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중학교 3학년 (14-15세)

다항식의 곱셈과 곱셈 공식

Polynomial Multiplication & Formulas

다항식끼리의 곱셈은 분배법칙만 있으면 할 수 있지만, 자주 나오는 몇 가지 꼴은 곱셈 공식으로 외워 두면 훨씬 빨라요. 한 변이 a + b인 정사각형을 a², ab, ab, b² 네 조각으로 나누면 (a + b)² = a² + 2ab + b²가 넓이로 그대로 보여요. 부호만 바꾼 (a − b)²은 가운데 항만 −2ab가 되고, 합과 차를 곱한 (a + b)(a − b)는 가운데 항이 서로 지워져 a² − b²만 남아요. 이 공식들은 101²이나 51 × 49 같은 수 계산을 암산으로 바꿔 주고, 다음 단원의 인수분해에서는 거꾸로 쓰여요.

(a + b)²을 넓이로 보기

3
2
📐 넓이 그림으로 알 수 있는 것
①한 변이 a + b인 정사각형의 넓이는 (a + b)²이다.
②이 정사각형은 a², ab, ab, b² 네 조각으로 나뉜다.
③그래서 (a + b)² = a² + 2ab + b²이다.
④(a + b)²을 a² + b²으로 쓰면 두 개의 ab 조각이 빠진다. 그림에서 a = 3, b = 2이면 25와 13으로 12만큼 차이 난다.

차의 제곱 (a − b)²

합의 제곱
(a + b)² = a² + 2ab + b²
두 수 각각의 제곱에 두 수의 곱의 2배를 더한다.
차의 제곱
(a − b)² = a² − 2ab + b²
가운데 항의 부호만 바뀐다.
💡 부호를 판단하는 요령
①(a + b)²의 가운데 항은 +2ab다.
②(a − b)²의 가운데 항은 −2ab다.
③양 끝 a²과 b²은 제곱이므로 언제나 + 부호다.
④(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab도 함께 쓰는 전개 공식이다.

합과 차의 곱 (a + b)(a − b)

5
2
합과 차의 곱
(a + b)(a − b) = a² − b²
전개하면 +ab와 −ab가 서로 지워진다.

곱셈 공식의 활용

수 계산에 쓰기
101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201
계산하기 쉬운 수로 나눠 곱셈 공식을 쓰면 큰 수의 곱도 암산할 수 있다.
🧮 활용의 예
①99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801이다.
②51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499이다.
③(√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3처럼 근호가 들어 있어도 공식은 그대로 쓸 수 있다.

예제로 확인하기

예제 1
(x + 3)²을 전개하시오.
1
합의 제곱 공식 (a + b)² = a² + 2ab + b²에 a = x, b = 3을 넣는다.
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²
2
각 항을 계산해 정리한다.
= x² + 6x + 9
▸ x² + 6x + 9
완전제곱식의 가운데 항 2ab를 빠뜨리지 않는다.
예제 2
(x + 2)(x − 5)를 전개하시오.
1
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab에 a = 2, b = −5를 넣는다.
x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)
2
합 2 + (−5) = −3과 곱 2 × (−5) = −10을 계산한다.
= x² − 3x − 10
▸ x² − 3x − 10
x의 계수는 두 수의 합이고, 상수항은 두 수의 곱이다.

시험 포인트 정리

곱셈 공식
(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b²
이 공식들이 인수분해와 이차방정식의 바탕이 된다.
중3 내신 유형
(x + 4)(x − 4)를 전개하면?
①x² − 8
②x² + 16
③x² − 16
④x² − 8x − 16
⑤x² − 16x
▸ ③ x² − 16
1
합과 차의 곱 (a + b)(a − b) = a² − b²를 쓴다.
(x + 4)(x − 4) = x² − 4²
2
계산한다.
= x² − 16
🎯 시험 포인트
①(a + b)²은 a² + b²이 아니다. 2ab를 빠뜨리지 않는다.
②합과 차의 곱은 거꾸로 쓰는 인수분해에서 더 자주 나온다.
③근호나 분수가 들어 있어도 곱셈 공식은 그대로 쓴다.
④(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab도 함께 익힌다.
⑤전개한 뒤 동류항까지 정리해야 답이 끝난다.
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근호를 포함한 식의 계산
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인수분해

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