seegongsik
중학교 3학년 (14-15세)

근호를 포함한 식의 계산

Operations with Radicals

근호가 들어 있는 수도 정해진 규칙을 따르면 더 간단한 꼴로 정리할 수 있어요. √12처럼 근호 안의 수를 소인수분해해 2 × 2 × 3으로 쪼개면, 같은 수 두 개가 짝을 이룬 2는 근호 밖으로 나와 2√3이 돼요. 근호 부분이 같은 2√3과 5√3은 문자의 동류항처럼 계수만 더해 7√3이 되고, 곱셈과 나눗셈은 근호 안의 수끼리 계산해요. 분모에 근호가 남으면 분모와 분자에 같은 근호를 곱해 분모를 유리수로 바꾸는데, 이것을 분모의 유리화라고 해요.

근호 안을 소인수분해해 간단히 하기

12
🔧 간단히 하는 원리
①같은 수 두 개의 곱 a²은 근호 밖으로 a가 되어 나온다. √(a² × b) = a√b
②√12 = √(2² × 3) = 2√3이다.
③√48 = √(4² × 3) = 4√3이다.
④짝이 없는 소인수만 남으면 더 간단히 할 수 없다. 그림에서 n = 30이면 2 × 3 × 5로 모두 짝이 없다.

근호의 덧셈과 뺄셈은 같은 근호끼리

3
2
📏 덧셈의 핵심
①근호 부분이 같아야 계수끼리 더하거나 뺄 수 있다. 문자의 동류항과 같다.
②2√3 + 5√3 = 7√3이다.
③2√3 + 5√2는 근호 부분이 달라 더 간단히 할 수 없다.
④근호 부분이 달라 보여도 먼저 간단히 하면 같아질 때가 있다. √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3

근호의 곱셈과 나눗셈

곱셈
√a × √b = √(ab) (a > 0, b > 0)
근호끼리 곱하면 근호 안의 수끼리 곱한다.
나눗셈
√a√b = √(ab)
근호끼리 나누면 근호 안의 수끼리 나눈다.
💡 곱셈과 나눗셈에서 주의할 점
①√2 × √3 = √6이다.
②√6 ÷ √2 = √3이다.
③(2√3)² = 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12다. 계수도 함께 제곱한다.
④곱셈과 달리 덧셈은 근호 안끼리 합칠 수 없다. √a + √b ≠ √(a + b)

분모의 유리화

분모의 유리화
a√b = a√bb
분모와 분자에 √b를 곱해 분모의 근호를 없앤다.
🧹 유리화하는 이유
①분모에 근호가 있으면 크기를 비교하거나 어림하기 어렵다.
②분모와 분자에 같은 근호를 곱하면 (√b)² = b이므로 분모가 유리수가 된다.
③예를 들어 1/√2 = √2/2 ≈ 0.707이다.

예제로 확인하기

예제 1
√2 × √8을 계산하시오.
1
근호끼리 곱하면 근호 안의 수를 곱한다.
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16
2
16은 4의 제곱이므로 √16 = 4다.
= 4
▸ 4
근호끼리 곱한 결과가 제곱수이면 근호가 없어진다.
예제 2
2√3 + 5√3을 계산하시오.
1
근호 부분이 같으므로 계수끼리 더한다.
(2 + 5)√3
2
2 + 5 = 7이다.
= 7√3
▸ 7√3
근호 부분이 같아야 동류항처럼 더할 수 있다.

시험 포인트 정리

근호 계산 정리
a√m ± b√m = (a ± b)√m
근호 부분이 같은 항끼리 계수만 더하거나 뺀다.
중3 내신 유형
6/√3의 분모를 유리화하면?
①2√3
②3√3
③√3
④6√3
⑤2
▸ ① 2√3
1
분모와 분자에 √3을 곱한다.
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3
2
약분한다.
= 2√3
🎯 시험 포인트
①먼저 간단히 한다. √48 + √12 = 4√3 + 2√3 = 6√3이다.
②답의 분모에 근호가 남지 않도록 유리화한다.
③(√a)² = a를 이용한다.
④√a × √b = √(ab)이지만 √a + √b ≠ √(a + b)이다.
⑤근호 안에는 음수가 올 수 없다(실수의 범위에서).
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