대푯값과 산포도

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

시험을 보면 30명의 점수가 우르르 쏟아지는데, 이 많은 숫자를 하나로 줄인 값이 대푯값이에요. 가장 흔한 평균 말고도, 크기순으로 줄 세웠을 때 한가운데 오는 중앙값과 가장 자주 나오는 최빈값이 있어서 상황에 맞게 골라 써요. 자료가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 게 산포도인데, 편차를 제곱해 평균 낸 분산과 거기에 루트를 씌운 표준편차로 재요. 퍼짐 정도와 이상값을 바꾸면, 이상값이 평균은 크게 흔들어도 중앙값은 거의 그대로인 이유가 보여요.

직관 도입 -- 자료를 한 숫자로 요약하면?

퍼짐 정도1.5

👀 대푯값이 왜 필요할까?

①시험을 보면 30명의 점수가 나온다

②30개 숫자를 다 외울 수 없다

③딱 하나의 숫자로 요약 → 이것이 대푯값

④평균, 중앙값, 최빈값 -- 어떤 상황에서 뭘 쓸까? 첫 그림은 20점이고 기준은 70이에요. 퍼짐 눈금 1.5는 상대 배율이지 표본 표준편차가 아니에요. 5명 카드 60, 70, 70, 80, 100은 다른 집합이에요. 분산 공식은 모분산(/n)이에요

대푯값 3가지

평균 (mean)

x̄ = x₁ + x₂ + ... + x_nn

모든 값을 더해서 개수로 나눈 것. 가장 많이 쓰는 대푯값

중앙값 (median)

자료를 크기순으로 정렬 → 중앙 위치의 값

n이 짝수면 가운데 두 수의 평균. 극단값에 영향을 덜 받는다

최빈값 (mode)

가장 많이 나타나는 값

여러 개일 수 있다. 범주형 자료(색깔, 성별)에 적합

💡 구체적 예시

①5명의 점수: 60, 70, 70, 80, 100

②평균 = (60+70+70+80+100)/5 = 76

③중앙값 = 3번째 값 = 70 (크기순 정렬 후 가운데)

④최빈값 = 70 (두 번 나와서 가장 많다)

⑤평균(76)과 중앙값(70)이 다르다 -- 100점이 평균을 끌어올렸다!

이상값과 대푯값의 선택

5번째 학생 점수80

⚠️ 이상값이 있을 때

①극단적으로 크거나 작은 값 = 이상값(outlier)

②이상값이 있으면 평균이 크게 왜곡된다

③하지만 중앙값은 거의 변하지 않는다

④예: 연봉 평균이 높아도 몇 명의 고연봉 때문 → 연봉 중앙값이 더 현실적

⑤시험에서: '극단값 있을 때 적절한 대푯값은?' → 중앙값!

산포도 -- 편차, 분산, 표준편차

편차

편차 = (변량) - (평균)

각 값이 평균에서 얼마나 떨어져 있는가. 편차의 합은 항상 0!

분산

V = (편차)²₁ + (편차)²₂ + ... + (편차)²_nn

편차의 제곱의 평균. 제곱하는 이유: 편차의 합이 0이라 그대로 평균 내면 0이 된다

표준편차

σ = √V = √(분산)

분산에 루트를 씌워 원래 단위로 돌려놓은 것

🔍 왜 제곱을 할까?

①편차를 다 더하면 + 와 -가 상쇄되어 항상 0

②그래서 제곱해서 모두 양수로 만든 뒤 평균을 구한다

③이것이 분산(V)

④분산은 단위가 (점수)²이라 해석이 어려움

⑤루트를 씌워 원래 단위(점수)로 돌린 것이 표준편차

직접 풀어보기

예제 1

자료 1, 3, 5, 7, 9의 중앙값을 구하시오.

자료를 크기순으로 나열한다 (이미 정렬됨).

1, 3, 5, 7, 9

자료가 5개(홀수)이므로 가운데인 3번째 값이 중앙값이다.

중앙값 = 5

▸ 5

자료 수가 홀수면 가운데 값, 짝수면 가운데 두 값의 평균이다.

예제 2

자료 1, 3, 5의 분산을 구하시오.

평균을 구한다: (1+3+5)/3 = 3.

평균 = (1+3+5)/3 = 3

편차의 제곱의 평균을 구한다: ((−2)²+0²+2²)/3.

분산 = (4+0+4)/3 = 8/3

▸ 8/3

분산 = 편차의 제곱의 평균. 편차 = 변량 − 평균.

시험 포인트 정리

산포도 핵심

분산 V = Σ(편차)²n, 표준편차 σ = √V

표준편차가 작을수록 자료가 평균 주변에 모여 있다

중3 내신 유형

다섯 개의 변량 5, 6, 8, 9, x의 평균이 7일 때, x의 값은?

①5

②6

③7

④8

⑤9

▸ ③ 7

평균 = (변량의 총합) ÷ (개수)이므로 총합 = 7 × 5 = 35.

5+6+8+9+x = 35

28 + x = 35이므로 x = 7.

28+x=35 ⇒ x=7

🎯 시험 포인트

①편차의 합 = 0 (항상 성립 -- 계산 검증에 활용)

②분산 = 편차 제곱의 평균, 표준편차 = 루트 분산

③표준편차가 작다 → 자료가 고르게 모여있다

④극단값 있으면 평균 대신 중앙값이 적절

⑤분산의 단위는 원래 단위의 제곱, 표준편차는 원래 단위와 같다