이차함수의 그래프

Graphs of Quadratic Functions

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프는 포물선이라고 부르는 좌우 대칭의 부드러운 곡선이에요. 그림은 a, p, q 슬라이더이고, 공을 던지는 궤적은 앞 장 활용에 있어요. 계수 a의 부호는 그래프가 위로 열릴지 아래로 열릴지를 정하고, 절댓값이 클수록 폭이 좁아져요. 꼭짓점 위치 p, q와 계수 a를 바꾸면 포물선이 벌어지고 이동하는 모습이 보여요.

y = ax²: a의 역할

a 값1

📊 a가 결정하는 것

①a > 0: 아래로 볼록 (위로 열린 모양)

②a < 0: 위로 볼록 (아래로 열린 모양)

③|a| 클수록 좁고, |a| 작을수록 넓음

④a = 0이면 이차함수가 아님!

y = a(x−p)²+q: 꼭짓점형

p (x방향 이동)2

q (y방향 이동)-1

🎯 평행이동의 핵심

①y=ax² → y=a(x−p)²: x축 방향 +p만큼 이동

②y=ax² → y=ax²+q: y축 방향 +q만큼 이동

③꼭짓점: (p, q), 축: x = p

④p, q 부호 주의: y=a(x−2)²+3 → 꼭짓점(2, 3). 기본 a=1, p=2, q=−1이면 일반형은 y=x²−4x+3이에요

일반형 → 꼭짓점형 변환

일반형

y = ax² + bx + c

전개된 형태: 계수를 바로 읽을 수 있음

꼭짓점형 변환

y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a

완전제곱식으로 변환하여 꼭짓점 찾기

🔄 변환 과정

①ax²+bx+c에서 a로 x²+bx 부분 묶기

②x의 계수의 반을 제곱해서 더하고 빼기

③완전제곱식으로 묶기

④꼭짓점 = (−b/2a, −(b²−4ac)/4a)

그래프의 성질 종합

그래프 정보 읽기

꼭짓점(p,q), 축: x=p, y절편: c, 방향: a의 부호

이차함수 그래프의 모든 정보

💡 그래프 성질

①대칭축: x = p (꼭짓점의 x좌표)

②y절편: x=0 대입 → y=c

③x절편: y=0 대입 → 이차방정식의 근

④최댓값/최솟값: 꼭짓점의 y좌표

⑤축 대칭: f(p+t)=f(p−t)

직접 풀어보기

예제 1

이차함수 y=(x−2)²+3의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.

꼭짓점형 y=a(x−p)²+q에서 꼭짓점은 (p, q)이다.

y = (x−2)²+3

p=2, q=3이므로 꼭짓점은 (2, 3)이다.

꼭짓점 (2, 3)

▸ (2, 3)

(x−2)는 x−p 꼴이므로 p=+2이다. 부호에 주의한다.

예제 2

이차함수 y=x²−4x+1을 꼭짓점형으로 고치고 꼭짓점을 구하시오.

x²−4x를 완전제곱식으로 만든다: x²−4x = (x−2)²−4.

y = (x−2)²−4+1

정리하면 y=(x−2)²−3, 꼭짓점은 (2, −3)이다.

y = (x−2)²−3 ⇒ 꼭짓점 (2, −3)

▸ y=(x−2)²−3, 꼭짓점 (2, −3)

일차항 계수의 반(−2)을 제곱(4)해서 더하고 뺀다.

시험 포인트 정리

이차함수 핵심

y=a(x−p)²+q: 꼭짓점(p,q), 축 x=p

모든 이차함수 문제의 출발점

중3 내신 유형

이차함수 y=x²−6x+5의 그래프의 대칭축의 방정식은?

①x=−3

②x=−6

③x=3

④x=5

⑤x=6

▸ ③ x=3

대칭축은 x = −b/(2a)이다. a=1, b=−6.

x = −(−6)/(2·1)

계산하면 x=3이다.

x = 6/2 = 3

🎯 시험 포인트

①a의 부호로 위/아래 볼록 판단

②|a|가 클수록 그래프가 좁음

③y=a(x−p)²+q에서 부호 실수 주의: (x−2) → p=+2

④일반형 → 꼭짓점형 변환 연습 필수

⑤축에 대한 대칭: f(p+t) = f(p−t) 활용