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小学六年级 (11-12岁)

小学数学 圆柱、圆锥、球

圆柱、圆锥和球都是有曲面的立体图形。 罐头盒是圆柱，生日帽是圆锥，足球是球，在身边很容易找到。 圆柱和圆锥的底面都是圆，等底等高时，圆锥的体积是圆柱的三分之一；球没有高，它的大小只由半径决定。 改变半径和高，可以依次比较三种图形的样子、圆柱和圆锥的展开图，以及三个体积。

认识有曲面的立体图形

🥫 身边有曲面的立体图形
①罐头盒是圆柱：上下两个底面是完全相同的圆，侧面是曲面
②生日帽是圆锥：底面是一个圆，侧面向上收拢成一个顶点
③足球是球：从哪个方向看都是圆，球面上的点到球心的距离都等于半径
④三种图形都可以由平面图形绕一条边旋转得到：长方形转成圆柱，直角三角形转成圆锥，半圆转成球
5
8

把它们展开

✂️ 剪开展平以后
①圆柱展开后，是两个底面圆和一个侧面长方形
②侧面长方形的长等于底面周长2πr，宽等于圆柱的高，所以图里半径变大，长方形就变长
③圆锥展开后，是一个底面圆和一个侧面扇形，扇形的弧长等于底面周长
④球不管怎样剪都不能展平，所以没有展开图

比较体积

↔️ 等底等高
上面选的半径和高，下面的体积图也直接使用。圆柱和圆锥等底等高，球用同样的半径。
💡 圆锥是圆柱的三分之一
①等底等高时，用圆锥装满水往圆柱里倒，倒三次正好倒满，所以圆锥的体积是圆柱的三分之一
②一开始半径5、高8，圆柱的体积是3.14 × 5² × 8 = 628，圆锥是它的三分之一，约209.3
③球的体积只由半径决定，半径同样是5时约为523.3
④改变高，只有圆柱和圆锥的直条变化，球的直条不变

总结

圆柱的体积
V = πr²h
底面积（πr²） × 高（h）
圆锥的体积
V = 13πr²h
是和它等底等高的圆柱体积的三分之一
球的体积
V = 43πr³
只由半径决定，没有单独的高
🎯 要点回顾
①圆柱：两个底面是完全相同的圆，体积V = πr²h
②圆锥：一个底面是圆，有一个顶点，体积是等底等高圆柱的三分之一
③球：球面上的点到球心的距离都相等，体积只由半径决定
④展开图：圆柱是两个圆和一个长方形，圆锥是一个圆和一个扇形
⑤用圆锥装水倒三次，正好倒满等底等高的圆柱

例题与单元评价

例题 1
一个圆柱的底面半径是3cm，高是10cm，求它的体积。（π取3.14）
1
圆柱的体积 = 底面积 × 高 = 3.14 × 3² × 10。
2
28.26 × 10 = 282.6，所以体积是282.6cm³。
▸ 282.6cm³
和长方体一样，圆柱的体积也是底面积乘高。
例题 2
一个圆柱的底面半径是5cm，把它的侧面展开是什么形状？长是多少厘米？（π取3.14）
1
圆柱的侧面展开是长方形，长等于底面周长。
2
底面周长 = 3.14 × 10 = 31.4，所以长是31.4cm。
▸ 长方形，宽31.4cm
第二幅图一开始半径就是5，圆柱展开图里长方形的长正好是这个长度。
单元评价类型
一个圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，它的体积是多少？（π取3.14）
①62.8cm³
②31.4cm³
③20cm³
④125.6cm³
▸ ① 62.8cm³
1
体积 = 底面积 × 高 = 3.14 × 2² × 5。
2
12.56 × 5 = 62.8，所以是62.8cm³。
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