근호를 포함한 식의 계산 Operations with Radicals
근호가 붙은 수도 알고 보면 더 깔끔하게 정리할 수 있어요.
예를 들어 √12는 4와 3의 곱이니까, 짝을 이루는 4를 밖으로 꺼내 2√3으로 간단히 만들 수 있어요.
또 2√3과 5√3처럼 근호 안이 같은 수끼리는 같은 단위로 묶어 계수만 더하고, 곱셈이나 나눗셈은 근호 안끼리 처리하며, 분모에 남은 근호는 유리화로 없애요.
이 페이지에서는 슬라이더로 수를 바꿔 소인수가 어떻게 짝지어 밖으로 나오는지, 같은 근호끼리 막대로 어떻게 합쳐지는지 눈으로 확인해 봐요.
근호 간소화: 소인수분해로 쪼개기
see gongsik.com
소인수분해로 √n을 간소화하는 과정 🔧 간소화 원리
①√(a²×b) = a√b: 쌍을 이루는 인수를 밖으로
②예: √12 = √(4×3) = 2√3
③예: √48 = √(16×3) = 4√3
근호의 덧셈·뺄셈: 같은 근호끼리만!
see gongsik.com
같은 근호의 계수끼리 더하는 과정 📏 덧셈의 핵심
①근호 부분이 같아야 합칠 수 있다 (동류항처럼)
②2√3 + 5√3 = 7√3 ✓
③2√3 + 5√2 = 그대로 ✗ (합칠 수 없음)
④먼저 간소화 → 같은 근호로 만들기: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
근호의 곱셈·나눗셈
곱셈 공식
√a × √b = √(ab)
근호끼리의 곱 → 근호 안끼리 곱
나눗셈 공식
√a √b = √( a b )
근호끼리의 나눗셈 → 근호 안끼리 나눗셈
💡 곱셈·나눗셈 포인트
①√2 × √3 = √6
②√6 ÷ √2 = √3
③(2√3)² = 4 × 3 = 12: 계수도 제곱!
분모의 유리화
분모 유리화
a √b = a√b b
분모·분자에 √b를 곱해서 분모의 근호를 없앰
🧹 유리화 이유
①분모에 √가 있으면 값을 비교하기 어려움
②분모·분자에 같은 √를 곱하면 분모가 유리수가 됨
③예: 1/√2 = √2/2 ≈ 0.707...
직접 풀어보기
예제 1
√2 × √8을 계산하시오.
1 근호의 곱은 √a × √b = √(ab)로 합친다.
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16
▸ 4
근호끼리의 곱셈은 근호 안의 수를 곱한다.
예제 2
2√3 + 5√3을 계산하시오.
1 근호가 같은 항은 계수끼리 더한다.
(2 + 5)√3
▸ 7√3
근호 부분이 같아야 동류항처럼 더할 수 있다.
시험 포인트 정리
근호 계산 총정리
a√m ± b√m = (a±b)√m
동류근호의 덧셈·뺄셈 = 계수끼리 연산
중3 내신 유형
6/√3의 분모를 유리화하면?
▸ ① 2√3
1 분모와 분자에 √3을 곱한다.
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3
🎯 시험 포인트
①간소화 먼저! √48 + √12 → 4√3 + 2√3 = 6√3
②분모 유리화 잊지 말기
③(√a)² = a 활용한 계산
④√a × √b = √(ab)이지만 √a + √b ≠ √(a+b)
⑤근호 안에 음수 불가