경우의 수와 확률

Counting & Probability

확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 0과 1 사이의 수로 나타낸 거예요. 주사위를 던지면 1부터 6까지 여섯 경우가 나오는데, 그중 원하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누면 바로 확률이 돼요. 여러 사건을 셀 때는 '또는'이면 더하고 '그리고'면 곱하는데, 동전을 여러 번 던져 수형도를 그려 보면 경우의 수가 왜 2배씩 늘어나는지 보여요. 주사위 눈과 동전 개수를 바꾸면 확률과 수형도의 경우의 수가 보여요.

직관 도입: 일어날 수 있는 모든 경우

이하 (n이하가 나올 확률)3

👀 확률이란?

①주사위를 던지면 1~6 중 하나가 나온다 (전체 6가지)

②3이하가 나올 경우: 1, 2, 3 → 3가지

③확률 = 원하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수 = 3/6

경우의 수: 합의 법칙과 곱의 법칙

동전 던지기 횟수2

합의 법칙

겹치지 않는(배반) 두 사건 → 경우의 수를 더한다

겹치면 n(A)+n(B)−n(A∩B)

곱의 법칙

연이어 일어나는 두 사건 → 경우의 수를 곱한다

A 그리고 B → n(A) × n(B)

확률의 기본 성질

확률의 정의

P(A) = 사건 A가 일어나는 경우의 수모든 경우의 수

0 ≤ P(A) ≤ 1

💡 확률의 성질

①반드시 일어나는 사건: P = 1

②절대 일어나지 않는 사건: P = 0

③모든 확률은 0 이상 1 이하

④P(A) + P(A가 아닌 사건) = 1

확률의 계산

여사건의 확률

P(A^c) = 1 - P(A)

'~가 아닌' 확률 = 1 - '~인' 확률

📝 여사건 활용 예시

①'적어도 하나가 앞면'의 확률을 구하라

②직접 세기 어려움 → 여사건 활용

③P(적어도 하나 앞) = 1 - P(모두 뒤) = 1 - 1/4 = 3/4

직접 풀어보기

예제 1

한 개의 주사위를 던질 때, 짝수 또는 3의 배수의 눈이 나오는 경우의 수를 구하시오.

짝수는 {2, 4, 6}로 3가지, 3의 배수는 {3, 6}으로 2가지, 공통(6)은 1가지이다.

3 + 2 − 1

중복을 한 번 빼서 더한다.

= 4 (가지)

▸ 4가지

겹치는 사건은 합의 법칙이 아니라 n(A)+n(B)−n(A∩B)로 센다.

예제 2

한 개의 주사위를 던질 때, 소수의 눈이 나올 확률을 구하시오.

소수는 {2, 3, 5}로 3가지, 전체는 6가지이다.

P = 3/6

약분한다.

= 1/2

▸ 1/2

확률 = (사건의 경우의 수) ÷ (전체 경우의 수).

시험 포인트 정리

확률 핵심 공식

P(A) = n(A)n(S), P(A^c) = 1 - P(A)

경우의 수를 정확히 세는 것이 확률의 출발점

중2 내신 유형

동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경우의 수는?

①6

②8

③12

④18

⑤36

▸ ③ 12

곱의 법칙을 쓴다. 동전은 2가지, 주사위는 6가지이다.

2 × 6

계산한다.

= 12 (가지)

🎯 시험 포인트

①합의 법칙은 배반일 때만 더한다. 겹치면 n(A)+n(B)−n(A∩B). '그리고' → 곱

②수형도를 그려서 경우의 수를 빠짐없이 세기

③동전 n번: 경우의 수 = 2^n, 주사위 n번: 6^n

④여사건: '적어도 하나'가 나오면 여사건으로 계산

⑤확률은 항상 0~1 사이: 1보다 크면 틀린 것