삼각비

Trigonometric Ratios

삼각비는 직각삼각형에서 두 변의 길이가 이루는 비율로, 각도 하나만 정해지면 sin, cos, tan 값이 딱 정해져요. 이 성질 덕분에 직접 올라가지 않고도 건물이나 나무, 산의 높이를 잴 수 있어요. 멀리서 거리와 올려다본 각도만 재면 높이 = 거리 × tan(각도) 라는 식으로 손쉽게 구할 수 있거든요. 각도 슬라이더와 특수각 슬라이더는 서로 다른 축이고, 높이 = 거리 × tan(각도) 의 50m, 30° 계산은 아래 글 상자예요.

삼각비란?: 직각삼각형의 변의 비

각도 θ30°

📐 삼각비의 정의

①sin θ = 높이 / 빗변 (대변/빗변)

②cos θ = 밑변 / 빗변 (인접변/빗변)

③tan θ = 높이 / 밑변 (대변/인접변)

④빗변이 1이면: sin=높이, cos=밑변

특수각의 삼각비 (30°, 45°, 60°)

특수각45°

⭐ 특수각 암기법

①30°: sin=1/2, cos=√3/2, tan=√3/3

②45°: sin=cos=√2/2, tan=1

③60°: sin=√3/2, cos=1/2, tan=√3

④30°↔60°: sin과 cos이 서로 바뀜!

삼각비의 핵심 관계

삼각비 관계식

tan θ = sin θcos θ

tan은 sin/cos

피타고라스 항등식

sin²θ + cos²θ = 1

빗변이 1인 직각삼각형의 피타고라스 정리

💡 관계식 활용

①sin θ를 알면 cos θ = √(1−sin²θ)

②하나만 알아도 나머지를 모두 구할 수 있음

③0° < θ < 90°에서 sin, cos, tan 모두 양수

삼각비의 활용: 높이와 거리

높이 구하기

높이 h = d × tan θ

거리 d와 올려다본 각 θ로 높이 계산

🏢 실생활 예시

①건물 높이: 거리 50m, 올려다본 각 30° → h = 50×tan30° ≈ 28.9m

②나무 높이, 산의 높이, 탑의 높이 모두 같은 원리

③내려다본 각(부각)도 같은 방법으로 풀이

직접 풀어보기

예제 1

sin 30°의 값을 구하시오.

특수각 30°의 삼각비표를 떠올린다.

30° → sin=1/2

따라서 sin30° = 1/2이다.

sin30° = 1/2

▸ 1/2

특수각(30°, 45°, 60°)의 값은 암기해 둔다.

예제 2

직각삼각형에서 sin A = 3/5이고 빗변의 길이가 10일 때, 각 A의 대변의 길이를 구하시오.

sin A = (대변)/(빗변)이므로 대변 = 빗변 × sin A.

sin A = 대변/빗변

대변 = 10 × (3/5) = 6.

대변 = 10 × 3/5 = 6

▸ 6

sin = 대변/빗변에서 대변 = 빗변 × sin이다.

시험 포인트 정리

삼각비 총정리

sin = 대변빗변, cos = 인접변빗변, tan = 대변인접변

sin은 높이/빗변, cos은 밑변/빗변, tan은 높이/밑변으로 외워요

중3 내신 유형

tan 60°의 값은?

①√3/3

②1/2

③√2

④√3

⑤2

▸ ④ √3

특수각 60°의 삼각비표를 본다.

60° → tan=√3

따라서 tan60° = √3이다.

tan60° = √3

🎯 시험 포인트

①특수각 삼각비 표 반드시 암기

②sin²θ+cos²θ=1로 나머지 삼각비 구하기

③tan = sin/cos 관계 활용

④높이·거리 문제: 어떤 삼각비를 쓸지 판단

⑤예각(0°~90°)에서만 다룸 (둔각은 고등)