seegongsik
중학교 2학년 (13-14세)

평행선과 선분의 비

Parallel Lines & Proportional Segments

평행선 여러 개가 두 직선을 가로지르면, 한 직선 위에 생긴 선분의 비가 다른 직선 위에서도 똑같이 나타나요. 잘린 길이 자체는 직선마다 다르지만, 길고 짧은 비율은 평행선이 그대로 옮겨 주는 셈이에요. 삼각형에서도 한 변에 평행한 선분을 그으면 나머지 두 변이 같은 비로 나뉘고, 두 변의 중점을 이은 선분은 밑변과 평행하면서 길이가 정확히 절반이 돼요. 첫 그림에서는 두 직선의 길이 a, b, c, d가 서로 달라도 a : b와 c : d가 늘 같은 값으로 움직이는 것을 볼 수 있어요.

평행선이 비를 옮긴다

2
👀 평행선과 선분의 비
①세 평행선 ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃이 두 직선을 자르면 한 직선 위에 선분 a, b가, 다른 직선 위에 선분 c, d가 생긴다.
②두 직선의 기울기가 달라 a와 c, b와 d의 길이는 다르다.
③그래도 a : b = c : d가 언제나 성립한다. 그림에서 비를 바꾸면 네 길이가 모두 달라지지만 두 비는 함께 움직인다.

삼각형 안의 평행선

0.5
삼각형과 평행선
DE ∥ BC → AD : AB = AE : AC = DE : BC
한 변에 평행한 선분은 나머지 두 변을 같은 비로 나눈다. △ADE와 △ABC가 닮음이기 때문이다.

중점연결정리

중점연결정리
D, E가 중점 → DE ∥ BC, DE = 12BC
두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 길이는 그 변의 절반이다.
💡 중점연결정리를 읽는 법
①AB, AC의 중점을 D, E라 하면 AD : AB = AE : AC = 1 : 2이다.
②그래서 △ADE는 △ABC를 1/2로 줄인 닮은 삼각형이고, DE ∥ BC이다.
③닮음비가 1 : 2이므로 DE = BC/2이다. 위 그림에서 값을 0.5에 맞추면 네 토막에 같은 길이 표시가 붙고 이 관계가 나타난다.

평행선과 비의 활용

📝 자주 쓰는 세 가지
①사다리꼴 안에 밑변과 평행한 선이 있으면 평행선과 비로 비례식을 세운다.
②삼각형 안에 평행선이 있으면 닮음비를 이용해 모르는 변의 길이를 구한다.
③중점이 두 개 주어지면 중점연결정리로 길이를 2배 또는 절반으로 바로 구한다.

예제로 확인하기

예제 1
△ABC에서 DE ∥ BC이고 AD = 3, DB = 6, AE = 4일 때, EC의 길이를 구하시오.
1
평행선이 삼각형의 두 변을 나누므로 AD : DB = AE : EC가 성립한다.
3 : 6 = 4 : EC
2
비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱이 같다.
3 × EC = 24 ⇒ EC = 8
▸ EC = 8
삼각형에서 한 변에 평행한 직선은 나머지 두 변을 같은 비로 나눈다.
예제 2
세 평행선이 한 직선을 1 : 2로 나눈다. 다른 직선에서 대응하는 부분이 3과 x일 때, x를 구하시오.
1
평행선은 두 직선을 같은 비로 나눈다.
1 : 2 = 3 : x
2
비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱이 같다.
1 × x = 2 × 3 ⇒ x = 6
▸ x = 6
평행선이 만드는 선분의 비는 어느 직선에서 재어도 같다.

시험 포인트 정리

평행선과 선분의 비
ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ → a : b = c : d
평행선은 길이가 아니라 비를 옮긴다. 이 한 문장이 단원 전체를 꿰뚫는다.
중2 내신 유형
△ABC에서 두 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라 할 때, BC = 10이면 MN의 길이는?
①4
②5
③6
④8
⑤10
▸ ② 5
1
중점연결정리에 따라 MN은 BC와 평행하고 길이는 BC의 절반이다.
MN = (1/2) × BC
2
BC = 10을 넣는다.
= (1/2) × 10 = 5
🎯 시험 포인트
①평행선 세 개가 두 직선을 자르면 대응하는 선분의 비가 같다.
②삼각형에서 DE ∥ BC이면 AD : DB = AE : EC이다.
③중점연결정리는 가장 자주 나온다. 중점 두 개를 이으면 평행하고 길이는 절반이다.
④비례식은 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 성질로 푼다(a : b = c : d → ad = bc).
⑤역에 주의한다. 삼각형에서 두 변을 같은 비로 나누는 선분은 평행하지만, 세 직선이 두 직선을 같은 비로 자른다고 해서 그 세 직선이 반드시 평행한 것은 아니다.
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