원과 직선이 만나는 방법은 세 가지뿐이고, 어느 쪽인지는 원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r을 비교하면 정해져요.
d가 r보다 짧으면 직선이 원을 두 점에서 꿰뚫고, d = r이면 한 점에서 스치듯 닿고, d가 r보다 길면 만나지 않아요.
원에 한 점에서 닿는 직선, 곧 접선은 접점에서 반지름과 늘 수직이라서, 반지름과 접선과 중심까지의 선분이 직각삼각형을 만들어요.
그 직각삼각형 덕분에 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 것과, 그 길이를 피타고라스 정리로 구하는 방법이 함께 나와요.
원과 직선의 위치 관계
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중심에서 직선까지의 거리 d를 바꿀 때 반지름 r = 80인 원과 직선이 만나는 모습과 현의 길이
80
📏 d와 r로 가르기
①d < r이면 직선이 원과 두 점에서 만난다. 이런 직선을 할선이라 하고, 두 교점 사이의 선분이 현이다.
②d = r이면 한 점에서 만나는 접선이 된다.
③d > r이면 만나지 않는다.
④할선일 때 현의 길이는 2√(r² − d²)이다. 그림의 반지름은 80이라 d를 80에 맞추면 접선이 되고, d를 0으로 두면 현이 지름 160이 된다.
접선의 성질
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원 밖의 점 P에서 그은 두 접선과 접점 A, B, 반지름과 이루는 직각
140
✨ 접선의 두 가지 성질
①접선은 접점에서 반지름과 수직이다(OA ⊥ PA).
②그래서 △OAP와 △OBP는 빗변 OP를 함께 쓰고 OA = OB인 직각삼각형이어서 합동이고, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다(PA = PB).
③접선의 길이는 피타고라스 정리로 √(OP² − r²)이다. 그림에서 OP를 늘리면 두 접선이 함께 길어지고 늘 같은 값을 가진다.
현의 수직이등분선
현의 성질
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다
거꾸로 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.
현의 길이
현의 길이 = 2√(r² − d²)
d는 원의 중심에서 현까지의 거리다.
💡 현에 관한 정리
①원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현은 길이가 같고, 거꾸로 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있다.
②중심에 가까운 현일수록 길다.
③가장 긴 현은 중심을 지나는 지름이다(d = 0).
접선과 현이 이루는 각
접선과 현이 이루는 각
접선과 현이 이루는 각 = 그 각 안에 있는 호에 대한 원주각
다음 단원의 원주각과 이어지는 성질이다.
📐 이 성질을 쓰는 법
①원의 접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각은, 그 각의 안쪽에 있는 호에 대한 원주각과 크기가 같다.
②그래서 접선 쪽의 각을 원 안쪽의 원주각으로 옮겨 계산할 수 있다.
③각을 옮길 때는 같은 호를 바라보는 각인지 반드시 확인한다.
예제로 확인하기
예제 1
반지름이 5인 원에서 중심으로부터 거리가 3인 현의 길이를 구하시오.
1
중심에서 현에 내린 수선이 현을 이등분하므로, 반지름 5와 거리 3과 현의 절반이 직각삼각형을 이룬다.
현 = 2√(5²−3²)
2
현의 절반이 4이므로 현의 길이는 그 두 배다.
= 2√16 = 8
▸ 8
중심에서 현에 수선을 내리면 직각삼각형이 생기고, 피타고라스 정리로 현의 길이를 구한다.
예제 2
원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선의 길이를 구하시오. (OP=13, 반지름 r=5)
1
접선과 반지름이 수직이므로 OP를 빗변으로 하는 직각삼각형을 쓴다.
접선 = √(13²−5²)
2
13² − 5² = 169 − 25 = 144의 제곱근을 구한다.
= √144 = 12
▸ 12
접선의 길이는 √(OP² − r²)이다.
시험 포인트 정리
원과 직선의 핵심
접선 ⊥ 반지름 · PA = PB · 현의 길이 = 2√(r² − d²)
세 성질 모두 직각삼각형과 피타고라스 정리로 이어진다.
중3 내신 유형
원 밖의 점 P에서 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. ∠APB=50°일 때, ∠AOB의 크기는? (O는 원의 중심)
①110°
②120°
③130°
④140°
⑤150°
▸ ③ 130°
1
접선은 접점에서 반지름과 수직이므로 ∠OAP = ∠OBP = 90°이다.
∠OAP = ∠OBP = 90°
2
사각형 PAOB의 내각의 합 360°에서 나머지 세 각을 뺀다.
∠AOB = 360−90−90−50 = 130°
🎯 시험 포인트
①접선과 반지름이 수직이라는 데서 직각삼각형을 찾고 피타고라스 정리를 쓴다.
②원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다(PA = PB).
③현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.
④원 밖의 점에서 그은 두 접선이 이루는 각과 두 반지름이 이루는 중심각의 합은 180°이다.