seegongsik
중학교 2학년 (13-14세)

사각형의 성질

Properties of Quadrilaterals

창문, 책 표지, 바닥 타일처럼 네 변으로 둘러싸인 도형이 사각형이고, 그중 마주 보는 두 쌍의 변이 각각 평행한 것이 평행사변형이에요. 평행사변형은 마주 보는 변의 길이와 마주 보는 각의 크기가 각각 같고, 두 대각선이 서로를 반으로 나눠요. 여기에 네 각이 모두 직각이라는 조건이 붙으면 직사각형, 네 변의 길이가 모두 같다는 조건이 붙으면 마름모, 두 조건이 다 붙으면 정사각형이 돼요. 그림에서 ∠A를 90°로 올리거나 두 변의 비를 1로 맞추면, 같은 평행사변형이 조건 하나를 얻을 때마다 이름과 성질이 바뀌는 모습을 볼 수 있어요.

평행사변형에서 정사각형까지

65°
0.7
👀 사각형 사이의 관계
①평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 각각 평행한 사각형이다.
②평행사변형의 한 각이 90°가 되면 네 각이 모두 90°인 직사각형이 된다. 이때 대각선의 길이가 같아진다.
③평행사변형의 이웃한 두 변이 같아지면 네 변이 모두 같은 마름모가 된다. 이때 대각선이 서로 수직이 된다.
④두 조건을 모두 가지면 정사각형이고, 직사각형과 마름모의 성질을 함께 가진다.

평행사변형의 성질

평행사변형의 세 가지 성질
대변의 길이가 각각 같다 · 대각의 크기가 각각 같다 · 두 대각선이 서로를 이등분한다
대각선 하나로 나눈 두 삼각형이 합동(ASA)이라는 데서 세 성질이 모두 나온다.
💡 평행사변형이 되는 조건
①두 쌍의 대변이 각각 평행하다(정의).
②두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
③두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
④두 대각선이 서로를 이등분한다.
⑤한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 다섯 가지 중 하나만 확인해도 평행사변형이다.

직사각형·마름모·정사각형

직사각형이 더 가진 성질
네 각이 모두 90°, 두 대각선의 길이가 같다
평행사변형에 한 각이 90°라는 조건이 더해지면 직사각형이 된다.
마름모가 더 가진 성질
네 변의 길이가 같다, 두 대각선이 서로 수직이다
평행사변형에 이웃한 두 변의 길이가 같다는 조건이 더해지면 마름모가 된다.
정사각형
직사각형이면서 마름모인 사각형 = 정사각형
네 변이 같고 네 각이 90°이므로 대각선은 길이가 같고, 서로 수직으로 이등분한다.

여러 사각형 사이의 포함 관계

📝 포함 관계
①정사각형 ⊂ 직사각형 ⊂ 평행사변형이다.
②정사각형 ⊂ 마름모 ⊂ 평행사변형이다.
③정사각형은 직사각형이기도 하고 마름모이기도 하다.
④우리 교과서는 사다리꼴을 한 쌍 이상의 대변이 평행한 사각형으로 정의하므로 평행사변형 ⊂ 사다리꼴이다.

예제로 확인하기

예제 1
평행사변형에서 한 내각이 110°일 때, 그와 이웃한 내각의 크기를 구하시오.
1
평행사변형에서 이웃한 두 내각의 합은 180°이다.
이웃한 각 = 180° − 110°
2
계산한다.
= 70°
▸ 70°
평행사변형은 대각은 같고, 이웃한 두 각의 합은 180°이다.
예제 2
평행사변형 ABCD에서 AB = 8, BC = 5일 때, 둘레의 길이를 구하시오.
1
평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
둘레 = 2 × (8 + 5)
2
계산한다.
= 26
▸ 26
평행사변형의 대변은 길이가 서로 같다.

시험 포인트 정리

사각형 성질의 흐름
평행사변형 → 직사각형 또는 마름모 → 정사각형
각 단계에서 어떤 조건이 하나 더해지는지를 정확히 구분한다.
중2 내신 유형
평행사변형에서 이웃한 두 내각 ∠A, ∠B의 크기의 비가 2 : 3일 때, ∠A의 크기는?
①60°
②72°
③90°
④108°
⑤120°
▸ ② 72°
1
이웃한 두 각의 합은 180°이므로 2k + 3k = 180°.
2k + 3k = 180° ⇒ 5k = 180°
2
k = 36°이므로 ∠A = 2k.
∠A = 2 × 36° = 72°
🎯 시험 포인트
①평행사변형임을 보일 때는 다섯 가지 조건 가운데 하나만 보이면 된다.
②직사각형은 평행사변형에 한 각이 90°라는 조건, 또는 두 대각선의 길이가 같다는 조건이 더해진 것이다.
③마름모는 평행사변형에 이웃한 두 변이 같다는 조건, 또는 두 대각선이 수직이라는 조건이 더해진 것이다.
④넓이는 평행사변형이 (밑변) × (높이), 마름모가 (두 대각선의 곱) ÷ 2이다.
⑤평행사변형의 이웃한 두 각의 합은 180°이다.
← 이전
삼각형의 성질
다음 →
도형의 닮음

마지막 수정

이 페이지가 도움 됐다면 후원하기