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중학교 3학년 (14-15세)

원주각

Inscribed Angle

원 위의 한 점 P에서 원 위의 두 점 A, B를 바라볼 때 생기는 각 ∠APB를 호 AB에 대한 원주각이라고 해요. 원주각의 크기는 같은 호에 대한 중심각 ∠AOB의 꼭 절반이고, 점 P를 같은 호 쪽 어디로 옮겨도 변하지 않아요. 그래서 지름을 바라보는 원주각은 중심각 180°의 절반인 90°가 되고, 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각은 합이 180°가 돼요. 첫 그림에서 점 P를 원 위로 옮겨 보면, 선분이 기울어지는 모습은 달라져도 P에 표시된 각의 크기는 그대로예요.

중심각과 원주각

80
30
👀 원주각과 중심각의 관계
①한 호에 대한 원주각은 그 호에 대한 중심각의 절반이다.
②거꾸로 중심각은 원주각의 2배다.
③점 P가 같은 쪽 호 위에 있는 한, P를 어디로 옮겨도 원주각은 같다. 그림에서 중심각을 80°로 두면 P를 움직여도 원주각은 늘 40°다.

같은 호에 대한 원주각은 모두 같다

100
🔑 원주각의 성질
①한 원에서 같은 호(또는 길이가 같은 호)에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
②반원, 곧 지름에 대한 원주각은 90°다.
③호의 크기를 바꾸면 세 점의 원주각이 함께 바뀌고, 셋은 늘 같은 값을 가진다.

지름에 대한 원주각

반원에 대한 원주각
지름 AB에 대한 원주각 ∠APB = 90°
지름에 대한 중심각은 180°이므로 원주각은 그 절반인 90°다.
📐 지름과 직각
①원 위의 점에서 지름의 양 끝을 이으면 그 점의 각은 늘 직각이다.
②거꾸로 원주각이 90°이면 그 각이 바라보는 현은 지름이다.
③그래서 직각삼각형의 빗변은 그 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원의 지름이 된다.

원에 내접하는 사각형

내접 사각형의 성질
마주 보는 두 각의 합 = 180°
두 각이 바라보는 호를 합치면 원 한 바퀴(중심각 360°)가 되기 때문이다.
외각의 성질
한 외각 = 그와 이웃한 내각의 대각
한 꼭짓점의 외각은 그 꼭짓점과 마주 보는 내각과 크기가 같다.
💡 내접 사각형 활용
①원에 내접하는 사각형 ABCD에서 ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°다.
②거꾸로 마주 보는 두 각의 합이 180°인 사각형은 원에 내접한다.
③한 선분을 같은 쪽에서 바라보는 두 각의 크기가 같으면, 그 네 점은 한 원 위에 있다.

예제로 확인하기

예제 1
한 호에 대한 중심각이 100°일 때, 같은 호에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
1
원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반이다.
원주각 = 중심각 ÷ 2
2
중심각 100°를 2로 나눈다.
= 100° ÷ 2 = 50°
▸ 50°
같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반이다.
예제 2
반원의 지름 AB와 원 위의 점 P에 대하여 ∠APB의 크기를 구하시오.
1
지름 AB에 대한 중심각은 180°다.
중심각 = 180°
2
원주각은 그 절반이다.
∠APB = 180° ÷ 2 = 90°
▸ 90°
지름에 대한 원주각은 언제나 90°다.

시험 포인트 정리

원주각의 핵심
원주각 = 중심각 ÷ 2 · 같은 호 → 같은 원주각 · 지름 → 90°
원주각 문제는 대부분 이 세 성질 가운데 하나로 풀린다.
중3 내신 유형
한 호에 대한 원주각의 크기가 35°일 때, 같은 호에 대한 중심각의 크기는?
①17.5°
②35°
③55°
④70°
⑤145°
▸ ④ 70°
1
중심각은 원주각의 2배이다.
중심각 = 원주각 × 2
2
= 35° × 2 = 70°.
= 35° × 2 = 70°
🎯 시험 포인트
①원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반이다.
②같은 호에 대한 원주각은 점의 위치와 상관없이 같다.
③지름에 대한 원주각은 90°다.
④원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각의 합은 180°다.
⑤보조선으로 지름을 그어 직각을 만들면 풀리는 문제가 많다.
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