seegongsik
중학교 2학년 (13-14세)

연립일차방정식

System of Linear Equations

연립방정식은 미지수가 두 개인 방정식 두 개를 한꺼번에 만족하는 값을 찾는 일이에요. 사과와 배를 모두 10개 사고 13000원을 냈다면, 개수에 대한 식 하나와 금액에 대한 식 하나를 세워 함께 풀어야 사과와 배가 각각 몇 개인지 정해져요. 푸는 길은 두 가지인데, 두 식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 지우는 가감법과, 한 식을 y = … 꼴로 고쳐 다른 식에 넣는 대입법이에요. 그래프로 보면 각 식은 직선이고, 두 직선이 만나는 점의 좌표가 바로 두 식을 함께 만족하는 해예요.

두 조건을 한꺼번에 만족하는 점

1
1
-1
3
👀 두 직선이 만나는 점
①직선 1 위의 점은 모두 y = ax + b를 만족한다.
②직선 2 위의 점은 모두 y = cx + d를 만족한다.
③두 직선 위에 함께 놓인 교점만이 두 식을 동시에 만족하므로, 교점의 좌표가 연립방정식의 해다. 그림에서 직선을 움직이면 교점의 좌표가 분수까지 정확히 적힌다.

가감법으로 한 미지수 지우기

📝 가감법 풀이
①x + y = 5 … ㉠, x − y = 1 … ㉡이라 하자.
②㉠과 ㉡을 변끼리 더하면 y가 지워져 2x = 6, x = 3이다.
③x = 3을 ㉠에 넣으면 3 + y = 5이므로 y = 2이다.
④검산: ㉡에 넣어도 3 − 2 = 1로 맞다.
가감법의 핵심
한 미지수의 계수를 같게(또는 부호만 반대로) 맞춘 뒤 두 식을 빼거나 더한다
계수가 다르면 각 식에 알맞은 수를 곱해 먼저 맞춘다.

대입법으로 한 식을 다른 식에 넣기

📝 대입법 풀이
①y = 2x − 1 … ㉠, 3x + y = 9 … ㉡이라 하자.
②㉠의 y를 ㉡에 그대로 넣으면 3x + (2x − 1) = 9이다.
③정리하면 5x − 1 = 9, 5x = 10이므로 x = 2이다.
④x = 2를 ㉠에 넣으면 y = 2 × 2 − 1 = 3이다.
대입법의 핵심
한 식을 y = (x에 대한 식) 꼴로 정리 → 다른 식의 y에 대입
한 미지수의 계수가 1이거나 이미 y = … 꼴이면 대입법이 편하다.

해의 개수와 그래프

💡 해는 몇 개일까
①두 직선의 기울기가 다르면 한 점에서 만나고, 해는 한 쌍이다.
②기울기는 같고 y절편이 다르면 두 직선이 평행해서 만나지 않으므로 해가 없다.
③기울기와 y절편이 모두 같으면 두 직선이 겹쳐 해가 무수히 많다. 그림에서 두 기울기를 같게 맞추면 이 두 경우를 직접 볼 수 있다.

예제로 확인하기

예제 1
연립방정식 x + y = 5, x − y = 1을 가감법으로 푸시오.
1
두 식을 변끼리 더하면 y가 지워진다.
(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6
2
x = 3을 한 식에 넣어 y를 구한다.
x = 3, y = 5 − 3 = 2
▸ x = 3, y = 2
가감법은 한 미지수의 계수를 맞춰 더하거나 빼서 지운다.
예제 2
연립방정식 y = 2x − 1, 3x + y = 9를 대입법으로 푸시오.
1
첫째 식의 y를 둘째 식의 y 자리에 넣는다.
3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10
2
x = 2를 첫째 식에 넣는다.
x = 2, y = 2·2 − 1 = 3
▸ x = 2, y = 3
한 식이 y = (식) 꼴이면 대입법이 편하다.

시험 포인트 정리

연립방정식을 푸는 전략
가감법: 계수 맞추기 → 더하기·빼기 대입법: y = … 꼴 → 대입
두 방법 모두 미지수를 하나 지워 일차방정식 하나로 만드는 것이 핵심이다.
중2 내신 유형
연립방정식 x + ay = 7, 2x − y = 4의 해가 x = 3, y = 2일 때, 상수 a의 값은?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ② 2
1
해 x = 3, y = 2를 첫째 식에 넣는다.
3 + a·2 = 7
2
a에 대해 정리한다.
2a = 4 ⇒ a = 2
🎯 시험 포인트
①계수가 간단하면 가감법, 한 식이 이미 y = … 꼴이면 대입법이 빠르다.
②식을 뺄 때는 빼는 식의 모든 항의 부호가 바뀐다는 점에 주의한다.
③해를 구한 뒤 두 식 모두에 넣어 검산한다.
④활용 문제에서는 미지수가 두 개이므로 조건 두 개로 식 두 개를 세운다.
⑤그래프에서는 두 직선의 교점의 좌표가 연립방정식의 해다.
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