중학교 2학년 (13-14세)

경우의 수와 확률

Counting & Probability

확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 0부터 1 사이의 수로 나타낸 값이에요. 주사위를 던지면 1부터 6까지 여섯 가지 결과가 똑같이 나올 수 있으니, 원하는 결과의 가짓수를 6으로 나누면 확률이 돼요. 그래서 확률의 출발점은 경우의 수를 빠짐없이, 겹치지 않게 세는 일이고, 이때 수형도가 든든한 도구가 돼요. 동전을 한 번 더 던질 때마다 수형도의 가지가 둘로 갈라지기 때문에 경우의 수가 2배씩 늘어나는데, 이것이 곱의 법칙이에요.

일어날 수 있는 모든 경우

n (n 이하의 눈)3

👀 확률이란

①주사위를 던지면 1부터 6까지 여섯 눈 가운데 하나가 나오고, 어느 눈이든 나올 가능성이 같다.

②3 이하의 눈은 1, 2, 3으로 세 가지다.

③확률은 원하는 경우의 수를 모든 경우의 수로 나눈 값이므로 3/6 = 1/2이다. 그림에서 n을 바꾸면 칠해진 주사위 수와 막대 길이가 함께 바뀐다.

경우의 수와 수형도

동전을 던지는 횟수2

합의 법칙

동시에 일어나지 않는 두 사건 A, B → A 또는 B의 경우의 수 = m + n

두 사건이 함께 일어날 수 있으면 겹치는 경우를 한 번 빼야 한다.

곱의 법칙

A가 m가지, 그 각각에 대해 B가 n가지 → A와 B가 잇따라 일어나는 경우의 수 = m × n

수형도에서 한 단을 지날 때마다 가지 수가 곱해진다.

확률의 기본 성질

확률의 뜻

P(A) = 사건 A가 일어나는 경우의 수모든 경우의 수

모든 결과가 같은 정도로 일어날 수 있을 때 쓰며, 값은 0 ≤ P(A) ≤ 1이다.

💡 확률의 범위

①반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다. 주사위에서 6 이하의 눈이 나올 확률이 그렇다.

②절대 일어나지 않는 사건의 확률은 0이다. 7의 눈이 나올 확률이 그렇다.

③그래서 어떤 사건의 확률이든 0 이상 1 이하다.

④사건 A가 일어날 확률과 일어나지 않을 확률을 더하면 1이다.

여사건으로 계산하기

여사건의 확률

P(A^c) = 1 - P(A)

A가 일어나지 않을 확률 = 1 − (A가 일어날 확률)

📝 「적어도」가 나오면 여사건

①동전 두 개를 던질 때 적어도 하나가 앞면일 확률을 구한다.

②앞앞, 앞뒤, 뒤앞을 하나씩 세어도 되지만, 반대쪽인 「모두 뒷면」은 뒤뒤 한 가지뿐이라 훨씬 세기 쉽다.

③P(적어도 하나 앞면) = 1 − P(모두 뒷면) = 1 − 1/4 = 3/4이다. 수형도에서 빨간 글자로 표시된 끝 가지가 바로 이 여사건이다.

예제로 확인하기

예제 1

한 개의 주사위를 던질 때, 짝수 또는 3의 배수의 눈이 나오는 경우의 수를 구하시오.

짝수는 {2, 4, 6}로 3가지, 3의 배수는 {3, 6}으로 2가지, 공통(6)은 1가지이다.

3 + 2 − 1

중복을 한 번 빼서 더한다.

= 4 (가지)

▸ 4가지

겹치는 사건은 합의 법칙이 아니라 n(A)+n(B)−n(A∩B)로 센다.

예제 2

한 개의 주사위를 던질 때, 소수의 눈이 나올 확률을 구하시오.

소수는 {2, 3, 5}로 3가지, 전체는 6가지이다.

P = 3/6

약분한다.

= 1/2

▸ 1/2

확률 = (사건의 경우의 수) ÷ (전체 경우의 수).

시험 포인트 정리

확률의 핵심

P(A) = n(A)n(S), P(A^c) = 1 - P(A)

경우의 수를 빠짐없이, 겹치지 않게 세는 것이 모든 확률 문제의 출발점이다.

중2 내신 유형

동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경우의 수는?

①6

②8

③12

④18

⑤36

▸ ③ 12

곱의 법칙을 쓴다. 동전은 2가지, 주사위는 6가지이다.

2 × 6

계산한다.

= 12 (가지)

🎯 시험 포인트

①합의 법칙은 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때만 그대로 더한다. 겹치면 n(A) + n(B) − n(A∩B)로 센다.

②「잇따라」, 「동시에」가 나오면 곱의 법칙이다.

③동전을 n번 던지면 경우의 수는 2ⁿ가지, 주사위를 n번 던지면 6ⁿ가지다.

④「적어도」가 나오면 반대 사건을 세어 1에서 뺀다.

⑤확률은 언제나 0 이상 1 이하이므로 1보다 큰 값이 나오면 셈이 틀린 것이다.

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마지막 수정 2026-10-17

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