원과 직선이 만나는 방법은 딱 세 가지예요.
원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 짧으면 두 점에서 뚫고 지나가고(할선), 딱 같으면 한 점에서 살짝 스치고(접선), 더 멀면 만나지 않아요.
접선은 접점에서 반지름과 항상 수직이고, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 신기하게도 똑같아요.
이 페이지에서는 거리 슬라이더를 움직여 할선이 접선으로, 다시 만나지 않는 상태로 바뀌는 순간을 직접 확인해 봐요.
원과 직선의 위치 관계
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중심에서 직선까지의 거리(d)와 반지름(r)의 관계
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📏 위치 관계 판별
①d < r → 두 점에서 만남 (할선)
②d = r → 한 점에서 만남 (접선)
③d > r → 만나지 않음
④현의 길이 = 2√(r²−d²)
접선의 성질
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외부 점에서 원에 그은 두 접선의 길이가 같음
20°
✨ 접선의 핵심 성질
①접선은 접점에서 반지름과 수직 (OT ⊥ PT)
②외부 한 점에서 두 접선의 길이가 같음 (PA = PB)
③접선의 길이 = √(OP²−r²) (피타고라스)
현의 수직이등분선
현의 성질
원의 중심에서 현에 내린 수선 → 현을 이등분
중심에서 수선 = 현의 수직이등분선
현의 길이
현의 길이 = 2√(r² − d²)
d = 중심에서 현까지의 거리
💡 현에 관한 정리
①중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다
②긴 현은 중심에 더 가깝다
③가장 긴 현 = 지름 (d = 0일 때)
접선과 현이 이루는 각
접선-현 각도
접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 원주각
접선각의 정리 (접선과 현의 끼인각)
📐 접선각의 활용
①접선과 현이 이루는 각은 원주각과 같다
②이 성질로 각도를 구하는 문제 자주 출제
③접선 위의 각 = 반대쪽 호에 대한 원주각
직접 풀어보기
예제 1
반지름이 5인 원에서 중심으로부터 거리가 3인 현의 길이를 구하시오.
1
현의 길이 = 2√(r²−d²)이고, r=5, d=3이다.
현 = 2√(5²−3²)
2
= 2√16 = 2·4 = 8이다.
= 2√16 = 8
▸ 8
중심에서 현에 내린 수선이 현을 이등분 → 직각삼각형 + 피타고라스.
예제 2
원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선의 길이를 구하시오. (OP=13, 반지름 r=5)
1
접선의 길이 = √(OP²−r²)이고, OP=13, r=5이다.
접선 = √(13²−5²)
2
= √(169−25) = √144 = 12이다.
= √144 = 12
▸ 12
접선 ⊥ 반지름이므로 직각삼각형 → 피타고라스.
시험 포인트 정리
원과 직선 핵심
접선 ⊥ 반지름, PA=PB, 현의 길이=2√(r²−d²)
세 가지 핵심 성질 암기
중3 내신 유형
원 밖의 점 P에서 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. ∠APB=50°일 때, ∠AOB의 크기는? (O는 원의 중심)
①110°
②120°
③130°
④140°
⑤150°
▸ ③ 130°
1
접선 ⊥ 반지름이므로 ∠OAP=∠OBP=90°이다.
∠OAP = ∠OBP = 90°
2
사각형 PAOB의 내각의 합 360°에서 ∠AOB = 360−90−90−50 = 130°.