seegongsik
중학교 3학년 (14-15세)

대푯값과 산포도

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

반 학생 30명의 점수처럼 숫자가 많으면 한눈에 들어오지 않아서, 자료 전체를 대표하는 값 하나로 줄여 말하는데 이것이 대푯값이에요. 대푯값에는 모든 값을 더해 개수로 나눈 평균, 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 중앙값, 가장 자주 나오는 최빈값이 있어서 자료의 성격에 맞게 골라 써요. 대푯값이 같아도 자료가 평균 근처에 모여 있는지 넓게 흩어져 있는지는 다를 수 있어서, 흩어진 정도를 나타내는 분산과 표준편차를 함께 봐요. 특히 다른 값들과 동떨어진 이상값이 하나 끼면 평균은 크게 움직이지만 중앙값은 거의 그대로라는 점을 그림에서 확인할 수 있어요.

많은 자료를 한 수로 요약하기

1.5
👀 대푯값이 필요한 이유
①시험을 보면 반 전체의 점수가 한꺼번에 나온다.
②숫자를 하나하나 다 보면 전체 모습이 잘 보이지 않는다.
③그래서 자료 전체를 대표하는 수 하나로 줄여 말하고, 이것을 대푯값이라 한다.
④그림 위쪽의 표준편차는 그려진 20개 점으로 직접 계산한 값이다. 퍼짐 정도를 키우면 평균은 그대로 70 근처인데 표준편차가 커진다.

세 가지 대푯값

평균
x̄ = x1 + x2 + ... + xnn
모든 값을 더해 자료의 개수로 나눈 값으로, 가장 많이 쓰는 대푯값이다.
중앙값
자료를 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 값
자료의 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균이다. 극단적인 값의 영향을 덜 받는다.
최빈값
자료에서 가장 많이 나타나는 값
여러 개일 수도 있다. 좋아하는 색처럼 수가 아닌 자료에도 쓸 수 있다.
💡 다섯 명의 점수로 구해 보기
①다섯 명의 점수가 60, 70, 70, 80, 100이다.
②평균은 (60 + 70 + 70 + 80 + 100) ÷ 5 = 76이다.
③크기순으로 늘어놓은 가운데, 곧 셋째 값인 중앙값은 70이다.
④두 번 나온 70이 최빈값이다.
⑤평균 76이 중앙값 70보다 큰 것은 혼자 높은 100점이 평균을 끌어올렸기 때문이다.

이상값과 대푯값 고르기

80
⚠️ 이상값이 있을 때
①다른 값들에서 크게 벗어난 값을 이상값이라 한다.
②이상값이 있으면 평균이 그쪽으로 크게 끌려간다.
③중앙값은 가운데 순서의 값이라 이상값이 얼마나 큰지에 거의 영향을 받지 않는다.
④소득처럼 아주 큰 값이 몇 개 섞인 자료는 평균보다 중앙값이 실제 모습에 더 가깝다.
⑤그림에서 다섯째 값을 200까지 올려도 중앙값은 70에 머문다.

흩어진 정도: 편차, 분산, 표준편차

편차
(편차) = (변량) − (평균)
각 값이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내며, 편차를 모두 더하면 언제나 0이다.
분산
V = (편차)21 + (편차)22 + ... + (편차)2nn
편차를 제곱한 값의 평균이다. 편차를 그대로 평균 내면 합이 0이라 늘 0이 되므로 제곱한다.
표준편차
(표준편차) = √(분산)
분산의 제곱근을 구해 단위를 원래 자료의 단위로 되돌린 값이다.
🔍 왜 제곱할까
①편차를 모두 더하면 양수와 음수가 서로 지워져 언제나 0이 된다.
②그래서 편차를 제곱해 모두 0 이상으로 만든 뒤 평균을 낸다.
③이것이 분산이다.
④분산의 단위는 원래 단위의 제곱(점²)이라 그대로는 해석하기 어렵다.
⑤제곱근을 씌워 원래 단위(점)로 돌린 것이 표준편차다.

예제로 확인하기

예제 1
자료 1, 3, 5, 7, 9의 중앙값을 구하시오.
1
자료를 크기순으로 늘어놓는다. 이미 순서대로 놓여 있다.
1, 3, 5, 7, 9
2
자료가 5개로 홀수이므로 가운데인 셋째 값이 중앙값이다.
중앙값 = 5
▸ 5
자료의 개수가 홀수이면 가운데 값, 짝수이면 가운데 두 값의 평균이 중앙값이다.
예제 2
자료 1, 3, 5의 분산을 구하시오.
1
평균을 구한다. (1 + 3 + 5) ÷ 3 = 3이다.
평균 = (1+3+5)/3 = 3
2
편차 −2, 0, 2를 제곱해 평균을 낸다.
분산 = (4+0+4)/3 = 8/3
▸ 8/3
분산은 편차를 제곱한 값의 평균이고, 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이다.

시험 포인트 정리

흩어진 정도의 핵심
분산 V = Σ(편차)2n, 표준편차 σ = √V
표준편차가 작을수록 자료가 평균 가까이에 모여 있다.
중3 내신 유형
다섯 개의 변량 5, 6, 8, 9, x의 평균이 7일 때, x의 값은?
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
평균 = (변량의 총합) ÷ (개수)이므로 총합 = 7 × 5 = 35.
5+6+8+9+x = 35
2
28 + x = 35이므로 x = 7.
28+x=35 ⇒ x=7
🎯 시험 포인트
①편차의 합은 언제나 0이다. 계산을 검산할 때 쓴다.
②분산은 편차를 제곱한 값의 평균이고, 표준편차는 분산의 제곱근이다.
③표준편차가 작으면 자료가 평균 가까이에 고르게 모여 있다.
④극단적인 값이 있으면 평균보다 중앙값이 알맞은 대푯값이다.
⑤분산의 단위는 원래 단위의 제곱이고, 표준편차의 단위는 원래 단위와 같다.
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