인수분해는 덧셈으로 펼쳐진 다항식을 다시 여러 인수의 곱으로 묶는 일로, 전개를 거꾸로 하는 셈이에요.
(x + 3)²을 전개하면 x² + 6x + 9가 되듯이, x² + 6x + 9를 보고 (x + 3)²을 떠올리는 것이 인수분해예요.
넓이로 보면 a², ab, ab, b² 네 조각이 빈틈없이 맞물려 한 변이 a + b인 정사각형이 되는데, a² + 2ab + b² = (a + b)²이 이 그림에 그대로 드러나요.
곱이 상수항이 되고 합이 x의 계수가 되는 두 수를 찾는 요령까지 익히면, 중학교에서 만나는 이차식 대부분을 묶을 수 있어요.
곱셈 공식을 거꾸로 읽기
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a² + 2ab + b²의 네 조각이 한 변이 a + b인 정사각형으로 맞물리는 넓이 그림
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🔄 전개와 인수분해
①전개는 곱을 합으로 펼치는 일이다. (a + b)² = a² + 2ab + b²
②인수분해는 합을 곱으로 묶는 일이다. a² + 2ab + b² = (a + b)²
③그림에서 a = 3, b = 2이면 조각의 넓이 9 + 6 + 6 + 4 = 25가 한 변이 5인 정사각형의 넓이 5²과 같다.
곱셈 공식을 이용한 인수분해
완전제곱식
a²+2ab+b² = (a+b)²
가운데 항이 2ab인지 확인
합과 차의 곱
a² − b² = (a + b)(a − b)
두 제곱의 차는 합과 차의 곱으로 묶인다.
🔍 어떤 공식을 쓸지 고르는 요령
①항이 세 개이고 양 끝이 제곱 꼴이면 완전제곱식인지 의심한다.
②그때 가운데 항이 2 × (첫째 항의 제곱근) × (셋째 항의 제곱근)과 같은지 확인한다.
③항이 두 개이고 둘 다 제곱인데 빼기로 이어져 있으면 합과 차의 곱으로 묶는다.
x² + (p + q)x + pq 꼴
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곱이 상수항인 두 정수 p, q의 쌍과 그 합, 그리고 묶은 꼴
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두 수 찾기
x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
곱이 상수항이고 합이 x의 계수인 두 수 p, q를 찾는다.
🧩 두 수를 찾는 순서
①상수항이 되는 두 수의 곱의 쌍을 모두 적는다. 음수의 쌍도 빠뜨리지 않는다.
②그 가운데 합이 x의 계수와 같은 쌍을 고른다.
③곱이 양수인데 합이 음수이면 두 수 모두 음수이고, 곱이 음수이면 두 수의 부호가 다르다.
공통인수
공통인수로 묶기
ma + mb = m(a + b)
모든 항에 들어 있는 인수를 먼저 앞으로 꺼낸다.
📌 인수분해의 순서
①공통인수가 있으면 먼저 묶는다.
②남은 식에 곱셈 공식이나 두 수 찾기를 쓴다.
③더 묶을 수 없을 때까지 되풀이한다.
④예를 들어 2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)²이다. 공통인수 2를 먼저 꺼내야 완전제곱식이 보인다.
예제로 확인하기
예제 1
다항식 x²+6x+9를 인수분해하시오.
1
양 끝 항이 제곱인지 본다. x²은 x의 제곱이고 9는 3의 제곱이다.
x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²
2
가운데 항 6x가 2 · x · 3과 같으므로 완전제곱식이다.
= (x+3)²
▸ (x+3)²
가운데 항이 2 × (양 끝 항의 제곱근의 곱)과 같으면 완전제곱식이다.
예제 2
다항식 x²−7x+12를 인수분해하시오.
1
곱이 12이고 합이 −7인 두 수를 찾으면 −3과 −4다.
(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7
2
(x + p)(x + q) 꼴에 p = −3, q = −4를 넣는다.
= (x−3)(x−4)
▸ (x−3)(x−4)
곱이 양수이고 합이 음수이면 두 수는 모두 음수다.
시험 포인트 정리
인수분해 공식
a² ± 2ab + b² = (a ± b)², a² − b² = (a + b)(a − b)