seegongsik
중학교 3학년 (14-15세)

이차방정식의 활용

Applications of Quadratic Equations

비스듬히 던진 공의 높이, 넓이가 정해진 밭의 크기, 곱이 정해진 두 수처럼 실생활의 여러 상황이 이차방정식으로 옮겨져요. 던진 공은 포물선을 그리며 날아가므로, 높이를 0으로 놓은 이차방정식을 풀면 공이 땅에 떨어지는 때와 곳을 알 수 있어요. 풀이의 순서는 늘 같아서, 구하려는 양을 x로 놓고 조건으로 식을 세운 뒤 풀고, 마지막으로 답이 조건에 맞는지 확인해요. 이차방정식은 근이 두 개 나올 때가 많은데, 길이나 개수처럼 음수가 될 수 없는 양이면 음수 근은 버려야 해요.

던진 공의 포물선

20 m/s
45°
🏀 포물선 운동과 이차방정식
①공의 높이 y를 수평 거리 x로 나타내면 y = ax² + bx 꼴의 이차식이 된다(a < 0).
②공이 땅에 떨어지는 곳은 y = 0인 점이므로 이차방정식 ax² + bx = 0을 풀어 구한다.
③가장 높이 올라간 지점은 포물선의 꼭짓점이다.
④그림은 중력 가속도를 10 m/s²으로 어림해 계산했다. 처음 상태 20 m/s, 45°에서는 수평 거리가 40 m, 최고 높이가 10 m이다.

넓이 문제에서 식 세우기

3
📐 넓이 문제를 푸는 순서
①늘리거나 줄인 길이를 x로 놓는다.
②새 도형의 넓이를 x에 대한 식으로 나타낸다. 그림에서는 (10 + x)(8 + x)다.
③넓이에 대한 조건으로 방정식을 세운다. 넓이가 120이면 x² + 18x − 40 = 0이다.
④풀면 x = 2 또는 x = −20인데, 길이는 양수여야 하므로 x = 2만 답이다.

수에 관한 문제

연속하는 자연수
n(n + 1) = 90 → n² + n − 90 = 0
연속하는 두 자연수는 작은 수를 n으로 놓고 n, n + 1로 나타낸다.
🔢 자주 나오는 수 문제
①연속하는 두 자연수의 곱이 A이면 n(n + 1) = A다.
②어떤 수의 제곱에서 3을 뺀 값이 주어지면 x² − 3 = (그 값)이다.
③두 자리 자연수는 십의 자리 숫자 a와 일의 자리 숫자 b로 10a + b라고 쓴다.

활용 문제의 네 단계

풀이 순서
미지수 정하기 → 식 세우기 → 방정식 풀기 → 확인하기
어떤 유형이든 이 순서를 따른다.
⚠️ 확인 단계가 필요한 이유
①이차방정식은 근이 두 개 나올 수 있다.
②그중 문제의 조건에 맞지 않는 근은 버린다.
③자연수나 길이, 시간을 구하는 문제에서는 음수 근을 버린다.
④답을 원래 문제의 상황에 넣어 맞는지 확인한다.

예제로 확인하기

예제 1
연속하는 두 자연수의 곱이 56이다. 두 자연수를 구하시오.
1
작은 수를 n으로 놓으면 n(n + 1) = 56이다.
n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0
2
인수분해하면 (n − 7)(n + 8) = 0이고, n은 자연수이므로 n = 7이다.
(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7
▸ 7과 8
자연수라는 조건으로 음수 근 n = −8을 버린다.
예제 2
어떤 양수 x에 대하여 x(x+3)=40이 성립한다. x를 구하시오.
1
전개해서 우변을 0으로 정리한다.
x²+3x−40=0
2
(x − 5)(x + 8) = 0이고, x > 0이므로 x = 5이다.
(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5
▸ x = 5
양수라는 조건으로 x = −8을 버린다.

시험 포인트 정리

유형별 식 세우기
연속하는 수: n, n + 1 · 넓이: (가로) × (세로) · 위로 던진 물체의 높이: h = v₀t − 5t²
유형마다 미지수를 어떻게 놓는지가 풀이의 절반이다.
중3 내신 유형
지면에서 쏘아 올린 물체의 t초 후 높이가 h=−5t²+20t (m)이다. 물체가 다시 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 몇 초 후인가?
①1초
②2초
③4초
④5초
⑤8초
▸ ③ 4초
1
지면에 떨어지면 높이 h=0이다.
−5t²+20t=0
2
−5t(t−4)=0에서 t>0이므로 t=4.
−5t(t−4)=0 ⇒ t=4
🎯 시험 포인트
①구하려는 양을 미지수로 놓는다.
②방정식을 세운 뒤 우변을 0으로 정리한다.
③근을 구한 뒤 자연수, 양수 같은 조건에 맞는지 확인한다.
④단위를 붙여 답을 쓴다.
⑤「~보다 큰」, 「~ 이하」 같은 말이 있으면 조건을 다시 확인한다.
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