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중학교 3학년 (14-15세)

삼각비

Trigonometric Ratios

삼각비는 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비로, 한 예각의 크기가 정해지면 삼각형의 크기와 상관없이 sin, cos, tan의 값이 하나로 정해져요. 크기가 다른 직각삼각형이라도 한 예각이 같으면 서로 닮음이라 변의 비가 같기 때문이에요. 이 성질 덕분에 건물이나 나무에 직접 올라가지 않고도, 떨어진 거리와 올려다본 각만 재어 높이를 계산할 수 있어요. 그림에서는 빗변을 1로 둔 직각삼각형을 그려서, 각 θ를 바꿀 때 높이가 sin θ, 밑변이 cos θ로 함께 바뀌는 모습을 볼 수 있어요.

직각삼각형의 변의 비

30°
📐 삼각비의 정의
①sin θ = (높이) ÷ (빗변)이다. 각 θ와 마주 보는 변을 빗변으로 나눈 값이다.
②cos θ = (밑변) ÷ (빗변)이다. 각 θ에 이웃한 변을 빗변으로 나눈 값이다.
③tan θ = (높이) ÷ (밑변)이다.
④빗변이 1이면 높이가 그대로 sin θ, 밑변이 그대로 cos θ가 된다. 그림이 바로 이 경우다.

특수한 각의 삼각비 (30°, 45°, 60°)

45°
⭐ 특수한 각의 값
①30°에서 sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3이다.
②45°에서 sin = cos = √2/2, tan = 1이다.
③60°에서 sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3이다.
④30°와 60°는 sin과 cos의 값이 서로 맞바뀐다. 두 각의 합이 90°라서 한 각의 높이가 다른 각의 밑변이 되기 때문이다.

삼각비 사이의 관계

tan와 sin, cos의 관계
tan θ = sin θcos θ
tan θ는 sin θ를 cos θ로 나눈 값이다.
피타고라스 정리에서 나온 관계
sin²θ + cos²θ = 1
빗변이 1인 직각삼각형에 피타고라스 정리를 쓴 것이다.
💡 관계식 활용
①sin θ를 알면 cos θ = √(1 − sin²θ)로 구한다.
②한 삼각비만 알아도 나머지 둘을 모두 구할 수 있다.
③0° < θ < 90°에서는 sin, cos, tan가 모두 양수다.
④그림 오른쪽의 sin² + cos²은 각을 어떻게 바꿔도 1이다.

높이와 거리 구하기

높이 구하기
높이 h = d × tan θ
떨어진 거리 d와 올려다본 각 θ로 높이를 계산한다.
🏢 생활 속 예
①건물에서 50 m 떨어진 곳에서 꼭대기를 올려다본 각이 30°이면 h = 50 × tan 30° ≈ 28.9 m다.
②나무, 탑, 산의 높이도 같은 방법으로 구한다.
③눈높이가 있으면 계산한 높이에 눈높이를 더한다.
④내려다본 각도 같은 방법으로 직각삼각형을 만들어 푼다.

예제로 확인하기

예제 1
sin 30°의 값을 구하시오.
1
30°는 특수한 각이므로 값을 떠올린다.
30° → sin=1/2
2
높이가 빗변의 절반인 직각삼각형이므로 sin 30° = 1/2이다.
sin30° = 1/2
▸ 1/2
30°, 45°, 60°의 값은 정삼각형과 직각이등변삼각형에서 바로 끌어낼 수 있다.
예제 2
직각삼각형에서 sin A = 3/5이고 빗변의 길이가 10일 때, 각 A의 대변의 길이를 구하시오.
1
sin A = (대변) ÷ (빗변)이므로 대변 = 빗변 × sin A이다.
sin A = 대변/빗변
2
10 × 3/5 = 6이다.
대변 = 10 × 3/5 = 6
▸ 6
sin의 정의를 거꾸로 쓰면 빗변과 각에서 대변의 길이가 나온다.

시험 포인트 정리

삼각비의 정의
sin = 대변빗변, cos = 인접변빗변, tan = 대변인접변
높이와 밑변을 각 θ를 기준으로 읽는다. 각이 바뀌면 높이와 밑변도 바뀐다.
중3 내신 유형
tan 60°의 값은?
①√3/3
②1/2
③√2
④√3
⑤2
▸ ④ √3
1
특수각 60°의 삼각비표를 본다.
60° → tan=√3
2
따라서 tan60° = √3이다.
tan60° = √3
🎯 시험 포인트
①30°, 45°, 60°의 삼각비 값을 정확히 기억한다.
②sin²θ + cos²θ = 1로 나머지 삼각비를 구한다.
③tan θ = sin θ ÷ cos θ를 활용한다.
④높이와 거리 문제에서는 주어진 변과 구할 변을 보고 어떤 삼각비를 쓸지 정한다.
⑤중학교에서는 0°부터 90°까지의 각만 다룬다.
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