이차함수의 활용

Applications of Quadratic Functions

이차함수는 그래프를 그리는 데서 끝나지 않고, 최댓값과 최솟값을 찾는 도구가 돼요. 포물선은 꼭짓점에서 가장 높거나 가장 낮아지기 때문에, 넓이를 가장 크게 만드는 조건 같은 문제를 깔끔하게 풀 수 있어요. 길이가 정해진 울타리로 직사각형을 만들 때, 언제 넓이가 최대가 되는지도 이차함수 하나로 알아낼 수 있어요. 정의역의 양 끝과 울타리의 가로 길이를 바꾸면 최댓값과 최솟값이 어디서 생기는지 보여요.

정의역에서의 최대·최소

정의역 시작-1

정의역 끝4

📊 최대·최소 찾기 전략

①꼭짓점이 정의역 안에 있으면 → 꼭짓점값이 최대 또는 최소

②꼭짓점이 정의역 밖이면 → 양 끝점에서 비교

③후보: 꼭짓점, 왼쪽 끝점, 오른쪽 끝점. 이 그림은 y=(x−1)²−2 로 고정이에요. 기본 정의역 −1≤x≤4에서 최댓값은 7, 최솟값은 −2예요. 교점·식 구하기는 아래 글 상자예요

넓이 최대 문제: 울타리 문제

가로 x (m)5

🏠 울타리 문제 풀이

①둘레 = 20m → 가로 x, 세로 (10−x)

②넓이 S = x(10−x) = −x²+10x

③이차함수 그래프의 꼭짓점에서 최대

④x = 5일 때 S = 25m² (정사각형!)

이차함수와 이차방정식의 관계

함수와 방정식의 연결

y = ax²+bx+c 에서 y=0 → ax²+bx+c = 0

그래프의 x절편 = 이차방정식의 근

🔗 연결 고리

①이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점 → 이차방정식의 근

②판별식 D로 교점 개수 판단

③두 함수의 교점 → 연립방정식

이차함수의 식 구하기

꼭짓점과 한 점

꼭짓점(p,q) + 한 점(x₁,y₁) → y=a(x−p)²+q에 대입

꼭짓점을 알면 a만 구하면 됨

x절편 두 개와 한 점

x절편 α, β → y=a(x−α)(x−β)에 한 점 대입

근을 알면 인수분해형 활용

📝 식 구하기 전략

①꼭짓점 주어짐 → 꼭짓점형 사용

②x절편 주어짐 → 인수분해형 사용

③세 점 주어짐 → 일반형 y=ax²+bx+c에 대입 → 연립방정식

직접 풀어보기

예제 1

이차함수 y=x²−4x+7의 최솟값을 구하시오.

완전제곱식으로 고친다: x²−4x+7 = (x−2)²+3.

y = (x−2)²+3

a>0이므로 꼭짓점에서 최소, 최솟값은 3.

최솟값 = 3 (x=2)

▸ 3

a>0이면 꼭짓점에서 최솟값을 가진다.

예제 2

이차함수 y=−(x−1)²+5의 최댓값을 구하시오.

꼭짓점은 (1, 5)이고 a=−1<0이다.

y = −(x−1)²+5

a<0이므로 꼭짓점에서 최대, 최댓값은 5.

최댓값 = 5 (x=1)

▸ 5

a<0이면 꼭짓점에서 최댓값을 가진다.

시험 포인트 정리

활용 핵심

최대·최소 → 꼭짓점, 교점 → 판별식, 식 구하기 → 조건 대입

이차함수 활용의 3가지 핵심 유형

중3 내신 유형

이차함수 y=2x²−8x+11의 최솟값은?

①1

②3

③5

④8

⑤11

▸ ② 3

완전제곱식으로 고친다: 2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3.

y = 2(x−2)²+3

a=2>0이므로 x=2에서 최솟값 3.

최솟값 = 3

🎯 시험 포인트

①최댓값·최솟값은 꼭짓점에서 (a>0이면 최솟값, a<0이면 최댓값)

②정의역 제한 있으면 양 끝점도 확인

③넓이·거리 최대 → 이차함수로 모델링 → 꼭짓점

④그래프와 x축 교점 = 이차방정식의 근

⑤함수식 결정: 주어진 조건에 맞는 형태 선택