01 - 0 = 3
🎯 考试要点
①lim rⁿ 只在 −1 < r ≤ 1 时收敛
②分式型极限要除以底数绝对值最大的项
③除完以后用（较小的底/较大的底）ⁿ → 0
④r = −1 时振荡，属于发散
⑤指数里出现 n 时，先想到等比数列的极限
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