이차방정식의 풀이

Solving Quadratic Equations

이차방정식은 x의 최고 차수가 2인 방정식으로, ax² + bx + c = 0 꼴로 나타내요. 한 물체를 위로 던졌을 때 높이가 0이 되는 순간을 구하는 것처럼, 답이 보통 두 개 나와요. 인수분해로 두 일차식의 곱이 0이 되게 하거나, 어떤 식으로도 안 될 때는 근의 공식으로 언제나 해를 구할 수 있어요. 이차항을 a=1로 두고 b와 c만 바꾸면 두 근이 어떻게 변하는지 보이는데, 기본값 b=−2, c=−3이면 D=16이고 근은 3과 −1이에요.

이차방정식의 근 = 그래프와 x축의 만남

b (일차항 계수)-2

c (상수항)-3

👀 그래프로 보는 근

①포물선이 x축과 2번 만남 → 서로 다른 두 근

②포물선이 x축에 접함 → 중근 (같은 근 2개)

③포물선이 x축과 안 만남 → 실근 없음

인수분해로 풀기

인수분해 풀이

ax²+bx+c = 0 → a(x−p)(x−q) = 0 → x=p 또는 x=q

인수분해 후 각 인수를 0으로 놓기

🧩 인수분해 풀이 순서

①우변을 0으로 만들기 (이항)

②좌변을 인수분해

③각 인수 = 0으로 놓고 x 구하기

④예: x²−5x+6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0 → x=2, 3

완전제곱식과 제곱근 풀이

제곱근 풀이

(x+a)² = k → x+a = ±√k → x = −a ± √k

완전제곱식 형태로 변환 후 제곱근

💡 완전제곱식 만들기

①x²+6x = 7 → x²+6x+9 = 16 (양변에 9 더함)

②(x+3)² = 16

③x+3 = ±4

④x = 1 또는 x = −7

근의 공식

x = −b ± √(b²−4ac)2a

모든 이차방정식에 적용 가능한 만능 공식

판별식

D = b²−4ac

D>0: 두 실근, D=0: 중근, D<0: 실근 없음

⚠️ 근의 공식 사용 주의

①반드시 ax²+bx+c = 0 형태로 정리한 후 대입

②b 앞의 − 부호 주의

③분모 2a 전체로 나누기 (2만 나누면 안 됨)

④D < 0이면 '실수 범위에서 근이 없다'고 답

⑤두 근의 합=−b/a, 곱=c/a. 정수인 근이면 D가 완전제곱수예요(기본 D=16=4²)

직접 풀어보기

예제 1

이차방정식 x²−5x+6=0을 푸시오.

좌변을 인수분해한다: 곱이 6, 합이 −5인 두 수는 −2, −3.

x²−5x+6 = (x−2)(x−3)

각 인수를 0으로 놓는다.

(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 또는 x=3

▸ x = 2 또는 x = 3

인수분해가 되면 가장 빠른 풀이법이다.

예제 2

이차방정식 x²−4x+1=0을 근의 공식으로 푸시오.

a=1, b=−4, c=1을 근의 공식에 대입한다.

x = (4±√(16−4))/2

√12=2√3이므로 약분한다.

x = (4±2√3)/2 = 2±√3

▸ x = 2 ± √3

인수분해가 안 되면 근의 공식을 쓴다. 근호 안을 먼저 정리한다.

시험 포인트 정리

이차방정식 풀이 3가지

인수분해 → 완전제곱식 → 근의 공식

인수분해가 안 되면 근의 공식으로

중3 내신 유형

이차방정식 x²−6x+k=0이 중근을 가질 때, 상수 k의 값은?

①3

②6

③9

④12

⑤36

▸ ③ 9

중근을 가질 조건은 판별식 D=0이다.

D = (−6)²−4·1·k = 36−4k

36−4k=0을 풀면 k=9이다.

36−4k=0 ⇒ k=9

🎯 시험 포인트

①먼저 인수분해 시도 → 안 되면 근의 공식

②중근 조건: D = b²−4ac = 0

③근과 계수의 관계: 두 근의 합 = −b/a, 곱 = c/a

④'정수인 근을 갖는' 조건 → D가 완전제곱수

⑤우변을 반드시 0으로 만들고 시작