seegongsik
중학교 3학년 (14-15세)

이차함수의 활용

Applications of Quadratic Functions

이차함수는 그래프를 그리는 데서 끝나지 않고, 어떤 양이 가장 커지거나 가장 작아지는 때를 찾는 도구가 돼요. 포물선은 꼭짓점에서 가장 높거나 가장 낮기 때문에, a > 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값이고 a < 0이면 최댓값이에요. 다만 x가 움직일 수 있는 범위가 정해져 있으면 꼭짓점이 그 범위 밖에 있을 수 있어서, 양 끝점의 함숫값도 함께 비교해야 해요. 길이 20 m인 울타리로 직사각형을 만들 때 넓이가 가장 커지는 모양을 찾는 문제도, 넓이를 가로의 이차함수로 나타내면 꼭짓점 하나로 답이 나와요.

범위가 정해진 x에서의 최대와 최소

-1
4
📊 최대와 최소를 찾는 순서
①꼭짓점이 x의 범위 안에 있으면 꼭짓점에서 최솟값(a > 0일 때) 또는 최댓값(a < 0일 때)을 가진다.
②꼭짓점이 범위 밖에 있으면 양 끝점의 함숫값을 비교한다.
③후보는 꼭짓점, 왼쪽 끝점, 오른쪽 끝점 세 곳이다.
④그림의 처음 범위 −1 ≤ x ≤ 4에서는 꼭짓점 (1, −2)에서 최솟값 −2, 오른쪽 끝 x = 4에서 최댓값 7을 가진다.

넓이가 가장 큰 울타리

5
🏠 울타리 문제 풀이
①둘레가 20 m이면 가로와 세로의 합이 10 m이므로 가로를 x라 하면 세로는 10 − x다.
②넓이는 S = x(10 − x) = −x² + 10x로, x의 이차함수다.
③S = −(x − 5)² + 25이므로 x = 5일 때 최댓값 25 m²를 가진다.
④가로와 세로가 모두 5 m인 정사각형일 때 넓이가 가장 크다. 오른쪽 그래프의 꼭짓점이 바로 그 순간이다.

이차함수와 이차방정식

함수와 방정식의 연결
y = ax² + bx + c에서 y = 0으로 놓으면 ax² + bx + c = 0
그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 이차방정식의 근이다.
🔗 이어지는 세 가지
①이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 이차방정식의 근이다.
②판별식 D의 부호로 x축과 만나는 점의 개수를 알 수 있다.
③두 함수의 그래프가 만나는 점은 두 식을 연립한 해다.

이차함수의 식 구하기

꼭짓점과 다른 한 점
꼭짓점 (p, q)와 한 점 (x₁, y₁) → y = a(x − p)² + q에 대입
꼭짓점을 알면 a 하나만 구하면 된다.
x축과 만나는 두 점과 다른 한 점
x축과 x = α, β에서 만남 → y = a(x − α)(x − β)에 한 점 대입
x축과 만나는 점을 알면 인수분해된 꼴을 쓴다.
📝 식을 구하는 전략
①꼭짓점이 주어지면 꼭짓점 꼴을 쓴다.
②x축과 만나는 두 점이 주어지면 인수분해된 꼴을 쓴다.
③지나는 세 점이 주어지면 일반형 y = ax² + bx + c에 넣어 연립방정식을 푼다.

예제로 확인하기

예제 1
이차함수 y=x²−4x+7의 최솟값을 구하시오.
1
완전제곱식으로 고친다. x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3이다.
y = (x−2)²+3
2
a > 0이므로 꼭짓점에서 최솟값을 가지며, 그 값은 3이다.
최솟값 = 3 (x=2)
▸ 3
a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값을 가진다.
예제 2
이차함수 y=−(x−1)²+5의 최댓값을 구하시오.
1
꼭짓점은 (1, 5)이고 a = −1 < 0이다.
y = −(x−1)²+5
2
a < 0이므로 꼭짓점에서 최댓값을 가지며, 그 값은 5다.
최댓값 = 5 (x=1)
▸ 5
a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값을 가진다.

시험 포인트 정리

활용의 핵심
최대·최소 → 꼭짓점과 양 끝점 · x축과 만나는 점 → 판별식 · 식 구하기 → 알맞은 꼴에 조건 대입
이차함수 활용 문제는 대부분 이 세 유형 가운데 하나다.
중3 내신 유형
이차함수 y=2x²−8x+11의 최솟값은?
①1
②3
③5
④8
⑤11
▸ ② 3
1
완전제곱식으로 고친다: 2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3.
y = 2(x−2)²+3
2
a=2>0이므로 x=2에서 최솟값 3.
최솟값 = 3
🎯 시험 포인트
①최댓값과 최솟값은 꼭짓점에서 생긴다. a > 0이면 최솟값, a < 0이면 최댓값이다.
②x의 범위가 정해져 있으면 양 끝점의 값도 꼭 비교한다.
③넓이나 거리가 가장 큰 경우를 물으면 이차함수로 나타내 꼭짓점을 찾는다.
④그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 이차방정식의 근이다.
⑤식을 구할 때는 주어진 조건에 맞는 꼴을 고른다.
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