seegongsik
중학교 2학년 (13-14세)

도형의 닮음

Similarity of Figures

닮음은 모양은 똑같고 크기만 다른 두 도형 사이의 관계예요. 사진을 확대하거나 축소해도 얼굴의 생김새가 그대로이듯, 닮은 도형은 대응하는 각의 크기가 모두 같고 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같아요. 이 일정한 비를 닮음비라고 하는데, 길이가 2배가 되면 넓이는 4배, 부피는 8배가 되는 것처럼 넓이의 비는 닮음비의 제곱, 부피의 비는 세제곱이 돼요. 삼각형은 특히 두 각만 같으면 나머지 한 각도 저절로 같아지기 때문에, 두 각을 확인하는 것만으로 닮음을 판정할 수 있어요.

확대와 축소

1.5
📱 사진으로 이해하는 닮음
①스마트폰 사진을 두 손가락으로 벌리면 모양은 그대로이고 크기만 커진다. 이것이 닮음이다.
②닮은 두 도형에서 대응하는 각의 크기는 모두 같다.
③대응하는 변의 길이의 비도 모두 같고, 이 비가 닮음비다.
④그림에서 k를 1.5로 두면 AB = 80인 변은 A'B' = 120이 되고, 다른 두 변도 똑같이 1.5배가 된다.

두 각이 같으면 닮음

50°
70°
삼각형의 닮음 조건
SSS 닮음 · SAS 닮음 · AA 닮음
세 조건 가운데 시험에서 가장 자주 쓰는 것은 AA 닮음이다.
💡 세 가지 닮음 조건
①SSS 닮음: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같으면 닮음이다.
②SAS 닮음: 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같으면 닮음이다.
③AA 닮음: 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같으면 닮음이다. 세 각의 합이 180°이므로 나머지 한 각은 저절로 같아진다.
④그림에서 ∠A와 ∠B를 바꿔 보면, 크기가 다른 두 삼각형의 제3각이 늘 같은 값으로 따라 바뀐다.

닮음비와 넓이의 비, 부피의 비

닮음비와 넓이의 비
닮음비 m : n → 넓이의 비 m² : n²
넓이는 길이와 길이의 곱이라 비가 제곱이 된다.
닮음비와 부피의 비
닮음비 m : n → 부피의 비 m³ : n³
부피는 길이 세 개의 곱이라 비가 세제곱이 된다.
📝 왜 제곱과 세제곱일까
①정사각형의 한 변을 2배로 늘리면 가로도 2배, 세로도 2배라서 넓이는 2 × 2 = 4배가 된다.
②정육면체의 한 모서리를 2배로 늘리면 가로, 세로, 높이가 모두 2배라서 부피는 2 × 2 × 2 = 8배가 된다.
③그래서 닮음비가 1 : 2이면 넓이의 비는 1 : 4, 부피의 비는 1 : 8이다.

생활 속의 닮음

🌳 그림자로 나무의 높이 재기
①같은 시각에 나와 나무의 그림자 길이를 잰다.
②햇빛은 평행하게 들어오므로 사람, 그림자, 햇빛이 만드는 삼각형과 나무, 그림자, 햇빛이 만드는 삼각형은 AA 닮음이다.
③(내 키) : (내 그림자) = (나무의 높이) : (나무의 그림자)이다.
④이 비례식을 풀면 직접 올라가지 않고도 나무의 높이를 구할 수 있다.
🗺️ 지도의 축척과 모형
①축척 1 : 50000인 지도는 실제 땅과 닮음비가 1 : 50000이다.
②지도에서 2 cm는 실제로 2 × 50000 = 100000 cm, 곧 1 km이다.
③닮음비 1 : 100인 모형 건물의 높이가 10 cm이면 실제 높이는 1000 cm, 곧 10 m이다.

예제로 확인하기

예제 1
닮음비가 2 : 3인 두 삼각형에서 작은 삼각형의 한 변이 4일 때, 큰 삼각형의 대응변의 길이를 구하시오.
1
대응변의 길이의 비는 닮음비와 같다.
2 : 3 = 4 : x
2
비례식을 푼다.
2x = 12 ⇒ x = 6
▸ 6
닮은 도형의 대응변의 길이의 비는 일정(닮음비)하다.
예제 2
닮음비가 2 : 3인 두 도형의 넓이의 비를 구하시오.
1
넓이의 비는 닮음비의 제곱이다.
넓이의 비 = 2² : 3²
2
계산한다.
= 4 : 9
▸ 4 : 9
닮음비 m : n이면 넓이의 비는 m² : n²이다.

시험 포인트 정리

닮음의 흐름
AA 닮음 → 대응변의 비 = 닮음비 → 넓이의 비 = (닮음비)²
닮음을 보일 때는 AA 닮음이 가장 빠르고, 시험에도 가장 자주 나온다.
중2 내신 유형
닮음비가 1 : 2인 두 삼각형에서 작은 삼각형의 넓이가 5일 때, 큰 삼각형의 넓이는?
①10
②15
③20
④25
⑤40
▸ ③ 20
1
넓이의 비는 닮음비의 제곱이므로 1² : 2² = 1 : 4.
넓이의 비 = 1 : 4
2
작은 넓이의 4배이다.
5 × 4 = 20
🎯 시험 포인트
①AA 닮음은 두 각만 같으면 충분하다. 세 번째 각은 확인하지 않아도 된다.
②닮음비는 대응변의 길이의 비이고, 모든 대응변에서 같은 값이다.
③넓이의 비는 닮음비의 제곱, 부피의 비는 세제곱이다. 둘을 섞지 않도록 한다.
④그림자 문제는 햇빛이 평행하다는 데서 닮은 삼각형을 찾는다.
⑤△ABC ∽ △DEF이면 A와 D, B와 E, C와 F가 대응한다. 기호를 쓸 때 대응하는 순서를 지킨다.
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