원주각

Inscribed Angle

원 위의 한 점에서 두 점을 바라보면 그 사이에 원주각이 생겨요. 같은 호를 바라보는 원주각은 어디에서 보든 크기가 같고, 그 호에 대한 중심각의 딱 절반이 돼요. 지름을 바라보는 원주각은 언제나 90°라서, 원에 내접하는 직각삼각형을 바로 찾을 수 있어요. 원 위의 점과 호의 크기를 바꾸면 원주각이 왜 그대로인지 보여요.

중심각과 원주각의 관계

중심각 (°)80

점 P 위치 (원 위 매개변수, 도가 아님)30

👀 핵심 관계

①같은 호에 대한 원주각 = 중심각의 절반

②중심각 = 원주각 × 2

③점 P가 어디 있든 원주각은 같다! (같은 호 위). 기본 중심각은 80°이고 원주각은 40°예요. 점 P 위치 30은 각이 아니라 원 위 눈금이에요. 내접 사각형은 아래 글 상자예요

같은 호에 대한 원주각은 모두 같다

호의 크기 (°)100

🔑 원주각의 성질

①같은 호(또는 같은 현)에 대한 원주각은 모두 같다

②반원에 대한 원주각 = 90° (지름에 대한 원주각)

③이것이 원주각의 가장 강력한 성질!

반원에 대한 원주각

반원의 원주각

지름 AB에 대한 원주각 ∠APB = 90°

지름에 대한 원주각은 항상 직각

📐 반원 원주각 활용

①지름에 대한 원주각 = 90° (탈레스 정리)

②역으로: 원주각이 90°이면 그 현은 지름

③직각삼각형의 빗변 = 외접원의 지름

원에 내접하는 사각형

내접 사각형 성질

대각의 합 = 180°

원에 내접하는 사각형의 마주보는 각의 합

외각 성질

외각 = 내대각

한 꼭짓점의 외각 = 맞은편 내각

💡 내접 사각형 활용

①∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°

②역으로: 대각의 합이 180°이면 원에 내접

③한 변에 대한 양쪽 원주각이 같으면 공원점(같은 원 위)

직접 풀어보기

예제 1

한 호에 대한 중심각이 100°일 때, 같은 호에 대한 원주각의 크기를 구하시오.

원주각은 중심각의 절반이다.

원주각 = 중심각 ÷ 2

= 100° ÷ 2 = 50°.

= 100° ÷ 2 = 50°

▸ 50°

같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반이다.

예제 2

반원의 지름 AB와 원 위의 점 P에 대하여 ∠APB의 크기를 구하시오.

지름에 대한 원주각은 중심각이 180°인 경우이다.

중심각 = 180°

원주각 = 180° ÷ 2 = 90°.

∠APB = 180° ÷ 2 = 90°

▸ 90°

지름에 대한 원주각은 항상 90°이다 (탈레스 정리).

시험 포인트 정리

원주각 핵심

원주각 = 중심각/2, 같은 호→같은 원주각, 지름→90°

원주각의 3대 성질

중3 내신 유형

한 호에 대한 원주각의 크기가 35°일 때, 같은 호에 대한 중심각의 크기는?

①17.5°

②35°

③55°

④70°

⑤145°

▸ ④ 70°

중심각은 원주각의 2배이다.

중심각 = 원주각 × 2

= 35° × 2 = 70°.

= 35° × 2 = 70°

🎯 시험 포인트

①원주각 = 중심각 ÷ 2 (가장 기본)

②같은 호에 대한 원주각은 위치에 무관하게 같음

③지름에 대한 원주각 = 90°

④원에 내접하는 사각형의 대각의 합 = 180°

⑤보조선으로 지름 그어서 직각 만들기 전략