인수분해

Factorization

인수분해는 하나로 펼쳐진 다항식을 다시 여러 인수의 곱으로 묶는 과정으로, 전개와 정반대 방향이에요. 여러 재료가 섞인 완성품을 원래 재료로 되돌리듯, x²+6x+9를 (x+3)² 같은 곱의 꼴로 되돌리는 거예요. 완전제곱식과 합차 공식을 살펴보고, 곱이 상수항이고 합이 일차항 계수가 되는 두 수를 찾는 요령도 익혀요. 두 수 a, b와 상수항을 바꾸면 넓이 조각이 하나의 정사각형으로 조립되고 인수 쌍이 보여요.

인수분해란?: 곱셈 공식의 역방향

🔄 전개 ↔ 인수분해

①전개: (a+b)² → a²+2ab+b² (곱 → 합)

②인수분해: a²+2ab+b² → (a+b)² (합 → 곱)

③인수분해는 곱셈 공식을 거꾸로 읽는 것!

곱셈 공식을 이용한 인수분해

완전제곱식

a²+2ab+b² = (a+b)²

가운데 항이 2ab인지 확인

합차 공식

a²−b² = (a+b)(a−b)

제곱의 차 → 합×차

🔍 판별 요령

①항이 3개이고 양 끝이 완전제곱수 → 완전제곱식 의심

②항이 2개이고 둘 다 제곱 → 합차 공식

③가운데 항 = 2 × (첫째 제곱근) × (셋째 제곱근) 확인

x²+(a+b)x+ab형 인수분해

상수항 (pq)6

인수 쌍 찾기

x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)

곱이 상수항, 합이 일차항의 계수

🧩 인수 찾기 전략

①상수항의 약수 쌍을 모두 나열

②그 중 합이 일차항 계수와 같은 쌍을 선택

③음수 쌍도 반드시 확인!

공통인수

공통인수 묶기

ma+mb = m(a+b)

항상 공통인수를 먼저 뽑아낸다

📌 인수분해 순서

①1단계: 공통인수가 있으면 먼저 묶는다

②2단계: 남은 식에 곱셈 공식 적용

③3단계: 더 이상 분해할 수 없을 때까지 반복

④예: 2x²+4x+2 = 2(x²+2x+1) = 2(x+1)². 이 예는 글 상자예요. 슬라이더 a, b는 양수라 공통인수 2를 꺼내는 상태를 만들지 않아요. 치환 꼴은 이 장에 없어요

직접 풀어보기

예제 1

다항식 x²+6x+9를 인수분해하시오.

양 끝 항이 완전제곱수인지 본다: x²=(x)², 9=3².

x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²

가운데 항 6x = 2·x·3이므로 완전제곱식이다.

= (x+3)²

▸ (x+3)²

가운데 항이 2×(양 끝 제곱근의 곱)과 같으면 완전제곱식이다.

예제 2

다항식 x²−7x+12를 인수분해하시오.

곱이 12, 합이 −7인 두 수를 찾는다: −3과 −4.

(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7

x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q) 꼴로 묶는다.

= (x−3)(x−4)

▸ (x−3)(x−4)

곱이 양수, 합이 음수이면 두 수 모두 음수이다.

시험 포인트 정리

인수분해 공식 정리

a²±2ab+b² = (a±b)², a²−b² = (a+b)(a−b)

곱셈 공식의 역방향 = 인수분해

중3 내신 유형

다항식 x²−25를 인수분해한 것으로 옳은 것은?

①(x+5)²

②(x−5)²

③(x+5)(x−5)

④(x+25)(x−1)

⑤5(x−5)

▸ ③ (x+5)(x−5)

x²−25 = x²−5²으로 제곱의 차 꼴임을 본다.

x²−25 = x²−5²

합차 공식 a²−b²=(a+b)(a−b)을 적용한다.

= (x+5)(x−5)

🎯 시험 포인트

①공통인수 먼저 뽑기를 잊지 않기

②완전제곱식 판별: 가운데 항 = 2×(양 끝 제곱근의 곱)

③합차 공식: 빼기 형태면 바로 적용

④인수 쌍: 상수항의 약수 쌍 중 합이 맞는 것 찾기

⑤인수분해 결과를 다시 전개해서 검산하는 습관!