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중학교 3학년 (14-15세)

이차방정식의 풀이

Solving Quadratic Equations

이차방정식은 미지수 x의 가장 높은 차수가 2인 방정식으로, 정리하면 ax² + bx + c = 0(a ≠ 0) 꼴이 돼요. 공을 위로 던졌을 때 높이가 0이 되는 시각을 구하면 던진 순간과 떨어진 순간이 함께 나오듯, 이차방정식의 해는 보통 두 개예요. 좌변을 인수분해할 수 있으면 두 일차식의 곱이 0이 되는 조건으로 풀고, 그렇지 않으면 완전제곱식을 만들거나 근의 공식으로 언제나 풀 수 있어요. 그래프로 보면 해는 포물선 y = x² + bx + c가 x축과 만나는 점의 x좌표이고, 만나는 점의 개수는 판별식 D = b² − 4ac의 부호가 정해 줘요.

근은 포물선과 x축이 만나는 곳

-2
-3
👀 그래프로 보는 근
①포물선이 x축과 두 점에서 만나면 서로 다른 두 근이 있다(D > 0).
②포물선이 x축에 한 점에서 닿으면 두 근이 같은 중근이다(D = 0).
③포물선이 x축과 만나지 않으면 실수인 근이 없다(D < 0).
④그림의 처음 상태 b = −2, c = −3에서는 D = 16이고 두 근은 3과 −1이다. D가 제곱수가 아니면 근은 무리수라서 그림 위쪽에 정확한 꼴이 함께 적힌다.

인수분해로 풀기

인수분해를 이용한 풀이
ax² + bx + c = 0 → a(x − p)(x − q) = 0 → x = p 또는 x = q
두 수의 곱이 0이면 둘 중 적어도 하나는 0이라는 성질을 쓴다.
🧩 인수분해 풀이의 순서
①모든 항을 좌변으로 옮겨 우변을 0으로 만든다.
②좌변을 인수분해한다.
③각 인수를 0으로 놓고 x를 구한다.
④예를 들어 x² − 5x + 6 = 0이면 (x − 2)(x − 3) = 0이므로 x = 2 또는 x = 3이다.

완전제곱식과 제곱근으로 풀기

제곱근을 이용한 풀이
(x + a)² = k (k ≥ 0) → x + a = ±√k → x = −a ± √k
좌변을 완전제곱식으로 만든 뒤 양변의 제곱근을 구한다.
💡 완전제곱식 만들기
①x² + 6x = 7에서 x의 계수 6의 절반의 제곱인 9를 양변에 더하면 x² + 6x + 9 = 16이다.
②좌변이 (x + 3)²이 되어 (x + 3)² = 16이다.
③x + 3 = ±4이다.
④따라서 x = 1 또는 x = −7이다.

근의 공식

근의 공식
x = −b ± √(b²−4ac)2a
완전제곱식을 만드는 과정을 일반적인 a, b, c로 한 결과라서 모든 이차방정식에 쓸 수 있다.
판별식
D = b² − 4ac
D > 0이면 서로 다른 두 근, D = 0이면 중근, D < 0이면 실수인 근이 없다.
⚠️ 근의 공식을 쓸 때 주의할 점
①반드시 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리한 뒤 a, b, c를 읽는다.
②공식 앞쪽의 −b에서 b가 음수이면 부호가 바뀐다.
③분자 전체를 2a로 나눈다. 일부만 나누면 틀린다.
④D < 0이면 실수의 범위에서 근이 없다고 답한다.
⑤a = 1이고 b, c가 정수일 때 D가 제곱수이면 두 근이 정수다.

예제로 확인하기

예제 1
이차방정식 x²−5x+6=0을 푸시오.
1
좌변을 인수분해한다. 곱이 6, 합이 −5인 두 수는 −2와 −3이다.
x²−5x+6 = (x−2)(x−3)
2
각 인수를 0으로 놓는다.
(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 또는 x=3
▸ x = 2 또는 x = 3
인수분해가 되면 가장 빠른 풀이법이다.
예제 2
이차방정식 x²−4x+1=0을 근의 공식으로 푸시오.
1
a = 1, b = −4, c = 1을 근의 공식에 넣는다.
x = (4±√(16−4))/2
2
√12 = 2√3이므로 분자와 분모를 2로 약분한다.
x = (4±2√3)/2 = 2±√3
▸ x = 2 ± √3
인수분해가 바로 보이지 않으면 근의 공식을 쓰고, 근호 안을 먼저 간단히 한다.

시험 포인트 정리

이차방정식을 푸는 세 가지 방법
인수분해 → 완전제곱식 → 근의 공식
인수분해가 바로 보이면 그것이 가장 빠르고, 안 보이면 근의 공식을 쓴다.
중3 내신 유형
이차방정식 x²−6x+k=0이 중근을 가질 때, 상수 k의 값은?
①3
②6
③9
④12
⑤36
▸ ③ 9
1
중근을 가질 조건은 판별식 D=0이다.
D = (−6)²−4·1·k = 36−4k
2
36−4k=0을 풀면 k=9이다.
36−4k=0 ⇒ k=9
🎯 시험 포인트
①먼저 인수분해를 시도하고, 안 되면 근의 공식을 쓴다.
②중근을 가질 조건은 D = b² − 4ac = 0이다.
③두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a이다.
④정수인 근을 가질 조건을 물으면 D가 제곱수인지 살핀다.
⑤반드시 우변을 0으로 만든 뒤 풀기 시작한다.
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이차방정식의 활용

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