이차방정식의 풀이 Solving Quadratic Equations
이차방정식은 x의 최고 차수가 2인 방정식으로, ax² + bx + c = 0 꼴로 나타내요.
한 물체를 위로 던졌을 때 높이가 0이 되는 순간을 구하는 것처럼, 답이 보통 두 개 나오는 것이 특징이에요.
인수분해로 두 일차식의 곱이 0이 되게 하거나, 어떤 식으로도 안 될 때는 근의 공식으로 언제나 해를 구할 수 있어요.
이 페이지에서는 계수를 바꿔 가며 두 근이 어떻게 변하는지, 또 판별식으로 근의 개수가 어떻게 정해지는지 확인해 봐요.
이차방정식의 근 = 그래프와 x축의 만남
see gongsik.com
포물선이 x축과 만나는 점이 이차방정식의 근 👀 그래프로 보는 근
①포물선이 x축과 2번 만남 → 서로 다른 두 근
②포물선이 x축에 접함 → 중근 (같은 근 2개)
③포물선이 x축과 안 만남 → 실근 없음
인수분해로 풀기
인수분해 풀이
ax²+bx+c = 0 → a(x−p)(x−q) = 0 → x=p 또는 x=q
인수분해 후 각 인수를 0으로 놓기
🧩 인수분해 풀이 순서
①우변을 0으로 만들기 (이항)
②좌변을 인수분해
③각 인수 = 0으로 놓고 x 구하기
④예: x²−5x+6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0 → x=2, 3
완전제곱식과 제곱근 풀이
제곱근 풀이
(x+a)² = k → x+a = ±√k → x = −a ± √k
완전제곱식 형태로 변환 후 제곱근
💡 완전제곱식 만들기
①x²+6x = 7 → x²+6x+9 = 16 (양변에 9 더함)
②(x+3)² = 16
③x+3 = ±4
④x = 1 또는 x = −7
근의 공식
근의 공식
x = −b ± √(b²−4ac) 2a
모든 이차방정식에 적용 가능한 만능 공식
판별식
D = b²−4ac
D>0: 두 실근, D=0: 중근, D<0: 실근 없음
⚠️ 근의 공식 사용 주의
①반드시 ax²+bx+c = 0 형태로 정리한 후 대입
②b 앞의 − 부호 주의
③분모 2a 전체로 나누기 (2만 나누면 안 됨)
④D < 0이면 '실수 범위에서 근이 없다'고 답
직접 풀어보기
예제 1
이차방정식 x²−5x+6=0을 푸시오.
1 좌변을 인수분해한다: 곱이 6, 합이 −5인 두 수는 −2, −3.
x²−5x+6 = (x−2)(x−3)
2 각 인수를 0으로 놓는다.
(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 또는 x=3
▸ x = 2 또는 x = 3
인수분해가 되면 가장 빠른 풀이법이다.
예제 2
이차방정식 x²−4x+1=0을 근의 공식으로 푸시오.
1 a=1, b=−4, c=1을 근의 공식에 대입한다.
x = (4±√(16−4))/2
2 √12=2√3이므로 약분한다.
x = (4±2√3)/2 = 2±√3
▸ x = 2 ± √3
인수분해가 안 되면 근의 공식을 쓴다. 근호 안을 먼저 정리한다.
시험 포인트 정리
이차방정식 풀이 3가지
인수분해 → 완전제곱식 → 근의 공식
인수분해가 안 되면 근의 공식으로
중3 내신 유형
이차방정식 x²−6x+k=0이 중근을 가질 때, 상수 k의 값은?
▸ ③ 9
1 중근을 가질 조건은 판별식 D=0이다.
D = (−6)²−4·1·k = 36−4k
2 36−4k=0을 풀면 k=9이다.
36−4k=0 ⇒ k=9
🎯 시험 포인트
①먼저 인수분해 시도 → 안 되면 근의 공식
②중근 조건: D = b²−4ac = 0
③근과 계수의 관계: 두 근의 합 = −b/a, 곱 = c/a
④'정수인 근을 갖는' 조건 → D가 완전제곱수
⑤우변을 반드시 0으로 만들고 시작