小学数学 约数与倍数
一个数能被哪些数整除，这些数就是它的约数；一个数的1倍、2倍、3倍……都是它的倍数。
12的约数只有1、2、3、4、6、12这六个，而12的倍数12、24、36……可以一直写下去。
两个数公有的约数中最大的一个叫最大公约数，公有的倍数中最小的一个叫最小公倍数。
在下面选好两个数，两幅图就会依次显示它们公有的约数，以及它们的倍数第一次相遇的地方。
约数和倍数
约数和倍数常用来解决两类生活问题：平均分和对齐。把12颗糖和18块巧克力分别平均分给同样多的小朋友，都没有剩余，人数就必须同时整除12和18，也就是它们的公约数，最多能分给最大公约数6个小朋友。反过来，一路公交车每12分钟发一班，另一路每18分钟发一班，两路车刚刚同时发车，那么以后每到公倍数的时刻会再同时发车，最早一次是在最小公倍数36分钟以后。先判断题目是“平均分”还是“再相遇”，就知道该求约数还是倍数了。
🍰 能平均分，就是约数
①把12块蛋糕平均分给3个人，每人分到4块。12 ÷ 3 = 4没有余数，所以3是12的约数，12是3的倍数
②能整除12的数只有1、2、3、4、6、12，所以12有六个约数
③1和它本身一定是一个数的约数。像1 × 12、2 × 6、3 × 4这样一对一对地找，就不会漏掉
公约数与最大公约数
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用韦恩图表示12的约数和18的约数蓝色圆里是第一个数的约数，橙色圆里是第二个数的约数，两个圆重叠部分用绿色写着的数，就是两个数的公约数。一开始的12和18，左边只剩4和12，右边只剩9和18，中间是1、2、3、6。最下面写着其中最大的6，它就是最大公约数，也是能同时整除12和18的最大的数。1能整除任何数，所以总在中间；如果一个数是另一个数的约数，较小那个数的所有约数都会移到中间。
🔍 公约数和最大公约数
①两个数公有的约数叫做它们的公约数，在韦恩图里就是两圆重叠部分的数
②公约数中最大的一个叫做最大公约数
③公约数都是最大公约数的约数。12和18的公约数1、2、3、6，正好是6的约数
公倍数与最小公倍数
最常见的错误是把最大公约数和最小公倍数弄反。一个数的约数不会比它本身大，所以最大公约数不会比两个数中较小的数大；一个数的倍数不会比它本身小，所以最小公倍数不会比两个数中较大的数小。如果求12和18时，最大公约数得出36这种比18大的数，或者最小公倍数得出6这种比12小的数，就是弄反了。求完以后，再看看12 × 18 = 216是否等于最大公约数 × 最小公倍数，也就是6 × 36 = 216，连计算错误也能一起检查出来。
↔️ 用这两个数看倍数
上面选的两个数，下面的数轴也直接使用。上面一行是第一个数的倍数，下面一行是第二个数的倍数，刻度相同，两行第一次出现相同数值的地方用绿色虚线连起来。
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在同样刻度的数轴上表示12的倍数和18的倍数🎯 公倍数和最小公倍数
①两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数
②数轴上两行第一次出现相同数值的绿点就是最小公倍数，12和18的最小公倍数是36
③公倍数都是最小公倍数的倍数，所以依次是36、72、108……
④两个数的积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积：12 × 18 = 216 = 6 × 36
总结
约数和倍数的关系
如果A × n = B，那么A是B的约数，B是A的倍数
3 × 4 = 12，所以3和4都是12的约数，12既是3的倍数，也是4的倍数
最大公约数和最小公倍数的关系
A × B = 最大公约数 × 最小公倍数
12 × 18 = 216，6 × 36 = 216
🎯 要点回顾
①约数：能整除这个数的数，个数是有限的
②倍数：这个数的1倍、2倍、3倍……个数是无限的
③最大公约数：公约数中最大的一个
④最小公倍数：公倍数中最小的一个
⑤两个数的积 = 最大公约数 × 最小公倍数
例题与单元测试
例题 1
找出12的所有约数。
1找出积是12的两个数：1 × 12、2 × 6、3 × 4。
▸ 1, 2, 3, 4, 6, 12
3 × 4之后，下一对会从已经出现过的4开始，所以可以停下来了。
例题 2
求12和18的最大公约数。
112的约数有1、2、3、4、6、12，18的约数有1、2、3、6、9、18。
▸ 6
第一幅图一开始就是这道题：中间是1、2、3、6，最下面写着最大公约数6。
单元测试
4和6的最小公倍数是多少？
▸ ② 12
14的倍数有4、8、12、16……6的倍数有6、12、18……
2两组中第一次共同出现的数是12，所以最小公倍数是12。
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