제곱근은 제곱해서 어떤 수가 되는 수를 거꾸로 찾는 일이에요. 3² = 9이므로 3과 −3은 9의 제곱근이고, 기호 √9는 그중 양수인 3을 가리켜요.
넓이가 2인 정사각형의 한 변처럼, 어떤 자연수나 분수를 제곱해도 딱 맞지 않는 길이가 실제로 있어요.
이렇게 분수로 나타낼 수 없는 수를 무리수라 하고, 유리수와 무리수를 합친 실수는 수직선을 빈틈없이 채워요.
그림에서 n을 바꾸면 √n이 수직선 어디에 놓이는지, 그리고 그 값이 어느 두 자연수 사이에 끼어 있는지 함께 보여요.
제곱근이란
정사각형의 넓이만 알고 한 변의 길이를 수로 말하려면 제곱을 거꾸로 되돌리는 연산이 필요하다. 넓이가 4이면 한 변은 2라고 바로 답할 수 있지만, 넓이가 2이면 어떤 자연수나 분수를 제곱해도 2가 되지 않는다. 그래서 그 길이를 √2라는 새 기호로 부르고, 분수로 나타낼 수 없는 이런 수를 무리수라고 한다. 유리수만으로는 수직선에 빈틈이 남는데, 무리수까지 모은 실수가 그 빈틈을 채워 수직선 위의 점과 실수가 하나씩 짝을 이루게 돼요.
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n을 바꿀 때 수직선 위 √n의 자리와 어림값, 이웃한 두 제곱수 사이의 부등식
첫 그림은 0부터 4까지 눈금이 있는 수직선 위에 √n의 자리를 점으로 찍고, 그 위에 어림값을, 맨 위에 (√n)² = n을 적는다. n이 2 이상이면 두 변이 1과 √(n − 1)인 직각삼각형의 빗변이 √n이라는 것을 점선으로 나타냈는데, 세로는 줄여 그린 개략도다. 맨 아래에는 n이 완전제곱수이면 그 사실이, 아니면 √n이 이웃한 두 자연수 사이에 있다는 부등식이 적힌다. 둘째 그림에서는 √2 근처를 확대하는데, 확대할수록 유리수 점이 더 촘촘히 보이지만 √2 자리에는 끝내 유리수가 닿지 않는다.
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👀 제곱근의 뜻
①제곱해서 n이 되는 수를 n의 제곱근이라 한다. 양수 n의 제곱근은 부호가 다른 두 수이고, 기호 √n은 그중 양수만 가리킨다.
②√4 = 2, √9 = 3처럼 정수로 딱 떨어지는 4, 9를 완전제곱수라 한다.
③√2, √3처럼 딱 떨어지지 않는 수는 무리수다.
④어떤 수가 완전제곱수인지는 소인수분해했을 때 모든 지수가 짝수인지로 판별한다.
유리수와 무리수
근호 안의 수가 완전제곱수가 아니면 값이 없다고 생각하기 쉽지만, √2는 수직선 위의 정해진 한 점이고 다만 분수나 끝나는 소수로 나타낼 수 없을 뿐이다. 또 기호 √a는 a의 두 제곱근 가운데 0 이상인 쪽만 가리키므로, 9의 제곱근은 ±3이지만 √9는 3 하나다. 음수를 제곱해서 나오는 실수는 없으니 √(−4)는 실수의 범위에서 정의되지 않는다. √(a²)도 a가 아니라 |a|라는 점을 함께 기억해 두면 부호 실수를 줄일 수 있어요.