제곱근과 실수

제곱근이 뭘까?

제곱한 결과만 알고 원래의 수를 되찾지 못하면, 넓이만 주어진 자리에서 한 변을 수로 부를 길이 끊긴다. 어떤 자연수를 제곱해도 딱 맞지 않는 길이가 실제로 있고, 분수로 떨어지지 않는 그 값을 무리수라 부른다. 유리수와 무리수를 한데 모은 실수가 수직선의 빈자리를 메우므로, 근호 안이 완전제곱이 아니어도 그 점은 직선 위에 놓여요. 제곱과 제곱근을 한 관계로 보면 한 변과 넓이가 서로를 되돌린다는 뜻이 선다.

0부터 4까지 눈금이 있는 수직선 위에 √n 점이 찍혀 있고, 점 위에는 근호 값의 소수 셋째 자리 근삿값이, 더 위에는 (√n)² = n 이 적혀 있다. n이 2 이상이면 0과 1 사이에 빗변을 √n 으로 적은 직각삼각형 보조선이 점선으로 이어져 있고, n이 어떤 정수의 제곱이면 완전제곱이라는 문구가, 아니면 이웃한 두 제곱 사이에 끼어 있다는 부등식이 아래에 나타난다. n을 1부터 16까지 바꾸면 점의 자리와 근삿값, 보조선과 아래 문구가 같이 바뀌어요. 다른 그림은 √2 근처를 확대하는데 위쪽 점은 그 구간의 유리수이고 아래 점은 √2 이며, 확대 배율을 1부터 10까지 높이면 보이는 구간이 좁아지면서 유리수 점이 더 촘촘히 찍힌다.

유리수와 무리수

근호 안의 수가 자연수가 아니면 값이 없다고 생각하기 쉽다. 한 변이 자연수의 제곱으로 떨어지지 않는 정사각형도 실제로 그 길이를 갖고, 다만 그 길이가 분수로 딱 맞지 않을 뿐이다. 음수의 제곱근을 실수로 적는 일은 여기서 쓰는 정의 범위를 넘으니, 0 이상인 수에서 양의 제곱근과 그 직선 위 위치부터 읽어야 한다. 제곱 쪽으로 보면 부호가 다른 두 근이 나올 수 있지만, 근호 기호 자체는 그중 음이 아닌 쪽만 가리켜요.

제곱근의 성질

제곱근의 대소 비교

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