다항식의 곱셈과 곱셈 공식

Polynomial Multiplication & Formulas

복잡해 보이는 곱셈도 넓이 그림으로 보면 한눈에 들어와요. 한 변이 a+b인 정사각형을 네 조각으로 나누면 a², ab, ab, b²가 되어 (a+b)² = a² + 2ab + b²라는 공식이 저절로 보여요. 부호만 바꾸면 (a−b)²이 되고, 합과 차를 곱한 (a+b)(a−b)는 가운데가 사라져 a² − b²만 남아요. 이 페이지에서는 a와 b를 슬라이더로 바꿔 가며 넓이 조각이 어떻게 나뉘고 왜 그 공식이 성립하는지 직접 확인하고, 101²이나 51×49 같은 계산에도 써 봐요.

(a+b)²: 넓이로 이해하기

📐 넓이 모델의 핵심

①한 변의 길이 (a+b)인 정사각형의 넓이 = (a+b)²

②이것을 네 조각으로 나누면: a² + ab + ab + b²

③따라서 (a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² 완전제곱식

완전제곱식 (합)

(a+b)² = a² + 2ab + b²

합의 제곱 = 각각 제곱 + 2배 곱

완전제곱식 (차)

(a−b)² = a² − 2ab + b²

차의 제곱: 가운데 항만 부호가 바뀜

💡 부호 판단 요령

①(a+b)²: 가운데 +2ab

②(a−b)²: 가운데 −2ab

③양쪽 끝 a², b²는 항상 양수 (제곱이니까!)

(a+b)(a-b): 합차 공식

합차 공식

(a+b)(a−b) = a² − b²

합×차 = 제곱의 차

곱셈 공식의 활용

수 계산 응용

101² = (100+1)² = 10000+200+1 = 10201

곱셈 공식으로 복잡한 수 계산을 간단하게

🧮 활용 예시

①99² = (100−1)² = 10000−200+1 = 9801

②51×49 = (50+1)(50−1) = 2500−1 = 2499

③(√3+1)² = 3+2√3+1 = 4+2√3 (근호와 결합)

직접 풀어보기

예제 1

(x + 3)²을 전개하시오.

완전제곱 공식 (a + b)² = a² + 2ab + b²를 쓴다.

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

정리한다.

= x² + 6x + 9

▸ x² + 6x + 9

완전제곱식의 가운데 항 2ab를 빠뜨리지 않도록 주의한다.

예제 2

(x + 2)(x − 5)를 전개하시오.

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab 공식을 쓴다 (a = 2, b = −5).

x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)

정리한다.

= x² − 3x − 10

▸ x² − 3x − 10

일차항 계수는 두 수의 합, 상수항은 두 수의 곱이다.

시험 포인트 정리

곱셈 공식 3가지

(a±b)² = a²±2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b²

이 세 가지가 인수분해·이차방정식의 기초

중3 내신 유형

(x + 4)(x − 4)를 전개하면?

①x² − 8

②x² + 16

③x² − 16

④x² − 8x − 16

⑤x² − 16x

▸ ③ x² − 16

합과 차의 곱 (a + b)(a − b) = a² − b²를 쓴다.

(x + 4)(x − 4) = x² − 4²

계산한다.

= x² − 16

🎯 시험 포인트

①(a+b)² ≠ a²+b²: 2ab를 빠뜨리면 안 됨

②합차 공식은 역방향(인수분해)에서 더 자주 출제

③근호·분수 포함 문제에서도 곱셈 공식 그대로 적용

④(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab도 반드시 암기

⑤전개 후 동류항 정리까지 완료해야 정답