연립일차방정식

System of Linear Equations

연립방정식은 두 개의 미지수를 담은 두 방정식을 동시에 만족하는 값을 찾는 거예요. 사과와 배를 섞어 산 개수와 금액을 각각 식으로 세우면, 두 식을 함께 풀어 사과와 배가 몇 개인지 알아낼 수 있어요. 한 문자를 다른 문자로 나타내 대입하거나, 두 식을 더하고 빼서 한 문자를 없애는 가감법으로 풀어요. 이 페이지에서는 두 직선의 그래프가 만나는 점이 바로 연립방정식의 해가 되는 것을 직접 확인해 봐요.

직관 도입: 두 조건을 동시에 만족

직선1 기울기1

직선1 y절편1

직선2 기울기-1

직선2 y절편3

👀 두 직선이 만나는 점

①첫 번째 직선 위의 점: y = ax + b를 만족

②두 번째 직선 위의 점: y = cx + d를 만족

③교점: 두 식을 동시에 만족하는 유일한 (x, y)

가감법: 한 미지수를 없앤다

📝 가감법 풀이 예시

①x + y = 5 … ㉠

②x - y = 1 … ㉡

③㉠ + ㉡: 2x = 6 → x = 3

④x = 3을 ㉠에 대입: 3 + y = 5 → y = 2

가감법 핵심

한 미지수의 계수를 같게(또는 부호 반대로) 맞춘 뒤 빼기(또는 더하기)

계수가 다르면 적절한 수를 곱해서 맞춘다

대입법: 한 식을 다른 식에 넣는다

📝 대입법 풀이 예시

①y = 2x - 1 … ㉠

②3x + y = 9 … ㉡

③㉡에 ㉠ 대입: 3x + (2x - 1) = 9

④5x - 1 = 9 → 5x = 10 → x = 2

⑤㉠에 대입: y = 2(2) - 1 = 3

대입법 핵심

한 식에서 y = (x식) 꼴로 정리 → 다른 식에 대입

한 미지수가 계수 1이면 대입법이 편리

해의 개수

💡 연립방정식의 해가 몇 개?

①두 직선이 한 점에서 만남 → 해가 1개 (일반적 경우)

②두 직선이 평행 → 해 없음 (불능)

③두 직선이 겹침 → 해가 무수히 많음 (부정)

직접 풀어보기

예제 1

연립방정식 x + y = 5, x − y = 1을 가감법으로 푸시오.

두 식을 변끼리 더하면 y가 소거된다.

(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6

x = 3을 한 식에 대입한다.

x = 3, y = 5 − 3 = 2

▸ x = 3, y = 2

가감법은 한 미지수의 계수를 맞춰 더하거나 빼서 소거한다.

예제 2

연립방정식 y = 2x − 1, 3x + y = 9를 대입법으로 푸시오.

첫 식을 둘째 식의 y에 대입한다.

3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10

x = 2를 대입한다.

x = 2, y = 2·2 − 1 = 3

▸ x = 2, y = 3

한 식이 y = (식) 꼴이면 대입법이 편리하다.

시험 포인트 정리

연립방정식 풀이 전략

가감법: 계수 맞추기 → 더하기/빼기 대입법: y= 꼴 → 대입

두 방법 모두 결국 미지수 하나를 없애는 것이 핵심

중2 내신 유형

연립방정식 x + ay = 7, 2x − y = 4의 해가 x = 3, y = 2일 때, 상수 a의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ② 2

해 (3, 2)를 첫째 식에 대입한다.

3 + a·2 = 7

a에 대해 정리한다.

2a = 4 ⇒ a = 2

🎯 시험 포인트

①가감법 vs 대입법: 계수가 간단하면 가감법, 이미 y= 꼴이면 대입법

②계수 맞출 때 부호 실수 주의: 뺄셈 시 모든 항의 부호가 바뀐다

③해를 구한 후 반드시 두 식 모두에 대입하여 검산

④활용 문제: 미지수 2개 → 조건 2개 (식 2개) 필요

⑤그래프: 교점의 좌표 = 연립방정식의 해