이차방정식의 활용

Applications of Quadratic Equations

공을 던지거나 땅의 넓이를 재는 것처럼, 실생활 상황을 이차방정식으로 바꿔 푸는 단원이에요. 비스듬히 던진 공은 포물선을 그리고, 높이를 0으로 놓은 이차방정식으로 땅에 떨어지는 때를 알아요. 미지수를 정하고 식을 세워 풀되, 근이 두 개 나오면 길이나 자연수처럼 문제 조건에 맞지 않는 답은 반드시 버려야 해요. 초기 속도와 각도를 바꾸면 포물선 궤적이 보이고, 직사각형을 늘리면 넓이가 어떻게 식이 되는지 보여요.

포물선 운동: 이차방정식이 자연에!

초기 속도 v₀20 m/s

발사 각도45°

🏀 포사체 운동과 이차방정식

①공을 던지면 포물선 궤적 → y = ax²+bx+c

②언제 땅에 떨어지나? → y=0 → 이차방정식!

③최고 높이는? → 꼭짓점의 y좌표. 캔버스는 g=10, 기본 속력 20, 각도 45°예요. 총정리 h=v₀t−5t²는 연직으로 던진 예이고, 그림은 빗각이에요. 직사각형은 원래 10×8이고 기본 x=3이에요

넓이 문제: 도형으로 식 세우기

x (늘린 길이, 같은 칸)3

📐 넓이 문제 풀이 전략

①미지수 x를 설정 (늘린 길이, 줄인 길이 등)

②도형의 넓이를 x의 식으로 표현

③조건에 맞는 방정식 세우기

④풀어서 x를 구하고, 문제 조건(양수 등) 확인

수에 관한 문제

연속하는 정수 문제

n(n+1) = 90 → n²+n−90 = 0

연속 정수의 곱: n과 n+1로 놓기

🔢 수 문제 유형

①연속하는 두 자연수의 곱 = A → n(n+1) = A

②어떤 수의 제곱에서 3을 뺀 것이 … → x²−3 = ...

③두 자리 자연수의 각 자릿수의 곱 → (10a+b)에서 ab = ...

활용 문제 풀이 4단계

문제 풀이 절차

미지수 설정 → 식 세우기 → 방정식 풀기 → 검증

항상 이 순서를 따르자

⚠️ 검증이 중요한 이유

①이차방정식은 근이 2개 나올 수 있음

②문제 조건에 맞지 않는 근은 버려야 함

③예: '자연수를 구하라' → 음수 근 제외

④예: '길이를 구하라' → 음수 근 제외

⑤반드시 원래 문제에 대입하여 확인

직접 풀어보기

예제 1

연속하는 두 자연수의 곱이 56이다. 두 자연수를 구하시오.

작은 수를 n으로 놓으면 n(n+1)=56이다.

n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0

인수분해하면 (n−7)(n+8)=0, n은 자연수이므로 n=7.

(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7

▸ 7과 8

자연수 조건으로 음수 근 n=−8을 버린다.

예제 2

어떤 양수 x에 대하여 x(x+3)=40이 성립한다. x를 구하시오.

전개하여 0으로 정리한다.

x²+3x−40=0

인수분해: (x−5)(x+8)=0, x>0이므로 x=5.

(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5

▸ x = 5

양수 조건으로 x=−8을 버린다.

시험 포인트 정리

활용 핵심 공식

연속 정수: n, n+1 / 넓이: 가로×세로 / 시간: h=v₀t−5t²

문제 유형별 미지수 설정법 암기

중3 내신 유형

지면에서 쏘아 올린 물체의 t초 후 높이가 h=−5t²+20t (m)이다. 물체가 다시 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 몇 초 후인가?

①1초

②2초

③4초

④5초

⑤8초

▸ ③ 4초

지면에 떨어지면 높이 h=0이다.

−5t²+20t=0

−5t(t−4)=0에서 t>0이므로 t=4.

−5t(t−4)=0 ⇒ t=4

🎯 시험 포인트

①미지수는 구하려는 것으로 설정

②방정식을 세운 뒤 반드시 0으로 정리

③근을 구한 뒤 조건에 맞는지 확인(자연수, 양수 등)

④단위를 맞추어 답 쓰기

⑤'~보다 큰', '~이하' 등 부등호 조건 주의