seegongsik
중학교 3학년 (14-15세)

이차함수의 그래프

Graphs of Quadratic Functions

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프는 포물선이라고 부르는, 한 직선을 기준으로 좌우가 똑같은 매끄러운 곡선이에요. 가장 기본이 되는 y = ax²에서 a의 부호는 그래프가 위로 열릴지 아래로 열릴지를 정하고, a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아져요. y = a(x − p)² + q는 y = ax²를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 옮긴 그래프라서, 꼭짓점이 (p, q)이고 대칭축이 x = p예요. 전개된 일반형도 완전제곱식으로 고치면 이 꼴이 되므로, 꼭짓점과 축, 최댓값이나 최솟값을 바로 읽을 수 있어요.

y = ax²에서 a의 역할

1
📊 a가 정하는 것
①a > 0이면 아래로 볼록하다. 위쪽으로 열린 모양이다.
②a < 0이면 위로 볼록하다. 아래쪽으로 열린 모양이다.
③|a|가 클수록 폭이 좁고, 작을수록 넓다.
④a = 0이면 y = 0이 되어 이차함수가 아니다.

꼭짓점 꼴 y = a(x − p)² + q

1
2
-1
🎯 평행이동
①y = ax²의 x를 x − p로 바꾼 y = a(x − p)²은 x축 방향으로 p만큼 옮긴 그래프다.
②y = ax² + q는 y축 방향으로 q만큼 옮긴 그래프다.
③y = a(x − p)² + q의 꼭짓점은 (p, q)이고, 축은 x = p다.
④부호에 주의한다. y = (x − 2)² + 3의 꼭짓점은 (2, 3)이다. 그림의 처음 상태 a = 1, p = 2, q = −1을 전개하면 y = x² − 4x + 3이며, 그림 왼쪽 아래에 함께 적힌다.

일반형을 꼭짓점 꼴로 고치기

일반형
y = ax² + bx + c
전개된 꼴로, y절편 c를 바로 읽을 수 있다.
꼭짓점 꼴로 바꾸기
y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a
완전제곱식을 만들어 꼭짓점의 좌표를 찾는다.
🔄 고치는 과정
①ax² + bx 부분을 a로 묶는다.
②괄호 안 x의 계수의 절반을 제곱해 더하고 뺀다.
③완전제곱식으로 묶고 남은 상수를 정리한다.
④결과적으로 꼭짓점은 (−b/2a, −(b² − 4ac)/4a)이다.

그래프의 성질 모아 보기

그래프에서 읽는 정보
꼭짓점 (p, q) · 축 x = p · y절편 c · 열린 방향은 a의 부호
이차함수 그래프에서 알아야 할 정보가 이 식에 모두 들어 있다.
💡 그래프의 성질
①대칭축은 x = p, 곧 꼭짓점의 x좌표를 지나는 직선이다.
②y절편은 x = 0을 넣은 값 c다.
③x절편은 y = 0을 넣은 이차방정식의 근이다.
④최댓값이나 최솟값은 꼭짓점의 y좌표다.
⑤축에 대해 대칭이므로 f(p + t) = f(p − t)다.

예제로 확인하기

예제 1
이차함수 y=(x−2)²+3의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
1
꼭짓점 꼴 y = a(x − p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)이다.
y = (x−2)²+3
2
p = 2, q = 3이므로 꼭짓점은 (2, 3)이다.
꼭짓점 (2, 3)
▸ (2, 3)
(x − 2)는 x − p 꼴이므로 p = +2다. 부호에 주의한다.
예제 2
이차함수 y=x²−4x+1을 꼭짓점형으로 고치고 꼭짓점을 구하시오.
1
x² − 4x를 완전제곱식으로 만든다. x² − 4x = (x − 2)² − 4이다.
y = (x−2)²−4+1
2
정리하면 y = (x − 2)² − 3이고, 꼭짓점은 (2, −3)이다.
y = (x−2)²−3 ⇒ 꼭짓점 (2, −3)
▸ y=(x−2)²−3, 꼭짓점 (2, −3)
x의 계수의 절반 −2를 제곱한 4를 더하고 뺀다.

시험 포인트 정리

이차함수의 핵심
y = a(x − p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축 x = p
이차함수 문제는 대부분 꼭짓점 꼴로 고치는 데서 출발한다.
중3 내신 유형
이차함수 y=x²−6x+5의 그래프의 대칭축의 방정식은?
①x=−3
②x=−6
③x=3
④x=5
⑤x=6
▸ ③ x=3
1
대칭축은 x = −b/(2a)이다. a=1, b=−6.
x = −(−6)/(2·1)
2
계산하면 x=3이다.
x = 6/2 = 3
🎯 시험 포인트
①a의 부호로 아래로 볼록인지 위로 볼록인지 판단한다.
②|a|가 클수록 그래프의 폭이 좁다.
③y = a(x − p)² + q에서 (x − 2)이면 p = +2다. 부호를 틀리기 쉽다.
④일반형을 꼭짓점 꼴로 고치는 연습을 해 둔다.
⑤축에 대한 대칭 f(p + t) = f(p − t)를 활용한다.
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