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고등학교 2~3학년 (16-18세)

물리학II 특수 상대성 이론

Special Relativity

특수 상대성 이론은 모든 관성계에서 물리 법칙이 같다는 것과, 빛의 속력은 어느 관측자에게나 c 로 같다는 두 가정에서 출발해요. 이 두 가정만으로 움직이는 시계가 느리게 가는 시간 팽창, 움직이는 물체가 짧아지는 길이 수축, 질량이 곧 에너지라는 E = mc² 이 이끌려 나와요. 이 효과들은 속력이 광속에 가까워질수록 커지고, 일상의 속력에서는 거의 드러나지 않아요. 그림에서 속력 비 v/c 를 바꾸면 시계 두 개와 막대 두 개가 함께 바뀌는데, 둘 다 같은 로렌츠 인수 γ 로 정해져요.

아인슈타인의 두 가정

💡 왜 특수 상대성 이론이 필요했을까
①19 세기 말 마이컬슨과 몰리의 실험에서, 관측자가 움직여도 빛의 속력은 달라지지 않았다
②이 결과는 속도를 그대로 더하는 갈릴레이의 속도 덧셈과 맞지 않았고, 아인슈타인이 새 이론을 내놓았다
③가정 1(상대성 원리): 모든 관성계에서 물리 법칙은 같다
④가정 2(광속 불변): 빛의 속력은 관측자와 관계없이 언제나 c 다
⑤이 두 가정에서 시간 팽창, 길이 수축, E = mc² 이 모두 이끌려 나온다

시간 팽창: 움직이는 시계는 느리게 간다

0.60
로렌츠 인수
γ = 1√(1 - v²/c²)
v 가 c 에 가까워질수록 γ 는 한없이 커진다
시간 팽창
Δt = γΔt₀
정지한 관측자가 재는 시간 Δt 는 움직이는 시계의 고유 시간 Δt₀ 의 γ 배다
🔬 뮤온의 수명: 실제 증거
①뮤온은 우주에서 날아오는 고에너지 입자가 대기 위쪽에서 만들어 내는 입자다
②뮤온의 수명은 약 2.2 μs 라서, 빛의 속력으로 달려도 약 660 m 밖에 가지 못한다
③그런데 약 10 km 높이에서 만들어진 뮤온이 지표면에서 관측된다
④뮤온이 0.998c 로 날아오므로 γ ≈ 15.8 이기 때문이다
⑤뮤온의 고유 수명 2.2 μs 가 지구에서는 약 34.8 μs 로 늘어나, 약 10 km 를 날아올 수 있다

길이 수축: 운동 방향으로 짧아진다

길이 수축
L = L₀γ
움직이는 물체는 운동 방향으로만 고유 길이의 1/γ 로 짧아진다
📐 시간 팽창과 길이 수축은 한 쌍이다
①Δt₀ 는 고유 시간으로, 사건과 함께 움직이는 시계로 잰 시간이다
②L₀ 는 고유 길이로, 물체와 함께 정지한 상태에서 잰 길이다
③같은 γ 로 시간은 늘어나고 길이는 줄어드는데, 이는 같은 현상을 두 방향에서 본 것이다
④v 가 c 보다 훨씬 작으면 γ ≈ 1 이라 일상에서는 차이를 느낄 수 없다

질량-에너지 등가 E = mc²

질량-에너지 등가
E₀ = mc²
정지한 질량 m 은 그 자체로 mc² 의 에너지를 가진다
상대론적 전체 에너지
E = γmc²
운동 에너지까지 더한 전체 에너지는 γmc² 이다
상대론적 운동에너지
Ek = (γ - 1)mc²
전체 에너지 − 정지 에너지 = 운동 에너지
💣 1 g 이 가진 에너지
①질량 1 g 의 정지 에너지는 E = mc² = 0.001 × (3 × 10⁸)² = 9 × 10¹³ J 이다
②이는 100 W 전구를 약 28,000 년 동안 켤 수 있는 양이다
③태양은 매초 약 400 만 톤의 질량을 빛과 열의 에너지로 바꾼다
④핵분열과 핵융합은 질량의 일부가 에너지로 바뀌는 반응이다
⑤그래서 질량 보존보다 질량과 에너지를 함께 센 보존이 더 정확한 법칙이다

예제로 익히기

예제 1
0.6c로 운동하는 우주선에서 고유 시간 4초가 흐를 때, 정지한 지구 관측자가 측정하는 시간은? (γ = 1.25)
1
시간 팽창 식 Δt = γΔt₀ 를 쓴다.
Δt = γΔt₀
2
γ = 1.25, Δt₀ = 4 초를 넣는다.
Δt = 1.25 × 4 = 5초
▸ 5초
우주선 안에서 4 초가 지나는 동안 지구에서는 5 초가 지난다. 고유 시간 Δt₀ 는 사건과 함께 움직이는 시계로 잰 시간이라는 점부터 가려야 한다.
예제 2
정지 길이 100 m인 우주선이 0.8c로 운동할 때, 지구 관측자가 측정하는 길이는? (γ = 5/3)
1
길이 수축 식 L = L₀/γ 를 쓴다.
L = L₀γ
2
L₀ = 100 m, γ = 5/3 을 넣는다.
L = 1005/3 = 100 × 0.6 = 60 m
▸ 60 m
1/γ = 0.6 이므로 길이는 고유 길이의 60% 로 줄고, 줄어드는 것은 운동 방향의 길이뿐이다.

정리

시간 팽창
Δt = γΔt₀
움직이는 시계가 느리게 간다
길이 수축
L = L₀γ
움직이는 막대가 짧아진다
질량-에너지
E = mc²
질량 자체가 에너지다
수능 유형 변형
정지 질량 2 g인 물질이 모두 에너지로 변환될 때 방출되는 에너지는? (c = 3×10⁸ m/s)
①9×10¹³ J
②1.8×10¹⁴ J
③6×10⁸ J
④1.8×10¹¹ J
⑤3.6×10¹⁴ J
▸ ② 1.8×10¹⁴ J
1
질량-에너지 등가 E = mc² 을 쓰되, 질량은 SI 단위로 바꿔 m = 0.002 kg 으로 넣는다.
E = mc2
2
m = 0.002 kg, c = 3 × 10⁸ m/s 를 넣는다.
E = 0.002 × (3×108)2 = 1.8×1014 J
🎯 시험 포인트
①γ = 1/√(1 − v²/c²) 는 v 가 c 에 가까울수록 급격히 커진다
②시간 팽창: Δt = γΔt₀ (움직이는 시계가 느리게 간다)
③길이 수축: L = L₀/γ (운동 방향으로만 줄어든다)
④정지 에너지 E₀ = mc² 은 질량이 곧 에너지라는 뜻이다
⑤지표면까지 내려오는 뮤온은 시간 팽창의 대표적인 증거다
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